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1、引入引入引入引入 随机变量的分布函数能完整的描述随机变量的随机变量的分布函数能完整的描述随机变量的统计规律性。统计规律性。但在许多实际问题中，并不需要去全面考察随机但在许多实际问题中，并不需要去全面考察随机变量的变化情况。变量的变化情况。如大致了解全班同学的身高情况，其实我们只要如大致了解全班同学的身高情况，其实我们只要知道全班同学的知道全班同学的平均身高平均身高、大家身高对平均身高、大家身高对平均身高的的平均偏离程度平均偏离程度就可以大致了解全班同学的身高就可以大致了解全班同学的身高情况。情况。平均身高平均身高和和平均偏离程度平均偏离程度就是就是X的两个数字的两个数字特征，我们分别称之为特征
2、，我们分别称之为数学期望、方差。数学期望、方差。数学期望、方差、协方差和相关系数数学期望、方差、协方差和相关系数 因此，在对随机变量的研究中，确定某些数因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的字特征是重要的.在这些数字特征中，最常用的是在这些数字特征中，最常用的是第四章第四章第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征下下下下回回回回停停停停第一节第一节第一节第一节 随机变量的随机变量的随机变量的随机变量的 数学期望数学期望数学期望数学期望一、数学期望的概念一、数学期望的概念 二、随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望 三、数学期
3、望的性质三、数学期望的性质 四、应用实例四、应用实例一、数学期望的概念一、数学期望的概念一、数学期望的概念一、数学期望的概念1.1.问题的提出问题的提出问题的提出问题的提出 1654年年,一个名叫一个名叫德德.梅尔的贵族就梅尔的贵族就“两个两个赌徒约定赌徒约定赌若干局赌若干局,且谁先赢且谁先赢 c 局便算赢家局便算赢家,若若在一赌徒胜在一赌徒胜a局局(ac),另一赌徒胜另一赌徒胜b局局(bc)时便时便终止赌博终止赌博,问应如何分赌本问应如何分赌本”为题求教于帕斯为题求教于帕斯卡卡,帕斯卡与费马通信讨论这一问题帕斯卡与费马通信讨论这一问题,于于1654 年年共同建立了概率论的第一个基本概念共同建
4、立了概率论的第一个基本概念 数学期数学期望望 A、B两人赌技相同两人赌技相同,各出赌金各出赌金100元元,并约定并约定先胜三局者为胜先胜三局者为胜,取得全部取得全部 200元元.由于出现意外由于出现意外情况情况,在在 A 胜胜 2 局、局、B 胜胜1局时局时,不得不终止赌博不得不终止赌博,如果要分赌金如果要分赌金,该如何分配才算公平该如何分配才算公平?引例引例1 分赌本问题分赌本问题(产生背景产生背景)事实上，很容易设想出以下两种分法：事实上，很容易设想出以下两种分法：(1)A得得200*（1/2)元元、B得得200*（1/2)元元;(2)A得得200*（2/3)元元、B得得200*（1/3)
5、元元;第第1种分法考虑到种分法考虑到A、B两人赌技相同，就平均分配，没两人赌技相同，就平均分配，没有照顾到有照顾到A 已经比已经比B 多赢多赢1局这一现实，显然对局这一现实，显然对A是不公平是不公平的。的。第第2种分法不但照顾到种分法不但照顾到“A、B两人赌技相同两人赌技相同”这一前提，这一前提，还尊重了已经进行的三局比赛结果，当然更公平一些。但还尊重了已经进行的三局比赛结果，当然更公平一些。但是，第是，第2种分法还是没有考虑到如果继续比赛下去的话会种分法还是没有考虑到如果继续比赛下去的话会出现什么情形，即没有照顾到两人在现有基础上对比赛结出现什么情形，即没有照顾到两人在现有基础上对比赛结果的
6、一种期待。果的一种期待。A胜胜2局局B胜胜1局局前三局前三局:后二局后二局:把已赌过的三局把已赌过的三局(A 胜胜2局、局、B 胜胜1局局)与上述结果与上述结果相结合相结合,即即A、B赌完五局赌完五局:A AA B B AB BA胜胜B胜胜分析分析 假设继续赌两局假设继续赌两局,则结果有以下四种情况则结果有以下四种情况:A AA B B AB BA胜胜B负负 A胜胜B负负 A胜胜B负负 B胜胜A负负 B胜胜A负负 A胜胜B负负 B胜胜A负负 B胜胜A负负 因此因此,A 能能“期望期望”得到的数目应得到的数目应为为 而而B 能能“期望期望”得到的数目得到的数目,则为则为故有故有,在赌技相同的情况
7、下在赌技相同的情况下,A、B最终获胜的最终获胜的可能性大小之比为可能性大小之比为 3:1.即即A 应获得赌金的应获得赌金的 而而 B 只能获得赌金的只能获得赌金的这种分法自然比前两种方法都更为合理，使双方都这种分法自然比前两种方法都更为合理，使双方都乐于接受。这就是乐于接受。这就是“数学期望数学期望”这个名字的由来。这个名字的由来。因而因而A期望所得的赌金即为期望所得的赌金即为X的的“期望期望”值值,等于等于X的可能值与其概率之积的累加的可能值与其概率之积的累加.即为即为若设随机变量若设随机变量 X 为为:在在 A 胜胜2局局B 胜胜1局的前提局的前提下下,继续赌下去继续赌下去 A 最终所得的
