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1、1.4 1.4 角平分线角平分线(1)(1)第一章第一章 三角形的证明三角形的证明北师大版北师大版 数学八年级下册数学八年级下册郑州市第七十一中学张松郑州市第七十一中学张松 1通过自主学习能够用数学语言描述角平通过自主学习能够用数学语言描述角平分线的性质定理和判定定理分线的性质定理和判定定理.23经历小组合作探究会证明角平分线的经历小组合作探究会证明角平分线的性质定理和判定定性质定理和判定定理理.经过练习拓展，能够灵活运用角平分线经过练习拓展，能够灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解决的性质定理和判定定理解决有关问题有关问题.温故知新温故知新什么叫角平分线？什么叫角平分线？数学语言要准确、简
2、洁！数学语言要准确、简洁！数学语言要准确、简洁！数学语言要准确、简洁！AOB 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相等的角，这条射线就叫这个角的角平分线相等的角，这条射线就叫这个角的角平分线.P角平分线在角的内部！角平分线在角的内部！角平分线在角的内部！角平分线在角的内部！u角平分线上的点具有什么性质？角平分线上的点具有什么性质？u你是怎样得到的？你是怎样得到的？角平分线的性质角平分线的性质1知识点知识点角平分线上的点到角两边的距离相等角平分线上的点到角两边的距离相等To To show show the the best best
3、of of whatever whatever you you are!are!展示最好的自已！展示最好的自已！一起看看功能强大的几何画板！一起看看功能强大的几何画板！探求新知探求新知可信吗？！可信吗？！数学的每一个结论都要言之有理！数学的每一个结论都要言之有理！都要经过严格的推理证明才能使用！都要经过严格的推理证明才能使用！角平分线上的点到这个角的两边的距离相等角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.逻辑推理是数学的一个重要特征！逻辑推理是数学的一个重要特征！角平分线上的点到这个角的两边的距离相等角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 已知已知：求证：求证：条件条件结论结论OC是是AOB的的
4、平分线，平分线，点点P在在OC上，上，PD丄丄OA,PE丄丄OB,垂足分别为垂足分别为D，E.我们一起来证明！我们一起来证明！PDPE如图：如图：活动一、共同探究！活动一、共同探究！已已知知：如如图图，OC是是AOB的的平平分分线线，点点P在在OC上上，PD丄丄OA,PE丄丄OB,垂足分别为垂足分别为D，E.求证求证：PDPE.活动一、共同探究活动一、共同探究证明首先要分析，有一个清晰的思路！分析：分析：欲证：欲证：PDPE即证：即证：POPO活动要求：同桌合作分钟完成！活动要求：同桌合作分钟完成！活动一、共同探究活动一、共同探究 证明：证明：OC是是AOB的角平分线，的角平分线，PDOA,P
5、EOB PD=PE（三角形全等对应边相等）三角形全等对应边相等）1=2PDO=PEO 90 在在OPD和和OPE中中 OPDOPE(AAS)一个定理证明之后就可直接使用了！角平分线上的点到这个角的两边的距离相等角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 角平分线性质定理角平分线性质定理 定理定理活动一、共同探究活动一、共同探究命题被证明是正确的之后就可直接使用了！这个结论是正确这个结论是正确活动一、共同探究活动一、共同探究 证明：证明：OC是是AOB的平分线，的平分线，PDOA,PEOB 1=2，PDO=PEO 90 在在OPD和和OPE中中 OPDOPE(AAS)PD=PE（三角形全等对应边相等
6、）三角形全等对应边相等）一个命题被证明是正确之后，怎么直接使用？角平分线上的点到这个角的两边的距离相等角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 角平分线性质定理角平分线性质定理 定理定理活动一、共同探究活动一、共同探究一个定理的几何语言简洁、明了！OC是是AOB的平分线的平分线 PDOA,PEOB PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）几何语言几何语言学以致用学以致用 郑州市政府为缓解市区交通压力，将大型水果蔬菜批发市场外迁，郑州市政府为缓解市区交通压力，将大型水果蔬菜批发市场外迁，为便于大宗货物运进运出，项目确定建在区，距离公路和铁路交为便
