偏微分方程概论.ppt

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1、偏微分方程概论现在学习的是第1页，共56页1.1 常微分方程简介常微分方程简介1.1.1 常微分方程的基本概念常微分方程的基本概念牛顿第二定律牛顿第二定律：ddrmFdtdt其中：其中：m是质量，是质量，r是位置向量，是位置向量，t是时间，是时间， F是作用于质点的是作用于质点的力力现在学习的是第2页，共56页牛顿引力定律：牛顿引力定律：2MmrFGrr 其中：其中：G是万有引力常数，是万有引力常数，M与与m是一对相互吸引的是一对相互吸引的质点，质点，r是从是从M到到m的向量，的向量，r|r|是与是与r同向的单位向同向的单位向量量现在学习的是第3页，共56页2ddrMmrmGdtdtrr 这就

2、是描述行星运动的微分方程这就是描述行星运动的微分方程微分方程微分方程中未知函数只出现一个自变量。中未知函数只出现一个自变量。求解方程，可引入极坐标变换，令求解方程，可引入极坐标变换，令 u = 1r现在学习的是第4页，共56页则得到下面的二阶常系数线性微分方程：则得到下面的二阶常系数线性微分方程：222d umuG MdK001cosmuuG MrKu0 , 0是由初始条件确定的是由初始条件确定的2个常数。个常数。现在学习的是第5页，共56页1.1.2 一些典型的常微分方程一些典型的常微分方程一、可分离变量的方程一、可分离变量的方程具有如下形式：具有如下形式：()()d yfxgyd x1()

3、()d yfxgyd x可转化为可转化为现在学习的是第6页，共56页两边对两边对x积分（如果可能的话）积分（如果可能的话）1( )()dydxfx dxg ydx得得 G(y) + C1 = F(x) + C2即即 G(y) = F(x) + C现在学习的是第7页，共56页二、齐次方程二、齐次方程具有如下形式具有如下形式d yyfd xx作变量替换，令作变量替换，令 u = yx y = ux( )( ) duduf uuxuf udxdxx是可分离变量的方程是可分离变量的方程现在学习的是第8页，共56页三、线性变系数方程三、线性变系数方程具有如下形式（一阶）具有如下形式（一阶）()()dyp

4、 xyq xdx相应的齐次方程相应的齐次方程()0dyp xydx显然是个可分离的方程显然是个可分离的方程( ) (y0)dyp x dxy 现在学习的是第9页，共56页积分得通解积分得通解 yh(x) = Cexp-P(x)其中：其中：定义积分因子定义积分因子则则 m(x) yh(x) = C()Pp xxxd( )expexp)()m xp x dxP x现在学习的是第10页，共56页两边求导两边求导0( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )hhhhhhhdm xyxdxm xyxm xyxmm xyxpxyxm xp xyxxyx对于对于

5、q(x) 0 时时 m(x) y(x)= C 不成立。不成立。但由上面的推导，可有但由上面的推导，可有现在学习的是第11页，共56页( )( )( )( )( )( )( )( )dm xy xm xy xp xy xdxm xq x对上式积分得对上式积分得( )( )( )( )m xy xm xq x dxC即有即有1( )( )( )( )y xm xq x dxCm x现在学习的是第12页，共56页伯努利方程伯努利方程111()()()()1()()1nnnnndyp xyq xydxdyyp xyq xdxdyp xyq xndx作变换，令作变换，令 u = y1-n( )( )du

6、p xuq xdx现在学习的是第13页，共56页n 阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程0()mnmmmdyafxd x其中，其中，a0,an均为常数。均为常数。先考虑齐次情形先考虑齐次情形00mnmmmdyadx令令 y = el lx 代入得代入得00nmmmal现在学习的是第14页，共56页解这个方程得解这个方程得 l l = l l1 1,l ln 若若 l lil lj , i j方程通解为方程通解为1mnxmmycel若某个若某个l lj是是 h 重根，则对应还有如下的重根，则对应还有如下的h个解个解10jhxkkkyedxl可以证明上面两种形式的解都是线性无关的，它们的任意可