8、赌金最终所得的赌金.则则X 所取可能值为所取可能值为:其概率分别为其概率分别为:引例引例引例引例2 2 加权平均成绩加权平均成绩加权平均成绩加权平均成绩为该生各门课程的为该生各门课程的算术平均成绩算术平均成绩.设某学生四年大学各门功课设某学生四年大学各门功课 成绩分别为成绩分别为其学分分别为其学分分别为,则称则称这是这是以频率为权的加权平均以频率为权的加权平均 显然算术平均成绩是加权平均成绩的一种显然算术平均成绩是加权平均成绩的一种为该生的为该生的加权平均成绩加权平均成绩.,可见加权平均才充分的体现了可见加权平均才充分的体现了特例特例,即即平均值的意义平均值的意义.这是这是以概率为权的加权平均
9、以概率为权的加权平均通过上述通过上述2个引例个引例,我们可以给出如下定义我们可以给出如下定义2.离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望若级数若级数,则称则称绝对收敛绝对收敛,即即级数级数的和为随机变量的和为随机变量 X 的的数学期望数学期望,记为记为E X,即即定义定义1 设离散型随机变量设离散型随机变量 X 的分布律为的分布律为X的分布律为的分布律为E(X)=比如比如0-1分布的期望为分布的期望为p注注1 E X 是一个实数是一个实数,而而非非变量变量,它是一种它是一种加加权平均权平均,它从本质上体现了随机变量它从本质上体现了随机变量 X 取可能取可能值的值的真正的平均值真正的平均
10、值,也称也称均值均值.注注2 级数的绝对收敛性级数的绝对收敛性保证了级数的和不随保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变级数各项次序的改变而改变,之所以这样要求之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值的取可能值的平均值平均值,它不因可能值的排列次序而改变它不因可能值的排列次序而改变.设设某某教教练练员员有有甲甲、乙乙两两名名射射击击运运动动员员,现现需需要要选选拔拔其其中中的的一一名名参参加加运运动动会会,根根据据过过去去的的记录显示记录显示,二人的技术水平如下二人的技术水平如下:乙射手乙射手 甲射手甲射手试问哪个射手技术较好试问哪个射手技术较好?例
11、例1 选拔运动员选拔运动员解解运动员的水平是通过其平均水平来衡量的运动员的水平是通过其平均水平来衡量的,故甲射手的技术比较好故甲射手的技术比较好.因而甲、乙两射手的平均水平分别为因而甲、乙两射手的平均水平分别为甲射手甲射手乙射手乙射手解解则有则有例例2(泊松分布泊松分布)因而泊松分布因而泊松分布P 的数学期望为的数学期望为 .设设X ,且其分布律为且其分布律为设随机变量设随机变量 X P(),求求E X.3.连续型随机变量数学期望的定义连续型随机变量数学期望的定义定义定义2设连续型随机变量设连续型随机变量X 的概率密度为的概率密度为则则称为随机变量称为随机变量X 的的数学期望数学期望,f x,
12、记为记为E X,即即例例3(均匀分布均匀分布)解解则有则有4.常见连续型随机变量的数学期望常见连续型随机变量的数学期望设随机变量设随机变量X服从均匀分布服从均匀分布,因而均匀分布数学期望位于区间的中点因而均匀分布数学期望位于区间的中点.求求E(X).则有则有解解例例4(正态分布正态分布)设随机变量设随机变量 ,求求E X.设设 ,其概率密度函数其概率密度函数所以所以令令因而参数因而参数 为为正态分布的数学期望正态分布的数学期望.由凑微分由凑微分由概率密度由概率密度的归一性的归一性例例5 (指数分布指数分布)求求E X.解解由分部积分由分部积分常见连续型分布的数学期望小结常见连续型分布的数学期望
13、小结练习练习 设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为求求随机变量随机变量X 的的数学期望数学期望E(X).练习练习 设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为求求随机变量随机变量X 的的数学期望数学期望E(X).E(X)=解解例例6解解但是但是6.数学期望不存在的实例数学期望不存在的实例设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为的分布律为由于由于因而其数学期望因而其数学期望E X 不存在不存在.求求E X.二、随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望(一一)一维随机变量函数的数学期望一维随机变量函数的数学期望 1.问题的
