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1、第四章、随机变量的数字特征第四章、随机变量的数字特征第一节：数学期望第一节：数学期望第二节：方差第二节：方差第三节：协方差及相关系数第三节：协方差及相关系数第四节：矩、协方差矩阵第四节：矩、协方差矩阵 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量布，如果知道了随机变量X的的概率分布概率分布，那么，那么X的的全部概率特征也就知道了全部概率特征也就知道了.然而，在实际问题中，概率分布一般是较难然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的确定的.而在一些实际应用中，人们并不需要知而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要
2、知道它的某些道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征数字特征就够了就够了.例：例：在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的 是是平均产量平均产量；在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需要注意的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度纤维长度与平均长度的偏离程度；的偏离程度；考察南宁市居民的家庭收入情况，我们既知考察南宁市居民的家庭收入情况，我们既知 家庭的年家庭的年平均收入平均收入，又要研究，又要研究贫富之间的贫富之间的差异程度；差异程度；因此，在对随机变量的研究中，确定某些数因此，在对随机变量的
3、研究中，确定某些数字特征是重要的字特征是重要的.而而所谓的数字特征就是用数字表所谓的数字特征就是用数字表示随机变量的分布特点。示随机变量的分布特点。在这些数字特征中，最常用的是在这些数字特征中，最常用的是数学期望、方差、协方差和相关系数数学期望、方差、协方差和相关系数第一节 数学期望离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望数学期望的性质数学期望的性质小结小结引例引例：某：某7人的数学成绩为人的数学成绩为90，85，85，80，80，75，60，则他们的平均成绩为，则他们的平均成绩为以频率为权重的
4、加权平均以频率为权重的加权平均 一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望定义定义1 设设X是离散型随机变量，它的分布率是是离散型随机变量，它的分布率是:PX=xk=pk,k=1,2,请注意请注意:离散型随机变量的数学期望是一个绝对收离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和敛的级数的和.数学期望简称数学期望简称期望期望，又称为，又称为均值均值。若若级数级数绝对收敛，绝对收敛，则称级数则称级数即的和为的和为随机变量随机变量X的数学期望的数学期望，记为，记为 ,例例1 0 1 2 00.2 0.8 0 1 20.60.3 0.1试比较甲、乙两人的技术那个好试比较甲、乙两人的技
5、术那个好几种常见分布的数学期望几种常见分布的数学期望它它的分布律为的分布律为:若随机变量若随机变量 X 只能取只能取 0 与与 1 两个值，它的分布两个值，它的分布律为律为:则：则：设随机变量设随机变量 X 服从参数为服从参数为(n,p)的二项分布，的二项分布，(1)分布分布即即(2)二项分布二项分布则：则：时时即即:令令:(3)泊松分布泊松分布若若随机变量随机变量X 的所有可能取值为：的所有可能取值为：而它的分布律而它的分布律(它所取值的各个概率它所取值的各个概率)为：为：即即:则则:即即:令令:例例2.某银行信贷部门对前来申请贷款的两个企业进某银行信贷部门对前来申请贷款的两个企业进行调查，
6、对其产品在市场上畅销、适销和滞销行调查，对其产品在市场上畅销、适销和滞销三种状况的盈利额和相应的概率作了如下估计：三种状况的盈利额和相应的概率作了如下估计：甲企业甲企业:乙企业乙企业:产品产品盈利额盈利额概率概率（万元）（万元）畅销畅销适销适销滞销滞销5030-200.150.60.25产品产品盈利额盈利额概率概率（万元）（万元）畅销畅销适销适销滞销滞销6036-400.10.60.3问问:当其它条件均相同时，信贷部门应先批准哪个当其它条件均相同时，信贷部门应先批准哪个 企业的贷款更为稳妥？企业的贷款更为稳妥？解：解：当其它条件均相同时，应考查两个企业盈利额当其它条件均相同时，应考查两个企业盈
7、利额的平均值的情况。的平均值的情况。故分别求其数学期望：故分别求其数学期望：（万元）（万元）（万元）（万元）由此可见，甲企业的经济效益高于乙企业，所以由此可见，甲企业的经济效益高于乙企业，所以信贷部门应先批准个甲企业的贷款更为稳妥。信贷部门应先批准个甲企业的贷款更为稳妥。定义定义2 设设X是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为 f(x),如果积分如果积分绝对收敛绝对收敛,则称此积分值为则称此积分值为X的数学期望的数学期望,即即请注意请注意:连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分的积分.二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变
8、量的数学期望几种常见分布的数学期望几种常见分布的数学期望则则:(1).均匀分布均匀分布若连续型随机变量若连续型随机变量 X 具有概率密度具有概率密度 f(x)为：为：即即0其其 它它即即:(2).指数分布指数分布若连续型随机变量若连续型随机变量 X 具有概率密度具有概率密度 f(x)为：为：为常数为常数其中其中则则:即即:由分部积分由分部积分(3).正态分布正态分布 若随机变量若随机变量 X 的的概率密度为：概率密度为：即即:则则:即即:结论：结论：正态分布中密度函数的参数正态分布中密度函数的参数 恰好就是恰好就是 随机变量随机变量X的数学期望的数学期望.三、随机变量函数的数学期望三、随机变量