7、以证明上面两种形式的解都是线性无关的，它们的任意线性组合都是齐次方程的通解。线性组合都是齐次方程的通解。现在学习的是第15页，共56页下面考虑非齐次情形，任取上述一个根，令下面考虑非齐次情形，任取上述一个根，令00( )( )( )( )xnxnnmxnmmxnmnnd eadxyez xd za ez xf xdxd zdzabef xdxdxllll令令 dzdx = u现在学习的是第16页，共56页10( )( )mnxmmmd ubef xG xdxl这样，方程降了一阶，但还是常系数，经过有限这样，方程降了一阶，但还是常系数，经过有限次降阶、积分，可得非齐次方程的一个特解次降阶、积分，

8、可得非齐次方程的一个特解 y = y0(x)则，原方程通解为则，原方程通解为01()mnxmmyyxcel现在学习的是第17页，共56页1.2 偏微分方程的导出与定解偏微分方程的导出与定解1.2.1 偏微分方程的概念偏微分方程的概念未知函数含有多个自变量，方程中出现多元函数对未知函数含有多个自变量，方程中出现多元函数对不同自变量的各阶偏导数，这样的微分方程称为偏不同自变量的各阶偏导数，这样的微分方程称为偏微分方程（数学物理方程）。微分方程（数学物理方程）。几乎所有的研究对象，包括天文、物理等领域的几乎所有的研究对象，包括天文、物理等领域的物体运动、状态变化等都不可能只受一个因素的物体运动、状态

9、变化等都不可能只受一个因素的影响，它们往往与位置、时间、温度等诸多因素影响，它们往往与位置、时间、温度等诸多因素相关，因此必须用偏微分方程才能描述和求解。相关，因此必须用偏微分方程才能描述和求解。现在学习的是第18页，共56页但是，偏微分方程十分复杂，即使是线性的也但是，偏微分方程十分复杂，即使是线性的也会复杂到难以处理的程度。至于非线性方程，会复杂到难以处理的程度。至于非线性方程，也只能针对具体问题，提出个别的解决方法。也只能针对具体问题，提出个别的解决方法。所以，在数学上无法建立起偏微分方程研究的所以，在数学上无法建立起偏微分方程研究的一般性理论。一般性理论。现在学习的是第19页，共56页

10、1.2.2 几个典型的数学物理方程几个典型的数学物理方程热传导方程（温度分布）热传导方程（温度分布）扩散方程（化学物质在溶液中的浓度）扩散方程（化学物质在溶液中的浓度）2222222( ,)uu t x y zuuuuatxyz其中其中 a0，a2 = kQ ，k是传热系数，是传热系数，Q是热容量。是热容量。现在学习的是第20页，共56页拉普拉斯方程拉普拉斯方程调和方程调和方程当物体的温度处于热稳定状态（真空中静止的电磁场。经当物体的温度处于热稳定状态（真空中静止的电磁场。经典的引力场、或流体的某种稳定状态）典的引力场、或流体的某种稳定状态）2222220uuuuxyz 现在学习的是第21页，

11、共56页波动方程波动方程当声波在空气中传播时，如果当声波在空气中传播时，如果 u 表示压强的小扰动，表示压强的小扰动，a0 是声音（电磁波或其他波动）在空气中的传播是声音（电磁波或其他波动）在空气中的传播速度速度222222222uuuuatxyz现在学习的是第22页，共56页1.2.3 初边值问题初边值问题对于最典型的求解问题是初始值问题对于最典型的求解问题是初始值问题柯西问题柯西问题即：求波动方程的解即：求波动方程的解 u ，使其满足初始条件，使其满足初始条件01(0,)( ,)(0,)( ,)ux y zux y zux y zux y ztu0(x, y, z)和和u1(x, y, z

12、),表示在表示在t = 0时波的形状和关于时波的形状和关于t 的变化率。的变化率。现在学习的是第23页，共56页一维情形一维情形弦振动方程弦振动方程222220uuatx初始条件初始条件01(0, )( ), (0, )( )uuxuxxu xt作变换作变换 x x = x - at , h h = x + at方程变为方程变为20uxh现在学习的是第24页，共56页且通解为且通解为 u = f (x - at) + g (x + at)其中其中f与与g是任意两个具有连续二阶导数的函数。是任意两个具有连续二阶导数的函数。并由初始条件，就得到下面弦振动的达朗贝尔（并由初始条件，就得到下面弦振动的

