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1、概率统计 第四章知识结构图第四章知识结构图随机变量的数字特征随机变量的数字特征数学期望数学期望方差方差矩与协矩与协方差方差矩阵矩阵一维随机一维随机变量的数变量的数学期望学期望二维随机二维随机变量的数变量的数学期望学期望一维随一维随机变量的机变量的方差方差二维随二维随机变量的机变量的方差方差离散型离散型连续型连续型连续型连续型离散型离散型相关相关系数系数与协与协方差方差12/20/2022北邮概率统计课件概率统计 问题的引出问题的引出引例引例.某车间对工人的生产情况进行考察。某车间对工人的生产情况进行考察。车工小车工小张每天生产的废品数张每天生产的废品数 X 是一个随机变量。是一个随机变量。问：
2、如何定义问：如何定义X 的平均值呢？的平均值呢？现若统计现若统计100天得：天得：解：解：32天没有出废品天没有出废品;30天每天出一件废品；天每天出一件废品；17天每天出两件废品；天每天出两件废品；21天每天出三件废品天每天出三件废品;第一节第一节 数学期望数学期望12/20/2022北邮概率统计课件概率统计于是，可以得到这于是，可以得到这100天中每天的平均废品数为：天中每天的平均废品数为：这个数能否这个数能否作为作为X 的平的平均值呢？均值呢？若另外统计若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的件、三件废品的天数与前面的10
3、0天一般不会完全相天一般不会完全相同，这另外同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是天每天的平均废品数也不一定是1.27.若统计若统计 n天天,(假定小张每天至多出三假定小张每天至多出三 可以想象：可以想象：一般来说，一般来说，件废品件废品)得：得：n0天没有出废品天没有出废品;n1天每天出一件废品天每天出一件废品;n2天每天出两件废品天每天出两件废品;n3天每天出三件废品天每天出三件废品.12/20/2022北邮概率统计课件概率统计可以得到可以得到 n天中每天的天中每天的平均废品数平均废品数为：为：这是以频率为这是以频率为权的加权平均权的加权平均由频率和概率的关系由频率和概率的关系不难想
4、到，在求废品数不难想到，在求废品数 X的平均值时，用的平均值时，用概率代替概率代替频率频率，得平均值为：，得平均值为：这是以概率为这是以概率为权的加权平均权的加权平均这样得到了一个确定的数这样得到了一个确定的数.现问：现问：用这个数作为随用这个数作为随机变量机变量 X 的平均值的平均值 是否合理呢？是否合理呢？.12/20/2022北邮概率统计课件概率统计则对则对 X 作一系列观察作一系列观察(试验试验)，所得，所得 X 的试的试验值的平均值也是随机的。验值的平均值也是随机的。由此：以概率为权的加权平均值由此：以概率为权的加权平均值作为随机变量作为随机变量 X 的平均值的平均值 是合理的。是合
5、理的。对于一个随机变量，若它可能取的值是：对于一个随机变量，若它可能取的值是：X1,X2,相应的概率为相应的概率为 p1,p2,但是，如果试验次数很大，出现但是，如果试验次数很大，出现 Xk 的频率的频率会接近于会接近于 pk，于是可期望试验值的平均值于是可期望试验值的平均值接近接近于：于：注意到：注意到：12/20/2022北邮概率统计课件概率统计设设 X 是离散型随机变量，它的分布律为是离散型随机变量，它的分布律为:P(X=xk)=pk,k=1,2,也就是说，离散型随机变量的数学期望是一个也就是说，离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和绝对收敛的级数的和.如果级数如果级数 绝对收