14、提出问题的提出XE(X)数学期望数学期望g是连续函数是连续函数,g(X)是随是随机变量机变量,如如:aX+b,X2等等等等.g(X)数学期望数学期望2.离散型随机变量函数的数学期望离散型随机变量函数的数学期望解解设随机变量设随机变量 X 的分布律为的分布律为例例7则有则有因此因此离散型随机变量函数的数学期望为离散型随机变量函数的数学期望为若若 Y=g(X),且且则有则有设设X是一个是一个连续型连续型随机变量随机变量,Y g(X),则则 f(x)为为X的密度函数。的密度函数。求求Eg(X)时时,只需只需知道知道X的分布即可的分布即可.3.一维连续型随机变量函数数学期望的计算一维连续型随机变量函数
15、数学期望的计算定理定理1 设设X是一个随机变量是一个随机变量,Y g(X),则则 当当X为离散型时为离散型时,P(X xk)pk,(k 1,2,);当当X为连续型时为连续型时,X的密度函数为的密度函数为f(x).求求Eg(X)时时,只需只需知道知道X的分布即可的分布即可.解解X UE(Y)=E(sinX)=X的的概率密度为概率密度为例例8 设设X服从服从 上的均匀分布，求上的均匀分布，求Y=sinX 的数学期望的数学期望 对于二维随机变量而言对于二维随机变量而言,其函数的数学期望其函数的数学期望计算方法可以由类似于计算方法可以由类似于定理定理1得到得到.1.二维离散型情形二维离散型情形(二二)
16、二维随机变量函数的数学期望二维随机变量函数的数学期望设设 X,Y 为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量,Z g X,Y 为为 二元函数二元函数,如果如果E Z 存在存在,其中其中 X,Y 的联合概率分布为的联合概率分布为pij.2.二维连续型情形二维连续型情形设设 X,Y 为二维连续型随机变量为二维连续型随机变量,Z g X,Y 为为二元连续函数二元连续函数,如果如果E Z 存在存在,则则其中其中 X,Y 的联合概率密度为的联合概率密度为f x,y.例例例例 10 10 设设设设 X X,Y Y 的分布律为的分布律为的分布律为的分布律为解解 X的分布律为的分布律为求求E X,E Y,因为因
17、为(X,Y)的分布律为的分布律为Y的分布律为的分布律为Y/X的分布律为的分布律为计算可得计算可得 5.例例11 设随机变量设随机变量X,Y的联合概率密度为的联合概率密度为求求 E(X)，E(XY)E(X)=解解例例11 设随机变量设随机变量X,Y的联合概率密度为的联合概率密度为求求 E(X)，E(XY)E(XY)=解解三、数学期望的性质三、数学期望的性质三、数学期望的性质三、数学期望的性质性质性质1 设设C是常数是常数,则有则有E CC.证证性质性质2 设设 X 是一个随机变量是一个随机变量,C 是常数是常数,则有则有证证性质性质3 设设 X、Y 是两个随机变量是两个随机变量,则有则有证证推广
18、推广这一性质可推广到这一性质可推广到任意有限任意有限个随机变量个随机变量之和之和的情形的情形.线性性质线性性质性质性质性质性质4 4 设设设设 X X、Y Y是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量,则有则有则有则有注注 连续型随机变量连续型随机变量 X 的数学期望与离散型随机的数学期望与离散型随机变量数学期望的性质类似变量数学期望的性质类似.上述证明只证了一类上述证明只证了一类.证证则则X、Y不独立不独立.这一性质可推广到这一性质可推广到任意有限任意有限个个相互独立相互独立的随的随机变量机变量之积之积的情形的情形.例例12 若若 XB(1,0.2)，求
19、，求Y=2X+1的数学期望的数学期望解解E(Y)=E(2X+1)=2E(X)+1 E(X)=0.2=20.21=1.4解解E(Z)=求求E(Z)例例13例例14 若若 XB(n,p)，求，求X的数学期望的数学期望设设X表示表示n重贝努里试验中事件重贝努里试验中事件A发生的发生的 次数次数.又设又设X=X1+X2+Xni=1,2，n则则=np所以所以 E(X)=E(Xi)=p若若 XB(n,p)，则则X的数学期望的数学期望E(X)=npXi的的分布律为分布律为0 1 Xi pk p 1-p内容小结内容小结内容小结内容小结1.数学期望是一个实数数学期望是一个实数,而非变量而非变量,它是一种它是一种
20、加权平均加权平均,与一般的平均值不同与一般的平均值不同,它从本质上它从本质上体现了随机变量体现了随机变量 X 取可能值的取可能值的真正的平均值真正的平均值.2.数学期望的性质数学期望的性质如如,甲、乙两门炮同时向一目标射击甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，发炮弹，其落点距目标的位置如图：其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮射击结果乙炮乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.中心中心中心中心 如何度量随机变量取值在其中心附近的离如何度量随机变量取值在其中心附近的离散程度散程度