9、函数的数学期望 1.问题的提出：问题的提出：设已知随机变量设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是的期望，而是X的某个函数的期望，比如说的某个函数的期望，比如说g(X)的期望的期望.那么应该如何计算呢？那么应该如何计算呢？一种方法是，因为一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来的分布求出来.一旦一旦我们知道了我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把的分布，就可以按照期望的定义把Eg(X)计算出来计算出来.那么是否可以不先求那么是否可以不先求g(X)
10、的分布而只根据的分布而只根据X的的分布求得分布求得Eg(X)呢？呢？下面的定理指出，答案是肯定的下面的定理指出，答案是肯定的.使用这种方法必须先求出随机变量函数使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的的分布，一般是比较复杂的分布，一般是比较复杂的.(1)当当X为离散型时为离散型时,它的分布率为它的分布率为P(X=xk)=pk;(2)当当X为连续型时为连续型时,它它的密度函数为的密度函数为f(x).若若定理定理 设设Y是随机变量是随机变量X的函数的函数:Y=g(X)(g是连续函数是连续函数)该公式的重要性在于该公式的重要性在于:当我们求当我们求Eg(X)时时,不不必知道必知道g(X)的分布，
11、而只需知道的分布，而只需知道X的分布就可以了的分布就可以了.这给求随机变量函数的期望带来很大方便这给求随机变量函数的期望带来很大方便.上述定理还可以推广到两个或两个以上随上述定理还可以推广到两个或两个以上随上述定理还可以推广到两个或两个以上随上述定理还可以推广到两个或两个以上随 机变机变机变机变量的函数的情况。量的函数的情况。量的函数的情况。量的函数的情况。四、数学期望的性质四、数学期望的性质 1.设设C是常数，则是常数，则E(C)=C;4.设设X、Y 相互独立，则相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);2.若若k是常数，则是常数，则E(kX)=kE(X);3.E(X+Y)=E(X)+E(
12、Y);（诸（诸Xi相互独立时）相互独立时）五、数学期望性质的应用五、数学期望性质的应用例例3 求二项分布的数学期望求二项分布的数学期望若若 XB(n,p)，则则X表示表示n重贝努里试验中的重贝努里试验中的“成功成功”次数次数.现在我们来求现在我们来求X的数学期望的数学期望.可见，服从参数为可见，服从参数为n和和p的二项分布的随机变量的二项分布的随机变量X的数学期望是的数学期望是 n p.XB(n,p),若设若设则则 X=X1+X2+Xn=npi=1,2，n因为因为 P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p所以所以 E(X)=则则X表示表示n重贝努里试验中的重贝努里试验中的“成功成功”次数次数
13、.E(Xi)=p 本题是将本题是将本题是将本题是将X X分解成数个随机变量之和分解成数个随机变量之和分解成数个随机变量之和分解成数个随机变量之和,然后利用然后利用然后利用然后利用随随随随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求数学期望的数学期望的数学期望的数学期望的,此方法具有一定的意义此方法具有一定的意义此方法具有一定的意义此方法具有一定的意义.六、小结六、小结 这一讲，我们介绍了随机变量的数学期望，这一讲，我们介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机
14、变量取值的平均水平，是随机变量它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征的一个重要的数字特征.接下来的一讲中，我们将向大家介绍随机变接下来的一讲中，我们将向大家介绍随机变量另一个重要的数字特征：量另一个重要的数字特征：方差方差例例例例6 6例例 7解：设设(X,Y)在在区区域域A上上服服从从均均匀匀分分布布，其其中中A为为x轴轴，y轴和直线轴和直线x+y+1=0所围成的区域。所围成的区域。求求EX，E(-3X+2Y)，EXY。例例4.设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为：的联合概率密度为：求：求：的数学期望的数学期望解：解：11 oyx xy因
15、此有因此有：显然显然，由题设，由题设的区域如图中的阴影部分的区域如图中的阴影部分设国际市场对我国某出口商品的年需求量是一个设国际市场对我国某出口商品的年需求量是一个随机变量随机变量 X（单位（单位:吨）吨）,它在它在 2000,4000 上服上服从均匀分布。设每售出这种商品一吨，可为国家从均匀分布。设每售出这种商品一吨，可为国家挣外汇挣外汇3万元，若售不出，则每吨需花费仓储费万元，若售不出，则每吨需花费仓储费1万元万元.例例5问：问：需组织多少货源需组织多少货源,才能使国家的收益最大才能使国家的收益最大解：解：设设准备某年出口此种商品的量准备某年出口此种商品的量由题设可知：由题设可知：设收益为
16、设收益为Y，则有：，则有：而随机变量而随机变量 X 的概率密度为：的概率密度为：所以：所以：结论：应组织结论：应组织3500(吨吨)货源才能使国家的收益最大货源才能使国家的收益最大.注意到注意到：E(Y)是变量是变量的函数的函数所以，对所以，对 E(Y)关于关于 求极值，可得：求极值，可得：时时当当达最大达最大 四四.数学期望的性质数学期望的性质设设是常数，则：是常数，则：设设是常数，是常数，X 是随机变量，则：是随机变量，则：线性性质线性性质 第四章知识结构图第四章知识结构图随机变量的数字特征随机变量的数字特征数学期望数学期望方差方差矩与协矩与协方差方差矩阵矩阵一维随机一维随机变量的数变量的数学期望学期望二维随机二维随机变量的数变量的数学期望学期望一维随一维随机变量的机变量的方差方差二维随二维随机变量的机变量的方差方差离散型离散型连续型连续型连续型连续型离散型离散型相关相关系数系数与协与协方差方差 四、数学期望的性质四、数学期望的性质 1.设设C是常数，则是常数，则E(C)=C;4.设设X、Y 相互独立，则相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);2.若若k是常数，则是常数，则E(kX)=kE(X);3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);（诸（诸Xi相互独立时）相互独立时）请注意请注意:由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y 独立独立