6、敛，绝对收敛，1.定义定义1一一.离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望的和为随机变量的和为随机变量 X 的数学期望，记为：的数学期望，记为：则称此级数则称此级数12/20/2022北邮概率统计课件概率统计注：注：是个是个(实实)数。它数。它形式上形式上是是X的可能取值的可能取值的加权平均值；的加权平均值；本质上本质上体现了体现了X的真正的平的真正的平均，故常称均，故常称 为为 X 的均值；的均值；物理上物理上表示表示了一个质点系的重心坐标。了一个质点系的重心坐标。的的计算计算：当：当 X 的可能取值为有限时，的可能取值为有限时，则计算有穷和；当则计算有穷和；当 X 的可能取值为无限
7、时，的可能取值为无限时，则计算级数的和。则计算级数的和。若若不绝对收敛，则称不绝对收敛，则称 不存在不存在 推广推广到到二维：二维：为联为联合分布律合分布律12/20/2022北邮概率统计课件概率统计解解:某人的一串钥匙上有某人的一串钥匙上有 n 把钥匙，其中只有一把能把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门，某一把去开门，若每把钥匙试开一次后除去。若每把钥匙试开一次后除去。设试开次数为设试开次数为 X，则：，则：P(X=k)=1/n ,k=1,2,nE(X)于是，由数学期望的定义得：于是，由数学期望的定义得：例例1求：
8、求：打开门时试开次数的数学期望打开门时试开次数的数学期望.12/20/2022北邮概率统计课件概率统计2 .几种常见分布的数学期望几种常见分布的数学期望它它的分布律为的分布律为:若随机变量若随机变量 X 只能取只能取 0 与与 1 两个值，它的分布两个值，它的分布律为律为:则：则：设随机变量设随机变量 X 服从参数为服从参数为(n,p)的二项分布，的二项分布，(1)分布分布即即(2)二项分布二项分布12/20/2022北邮概率统计课件概率统计则：则：时时即即:令令:12/20/2022北邮概率统计课件概率统计(3)泊松分布泊松分布若若随机变量随机变量X 的所有可能取值为：的所有可能取值为：而它
9、的分布律而它的分布律(它所取值的各个概率它所取值的各个概率)为：为：即即:则则:即即:令令:12/20/2022北邮概率统计课件概率统计例例2.某银行信贷部门对前来申请贷款的两个企业进某银行信贷部门对前来申请贷款的两个企业进行调查，对其产品在市场上畅销、适销和滞销行调查，对其产品在市场上畅销、适销和滞销三种状况的盈利额和相应的概率作了如下估计：三种状况的盈利额和相应的概率作了如下估计：甲企业甲企业:乙企业乙企业:产品产品盈利额盈利额概率概率（万元）（万元）畅销畅销适销适销滞销滞销5030-200.150.60.25产品产品盈利额盈利额概率概率（万元）（万元）畅销畅销适销适销滞销滞销6036-4
10、00.10.60.312/20/2022北邮概率统计课件概率统计 二二.连续性随机变量的数学期望连续性随机变量的数学期望 1.连续型随机变量数学期望的定义连续型随机变量数学期望的定义问问:当其它条件均相同时，信贷部门应先批准哪个当其它条件均相同时，信贷部门应先批准哪个 企业的贷款更为稳妥？企业的贷款更为稳妥？解：解：当其它条件均相同时，应考查两个企业盈利额当其它条件均相同时，应考查两个企业盈利额的平均值的情况。的平均值的情况。故分别求其数学期望：故分别求其数学期望：（万元）（万元）（万元）（万元）由此可见，甲企业的经济效益高于乙企业，所以由此可见，甲企业的经济效益高于乙企业，所以信贷部门应先批
11、准个甲企业的贷款更为稳妥。信贷部门应先批准个甲企业的贷款更为稳妥。12/20/2022北邮概率统计课件概率统计连续型随机变量的数学期望的引出连续型随机变量的数学期望的引出 设设X是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为 f(x),在在数轴上取很密的分点数轴上取很密的分点 x0 x1 x2 ，则，则 X 落在小落在小区间区间 xi,xi+1)的概率是的概率是：小区间小区间xi,xi+1)阴影面积近似为阴影面积近似为12/20/2022北邮概率统计课件概率统计由于由于 xi 与与 xi+1 很接近很接近,所以区间所以区间 xi,xi+1)中中的值可以用的值可以用 xi 来近似代