21、.2 方差方差 2 方差方差 一、方差的定义及计算一、方差的定义及计算二、常见随机变量的方差二、常见随机变量的方差三、方差的性质三、方差的性质1.方差的定义方差的定义 方差刻划了随机变量的取值对于其数学方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度期望的离散程度.一、概念方差是一个常用来体现随机变量方差是一个常用来体现随机变量X 取值分散取值分散程度的量程度的量.如果如果D(X)值值大大,表示表示X 取值分散程度取值分散程度大大,而如果而如果D(X)值值小小,则表示则表示X 的取值比较的取值比较集中集中,2.方差的意义方差的意义离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差 连续型随机变量的方差连
22、续型随机变量的方差3.随机变量方差的计算随机变量方差的计算 (1)利用定义计算利用定义计算 g(X)=X-E(X)2的的数学期望数学期望.证明证明(2)利用公式计算利用公式计算例例1设设随机变量随机变量X具有具有(01）分布，其分布率为）分布，其分布率为求求D(X).解解由公式由公式因此因此,0-1分布分布例例2 设设X的的分布律为分布律为-2 0 2X pi 0.4 0.3 0.3求求D(X)E(X)=解解D(X)=解解例例3X的的分布律为分布律为k=0,1,2,E(X 2)=(1)设设X P (),则则E(X)常见随机变量的方差常见随机变量的方差P(X=k)=D(X)=E(X 2)(1)设
23、设XP(),则则E(X)D(X)D(X)=E(X2)-E(X)22.二项分布二项分布 X b(n,p)则有则有3.均匀分布均匀分布4.指数分布指数分布 5.正态分布正态分布则有则有分布分布参数参数数学期望数学期望方差方差两点分布两点分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布均匀分布均匀分布指数分布指数分布正态分布正态分布证明证明三三.方差的性质方差的性质(1)设设 C 是常数是常数,则有则有(2)设设 X 是一个随机变量是一个随机变量,C 是常数是常数,则有则有证明证明(3)设设 X,Y相互独立相互独立,D(X),D(Y)存在存在,则则证明证明(4)D(aX-bY)=D(X)+D(Y);(3)D(a
24、X+bY)=D(X)+D(Y);若若X与与Y独立，则独立，则(1)D(X+Y)=D(X)+D(Y);(2)D(X-Y)=D(X)+D(Y);推广推广解解:XE(Z)=E(3X-2)E(X)=2,D(X)=2E(Y)=E(X 2)=D(X)+(E X)2=6=3E(X)-2=4例例5 设设XB(n,p),求求D(X).设设i=1,2，nD(Xi)=p,p(1-p)设设X表示表示n重贝努里试验中的重贝努里试验中的“成功成功”次数次数 E(Xi)Xi的的分布律为分布律为0 1 Xi pk p 1-p于是于是由于由于X1,X2,Xn相互相互独立独立=np(1-p)则则XB(n,p),有有EX=np,D
25、X=np(1-p).若在已知某些分布类型时，知道期望若在已知某些分布类型时，知道期望方差，便能够确定其分布。方差，便能够确定其分布。例例6 设随机变量设随机变量X和和Y相互独立且相互独立且XN(1,2),YN(0,1).试求试求Z=2X-Y+3的概率密度的概率密度.解解:(E(Z),D(Z)Z N(5,32)且且X与与Y独立独立,YN(0,1)，XN(1,2),则则 ZNE(Z)=2E(X)-E(Y)+3E(2X-Y+3)=5D(Z)=D(2X-Y+3)=4D(X)+D(Y)=9故故Z的概率密度是的概率密度是契比雪夫不等式契比雪夫不等式证明证明契契比雪夫不等式比雪夫不等式（）.得得 由切比雪夫
26、不等式可以看出，若由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，则越小，则事件事件|X-E(X)|的概率越大，即的概率越大，即随机变量随机变量X 集集中在期望附近的可能性越大中在期望附近的可能性越大.例例7 已知正常男性成人血液中已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞，每一毫升白细胞数平均是数平均是7300，均方差是，均方差是700.利用切比雪夫不等利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在式估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率之间的概率.解：设每毫升白细胞数为解：设每毫升白细胞数为X依题意，依题意，E(X)=7300,D(X)=7002所求为所求为 P(5200 X 9400)P(5200 X 9400)=P(-2100 X-E(X)2100)=P|X-E(X)|2100由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式 P|X-E(X)|2100即估计每毫升白细胞数在即估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率不之间的概率不小于小于8/9.例例8 设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为且且求常数求常数