13、达朗贝尔（dAlembert）公式）公式001()()1( )22x atx atuxatuxatuuda现在学习的是第25页，共56页高维情形，把高维情形，把(x，y，z)记记 x = (x1, x2, x3), x x= (x x1, x x2, x x3 )利用傅立叶变换（利用傅立叶变换（Fourier）其中其中 x x x = x x1 x1 + x x2 x2 + x x3 x3123123( )(,)i xff x xx edx dx dxxx 现在学习的是第26页，共56页且当且当 f 满足一定条件时有满足一定条件时有Fourier逆变换逆变换12313331( )(,)(2)f

14、xfdddxxxxxx另外有另外有123123( )(,)i xiififx xx edx dx dxxxxx 现在学习的是第27页，共56页222222222uuuuatxyz对于下面方程，利用对于下面方程，利用Fourier变换变换222221232d uaudtxxx 01(0, , )( , )(0, , )( , )ux y zux y zux y zux y zt0100( ), ( )ttduuuudtxx现在学习的是第28页，共56页变成解常微分方程的初值问题，解得变成解常微分方程的初值问题，解得12301231123( ,)(,) cos()sin() + (,)u tuat

15、atuaxxxxxxxxxxxx其中其中做做Fourier逆变换，得泊松（逆变换，得泊松（Poisson）公式）公式222123xxxx现在学习的是第29页，共56页01111101221111( , )()()4411 ()()44ttatatttu t xatu x atl dsatu x atl dstaaatu x l dsatu x l dsta tta t 其中其中ds1（dsat）是球面）是球面 | l |=1（| l |=at）的面积）的面积元素。元素。现在学习的是第30页，共56页1.3 热传导方程初值问题的求解热传导方程初值问题的求解2220( , ), , 0 ( ,0)

16、( ), uuaf x txttxu xu xx 两边关于两边关于x 做做Fourier变换变换220(, )()tduauftdtull l现在学习的是第31页，共56页解常微分方程得解常微分方程得22222222()0()0( , )( , )( , )( , )tatattatatutefedu x tefedllllll l 若记若记且有且有从而从而2241( , )2xa tg x teat22( , )ateg x tl现在学习的是第32页，共56页2222()41 21 ( )2atxa teggx edatlxx2222()()4()1( , )( , )2()xatatfef

17、edatxll x x同理同理现在学习的是第33页，共56页代入得代入得其中其中通常称通常称K(x - x x ,t - )为热传导方程基本解，且当为热传导方程基本解，且当f(x,t)0、 (x)适合一定条件时，可证明泊松公式是给适合一定条件时，可证明泊松公式是给出的初值问题解。出的初值问题解。0( , )(, )( ) +(,)( , )tu x tK xtddK xtfdx xxxx x221,0( , )20 ,0 xta tetKx tatt现在学习的是第34页，共56页1.4 二阶偏微分方程的分类与化简二阶偏微分方程的分类与化简1.4.1 二阶偏微分方程的分类二阶偏微分方程的分类三个

18、典型的二阶偏微分方程的三个典型的二阶偏微分方程的标准形式：标准形式：2222 uauftuauftuf （波动方程）（波动方程）（热传导方程）（热传导方程）（位势方程）（位势方程）现在学习的是第35页，共56页其中其中 ：f是是 (x1,xm)或或 (x1,xm,t)的函数，的函数，a a为常数，为常数， 是是Laplace算子。算子。二阶偏微分方程的一般形式：二阶偏微分方程的一般形式：221miix2,11mmijii jiijiuuabcufx xx 其中其中 aij= aji、b、c、f 都是都是 (x1,xm)的函数。的函数。现在学习的是第36页，共56页用用A表示矩阵（表示矩阵（ai

19、j)i,j=1,2,.,m对于波动方程，取对于波动方程，取 m = n+1, t = xn+122001aAa现在学习的是第37页，共56页对于热传导方程，取对于热传导方程，取 m = n+1, t = xn+12120, 100naAba现在学习的是第38页，共56页对于位势方程，取对于位势方程，取 m = n1001A现在学习的是第39页，共56页如果如果A是个常系数矩阵，由于它是对称的，所以，一定存是个常系数矩阵，由于它是对称的，所以，一定存在一个正交矩阵在一个正交矩阵 T ，使得，使得 TTAT是对角阵，且对角线是对角阵，且对角线上的元素就是上的元素就是A的特征值。的特征值。位势方程：