12、替来近似代替.这正是这正是的的渐近和式渐近和式.变量变量近似近似，该离散型随机变量，该离散型随机变量因此因此 X 与以概率与以概率取值取值 xi 的离散型随机的离散型随机的数学期望为：的数学期望为：阴影面积近似为阴影面积近似为小区间小区间xi,xi+1)注意到：注意到：12/20/2022北邮概率统计课件概率统计由此启发引进如下定义由此启发引进如下定义2.设设 X 是连续型随机变量，其概率密度函数是连续型随机变量，其概率密度函数为为 f(x)，如果积分，如果积分:为连续型随机变量为连续型随机变量 X 的数学期望，记为：的数学期望，记为：也就是说，连续型随机变量的数学期望是一个也就是说，连续型随
13、机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分绝对收敛的积分.定义定义2绝对收敛，则称此绝对收敛，则称此积分的值积分的值12/20/2022北邮概率统计课件概率统计例例3.注：注：连续型随机变量的数学期望的相关注记同连续型随机变量的数学期望的相关注记同离散型随机变量离散型随机变量(略略)推广推广到二维到二维:为联合概率密度为联合概率密度设某系统设某系统 L有三种联接方式，其寿命有三种联接方式，其寿命 Z 是随机是随机变量，现已知这三种联接方式各自寿命的概率变量，现已知这三种联接方式各自寿命的概率密度分别为：密度分别为：12/20/2022北邮概率统计课件概率统计(串联串联)(并联并联)(备用备用)求：求
14、：这三种联接方式中哪种方式的平均寿命最长这三种联接方式中哪种方式的平均寿命最长12/20/2022北邮概率统计课件概率统计解：解：依题意，当依题意，当 时其数学期望分别为：时其数学期望分别为：显然：显然：所以得：在备用的联接方式下其寿命最长所以得：在备用的联接方式下其寿命最长12/20/2022北邮概率统计课件概率统计2.几种常见分布的数学期望几种常见分布的数学期望则则:(1).均匀分布均匀分布若连续型随机变量若连续型随机变量 X 具有概率密度具有概率密度 f(x)为：为：即即0其其 它它即即:12/20/2022北邮概率统计课件概率统计(2).指数分布指数分布若连续型随机变量若连续型随机变量
15、 X 具有概率密度具有概率密度 f(x)为：为：为常数为常数其中其中则则:即即:由分部积分由分部积分12/20/2022北邮概率统计课件概率统计(3).正态分布正态分布 若随机变量若随机变量 X 的的概率密度为：概率密度为：即即:则则:12/20/2022北邮概率统计课件概率统计 三三.随机变量的函数的数学期望随机变量的函数的数学期望即即:结论：结论：正态分布中密度函数的参数正态分布中密度函数的参数 恰好就是恰好就是 随机变量随机变量X的数学期望的数学期望.1.问题的提出：问题的提出：设已知随机变量设已知随机变量 X 的分布，且的分布，且 Y=g(X),那么应那么应该如何计算该如何计算Y=g(
16、X)的数学期望呢？也即如何计算的数学期望呢？也即如何计算随机变量的函数的数学期望随机变量的函数的数学期望?12/20/2022北邮概率统计课件概率统计因为因为 g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的布可以由已知的 X 的分布求出来的分布求出来.一旦知道了一旦知道了g(X)的分布，就可以按照数学期望的定义把的分布，就可以按照数学期望的定义把 E g(X)计算出来计算出来.使用这种方法使用这种方法必须必须先求出随机变量函数先求出随机变量函数 g(X)的分的分 布，一般是比较复杂的布，一般是比较复杂的.是否可以不先求是否可以不先求 g(X)的分
17、布而的分布而只根据只根据 X 的分布的分布 求得求得 E g(X)呢？呢？一种方法是一种方法是:这种方法的缺点这种方法的缺点:问题：问题：12/20/2022北邮概率统计课件概率统计定理定理.设设Y是随机变量是随机变量X的函数：的函数：（是连续是连续函数）函数）则：则：(1)X是是离散型离散型随机变量，它的分布律为：随机变量，它的分布律为：绝对收敛，则有：绝对收敛，则有：(2)X是是连续型连续型随机变量，它的概率密度为随机变量，它的概率密度为绝对收敛，则有：绝对收敛，则有：12/20/2022北邮概率统计课件概率统计给出了求随机变量函数的数学期望时，可以直给出了求随机变量函数的数学期望时，可以
18、直接利用原来随机变量的分布，而不必先求随机接利用原来随机变量的分布，而不必先求随机变量函数的分布。变量函数的分布。此定理可以此定理可以推广推广到二个或二个以上随机变量到二个或二个以上随机变量的情形：的情形：证明：证明：(略略)，特殊情况的证明见教材，特殊情况的证明见教材P116注注 定理的意义：定理的意义：例如，例如，设设 Z 是随机变量是随机变量 X，Y 的函数的函数是连续的函数，是连续的函数，则有：则有：12/20/2022北邮概率统计课件概率统计这里设上式右边的级数绝对收敛这里设上式右边的级数绝对收敛.(1)若若(X,Y)为为离散型离散型随机变量，其联合分布律为：随机变量，其联合分布律为
19、：则有：则有：(2)若若(X,Y)为为连续型连续型随机变量，其联合概率密度为随机变量，其联合概率密度为则有：则有：这里设右边的积分绝对收敛这里设右边的积分绝对收敛.12/20/2022北邮概率统计课件概率统计例例4.设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为：的联合概率密度为：求：求：的数学期望的数学期望解：解：11 oyx xy因此有因此有：显然显然，由题设，由题设的区域如图中的阴影部分的区域如图中的阴影部分12/20/2022北邮概率统计课件概率统计设国际市场对我国某出口商品的年需求量是一个设国际市场对我国某出口商品的年需求量是一个随机变量随机变量 X（单位（单位:
20、吨）吨）,它在它在 2000,4000 上服上服从均匀分布。设每售出这种商品一吨，可为国家从均匀分布。设每售出这种商品一吨，可为国家挣外汇挣外汇3万元，若售不出，则每吨需花费仓储费万元，若售不出，则每吨需花费仓储费1万元万元.例例5问：问：需组织多少货源需组织多少货源,才能使国家的收益最大才能使国家的收益最大解：解：设设准备某年出口此种商品的量准备某年出口此种商品的量由题设可知：由题设可知：设收益为设收益为Y，则有：，则有：12/20/2022北邮概率统计课件概率统计而随机变量而随机变量 X 的概率密度为：的概率密度为：所以：所以：12/20/2022北邮概率统计课件概率统计结论：应组织结论：
21、应组织3500(吨吨)货源才能使国家的收益最大货源才能使国家的收益最大.注意到注意到：E(Y)是变量是变量的函数的函数所以，对所以，对 E(Y)关于关于 求极值，可得：求极值，可得：时时当当达最大达最大 四四.数学期望的性质数学期望的性质设设是常数，则：是常数，则：设设是常数，是常数，X 是随机变量，则：是随机变量，则：线性性质线性性质12/20/2022北邮概率统计课件概率统计这一性质可推广到这一性质可推广到任意有限任意有限个随机变量个随机变量之和之和的情形的情形.X,Y是两个随机变量，则：是两个随机变量，则：注：注：X,Y是两个相互独立的随机变量，则：是两个相互独立的随机变量，则：注：注：
22、这一性质可推广到这一性质可推广到任意有限任意有限个个相互独立相互独立的随的随机变量机变量之积之积的情形的情形.性质性质3、性质、性质4的证明见教材的证明见教材P11912/20/2022北邮概率统计课件概率统计例例6.求求：的数学期望的数学期望解：解：12/20/2022北邮概率统计课件概率统计例例7.设设相互独立，且均服从相互独立，且均服从分布分布求：求：解：解：设：设：由题意，每一个随机变量均服从（由题意，每一个随机变量均服从（01）分布）分布即每一个随机变量即每一个随机变量 服从：服从：则由数学期望的性质有：则由数学期望的性质有：而：而：所以得：所以得：12/20/2022北邮概率统计课件