20、位势方程：A的特征是都是正（或负）的，即的特征是都是正（或负）的，即A是是正定的或负定的；正定的或负定的；热传导方程：热传导方程：A的特征值有一个为的特征值有一个为0，其它的都为正（，其它的都为正（或负）的，即或负）的，即A是非负（或非正）的；是非负（或非正）的；波动方程：波动方程：A的特征值除了一个为正（负）外，其的特征值除了一个为正（负）外，其它的都是负（正）的，即它的都是负（正）的，即A是不定的。是不定的。现在学习的是第40页，共56页设设 x0(x01,.,x0m)是空间中一点，是空间中一点，A(x0)表示矩阵表示矩阵A在在x0点点的值的值定义定义：若：若A(x0)的的m个特征是全是正

21、（或负），称方程在个特征是全是正（或负），称方程在x0点是椭圆型的；若点是椭圆型的；若A(x0)的特征是除了一个为的特征是除了一个为0外全是正（外全是正（或负）的，称方程在或负）的，称方程在x0点是抛物型的；若点是抛物型的；若A(x0)的特征值除的特征值除了一个为负（或正）外，其它了一个为负（或正）外，其它 m-1个全是正（或负）的，个全是正（或负）的，称方程在称方程在x0点是双曲型的。如果对于区域点是双曲型的。如果对于区域上每一个点上每一个点，方程是椭圆型的，则称方程在区域，方程是椭圆型的，则称方程在区域W W上是椭圆型的。类上是椭圆型的。类似有抛物型的和双曲型的。似有抛物型的和双曲型的。现

22、在学习的是第41页，共56页定理定理：如果方程的二阶项系数：如果方程的二阶项系数aij 是常数，即是常数，即A是常数矩是常数矩阵，且它属于椭圆型阵，且它属于椭圆型 （抛物型、双曲型）方程，那么一（抛物型、双曲型）方程，那么一定可以通过一个非奇异的自变量代换，把方程的二阶项化定可以通过一个非奇异的自变量代换，把方程的二阶项化为三个标准形式。为三个标准形式。现在学习的是第42页，共56页1.4.2 二阶偏微分方程的化简二阶偏微分方程的化简定义：定义：称称m维空间中的一张曲面维空间中的一张曲面S= (x1,xm)=0为二阶偏微分方程一般形式的为二阶偏微分方程一般形式的特征曲面特征曲面，如果曲面，如果

23、曲面S的每一个点，有的每一个点，有,10mijijijaxx定义：定义：对于固定点对于固定点 x0 = (x10,xm0) ，如果过，如果过该点的方向该点的方向 l = (a a1 1, a am) 满足特征方程满足特征方程则称则称 l 为该点的为该点的特征方向特征方向。0,1()0mijiji jxaaa现在学习的是第43页，共56页由于由于 表示曲面表示曲面 (x1,xm)=0的法向，所以特征曲面就是每点的法向为该点特征的法向，所以特征曲面就是每点的法向为该点特征方向的曲面。方向的曲面。怎样求特征方向和特征曲面，总假设怎样求特征方向和特征曲面，总假设 a ai2 = 1即取即取a ai为特

24、征方向的方向余弦。为特征方向的方向余弦。1,mxx现在学习的是第44页，共56页例：例：热传导方程热传导方程的特征方程为的特征方程为 a a12 + a a22 + a a32 = 0由假设有由假设有 a a02 + a a12 + a a22 + a a32 = 1从而从而 a a02 = 1因此特征曲面为超平面因此特征曲面为超平面 t = 常数常数2222222uuuuatxyz现在学习的是第45页，共56页例：例：对于两个自变量的二阶线性偏微分方程对于两个自变量的二阶线性偏微分方程其特征方程为其特征方程为 a11a a12 + 2+ 2a12a a1a a2 + + a22a a22 =

25、 0 = 0 满足上述关系的方向满足上述关系的方向(a a1, a a2)为特征方向，其特征线为特征方向，其特征线 (x, y) = 0222211122212222uuuuuaaabbcufxx yyxy 现在学习的是第46页，共56页满足满足 a11 x2 + 2 2a a1212 x y + a22 y2 = 0 * *求解这个方程。求解这个方程。对对 (x,y) = 0微分并代入上式微分并代入上式 xdx + ydy = 0 x = - ydydx a11dy2 - 2a12dxdy + a22dx2 = 0 * * *偏微化为常微，求出偏微化为常微，求出 * * * 的一族积分曲线的

26、一族积分曲线 1(x, y) = C则，则，z = 1(x, y)是是* *方程的解。方程的解。现在学习的是第47页，共56页求求* * *的积分曲线，将它分解为两个方程的积分曲线，将它分解为两个方程2121211221121212112211aaa adydxaaaa adydxa此时在此时在(x0, y0)的近旁有三种情况，记的近旁有三种情况，记 0 = a122-a11a22 = 0 0现在学习的是第48页，共56页即，在即，在 (x0,y0)近旁近旁0 此时此时* * *有两族不同的实积分有两族不同的实积分曲线曲线 (x,y) = C和和 y y(x,y) = C引入自变量引入自变量

27、x x= (x,y) , h h= y y(x,y) * * * *由由* *可看出可看出- - x y、 - -y yx y yy是二次方程是二次方程 a11l l2 + 2+ 2a12l l+ + a22 = 0 = 0 两个不同实根，从而两个不同实根，从而即，上述自变量变换是可逆的。即，上述自变量变换是可逆的。( ,)0( ,)xyxyJx yx hyy现在学习的是第49页，共56页由于由于ux = uxx xx+uhh hxuy= uxx xy+uh hh hyuxx = uxxx xx2+2uxhx xxh hx+uhhh hx2+uxx xxx+uhh hxxuxy = uxxx

28、xxx xy+uxh(x xxh hy +x xyh hx) + uhhh hxh hy + uxx xxy+uhh hxyuyy = uxxx xy2+2uxhx xyh hy+uhhh hy2+uxx xyy+uhh hyy原方程化为原方程化为 b11uxx+ 2b12uxh+ b22uhh+ c1ux+ c2uh+Du = f现在学习的是第50页，共56页其中其中b11= a11x xx2 + 2a12x xxx xy + a11x xy2 b12 = a11x xxh hx + a12 (x xxh hy +x xyh hx )+ a22x xyh hy b22 = a11h hx2

29、+ 2a12h hxh hy + a11h hy2 由由* *和和* * * *知知 b11=b22=0, * * = b122 - b11b12= * *J2故故b120从而原方程化为从而原方程化为2( ,)( ,)( ,)( ,)uuuvufa x h x hx hx hx hxh 现在学习的是第51页，共56页如果令如果令 x x= (s + t) 2 , h h=(s - t) 2方程最终化为方程最终化为12( , )ttsstsuubub ucuf s t222211122212222uuuuuaaabbcufxx yyxy 现在学习的是第52页，共56页1.5 与图像处理有关的偏微

30、分方程的例子与图像处理有关的偏微分方程的例子几个常用的与图像处理有关的非线性抛物型方程几个常用的与图像处理有关的非线性抛物型方程1.220( ,0)( )uautu xux 其对应的滤波器具有锐化作用。其对应的滤波器具有锐化作用。现在学习的是第53页，共56页2.0( , 0)( )BuDutu xux其中其中D为微分算子，它与膨胀或腐蚀算子的迭代为微分算子，它与膨胀或腐蚀算子的迭代有一定联系。有一定联系。现在学习的是第54页，共56页3.0()(, 0)()ucurv uD utuxux这个方程叫做曲率流方程，与中值滤波器的迭代这个方程叫做曲率流方程，与中值滤波器的迭代有一定联系。有一定联系。现在学习的是第55页，共56页4.130( )( ,0)( )ucurv uDutu xux这个方程导出了这个方程导出了AMSS算子，它满足平移算子，它满足平移 不变、不变、灰度平移不变、仿射不变、数学形态学等多种不灰度平移不变、仿射不变、数学形态学等多种不变性。变性。现在学习的是第56页，共56页