7、于大宗货物运进运出，项目确定建在区，距离公路和铁路交叉处的综合物流通道叉处的综合物流通道10Km处且到两路的距离相等的，请你在图上标处且到两路的距离相等的，请你在图上标出它的位置（比例尺出它的位置（比例尺1:1000），并说出过程），并说出过程.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 角平分线性质定理角平分线性质定理 定理定理 你能写出这个命题的逆命题？你能写出这个命题的逆命题？.如果一个点到角的两边的距离相等如果一个点到角的两边的距离相等 那么它就在这个角的平分线上那么它就在这个角的平分线上.到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上到角的两边距离相等的点
8、在这个角的平分线上条件条件结论结论 真，假？真，假？假假命命题题！角平分线的判定角平分线的判定知识点知识点角平分线上的点到这个角的两边的距离相等角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 角平分线性质定理的逆命题角平分线性质定理的逆命题描述一个定理，语言一定要简洁、准确！在一个角形内部，在一个角形内部，到角的两边距离相等到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上的点在这个角的平分线上.定理定理角平分线性质定理角平分线性质定理愉快的合作交流会让我们的学习更加充实、高效！愉快的合作交流会让我们的学习更加充实、高效！愉快的合作交流会让我们的学习更加充实、高效！愉快的合作交流会让我们的学习更加充实、高效！活
9、动要求：活动要求：.小组合作分钟完成！小组合作分钟完成！.仿照角平分线的性质定理仿照角平分线的性质定理.写出已知、求证写出已知、求证.写出证明过程写出证明过程.写出角平分线判断定理的几何语言写出角平分线判断定理的几何语言完成内容：完成内容：活动二、小组探究活动二、小组探究已知已知：求证：求证：条件条件结论结论PD丄丄OA,PE丄丄OB,垂足垂足分别分别为为D、E ，PDPE.O平分平分AOB如图：点如图：点P为为AOB内一点内一点活动二、小组探究活动二、小组探究在三角形内部，在三角形内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上活动、小组探究活动、小组探
10、究PDO=PEO 90 在在PDO和和PEO中中 OPDOPE()证明：证明：PDOA,PEOB 1=2（三角形全等对应边相等）三角形全等对应边相等）OP平分平分AOB角平分线上的点到这个角的两边的距离相等角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 角平分线判定定理角平分线判定定理活动二、小组探究活动二、小组探究描述一个定理，语言一定要简洁、准确！在一个角形内部，在一个角形内部，到角的两边的距离相等到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上的点在这个角的平分线上 定理定理定理定理角平分线性质定理角平分线性质定理活动、小组探究活动、小组探究PDO=PEO 90 在在PDO和和PEO中中 OPDOPE
11、(AAS)1=2（三角形全等对应边相等）三角形全等对应边相等）OP平分平分AOB PDOA,PEOB且且 PD=PE角平分线判定定理角平分线判定定理几何语言几何语言.如图，点如图，点P是是AOB平分线平分线OC上一点，上一点，PDOB，垂足为，垂足为D，若，若PD2，则点，则点P到边到边OA的距离是的距离是()A2 B3 C.D4A随堂检测随堂检测如图，在如图，在CD上求一点上求一点P，使它到边，使它到边OA，OB的距离相等，则点的距离相等，则点P是是()A线段线段CD的中点的中点BCD与过点与过点O作作CD的垂线的交点的垂线的交点CCD与与AOB的平分线的交点的平分线的交点D以上均不对以上均
12、不对C随堂检测随堂检测3如如图，图，OP平分平分AOB，PAOA，PBOB，垂足垂足分别分别为为A，B.下列结论中不一定成立的是下列结论中不一定成立的是()APAPB BPO平分平分APBCOAOB DAB垂直平分垂直平分OPD随堂检测随堂检测随堂检测随堂检测.如图，如图，AD，AE分别是分别是ABC中中A的内角平的内角平分线和外角平分线，它们有什么关系？分线和外角平分线，它们有什么关系？分析分析：AD是线段是线段AF是射线是射线AD，AF存在数量关系？存在数量关系？拓展提升拓展提升 .如如图图,在在ABC中，中，AD是它的角平分线，是它的角平分线，BDCD,DE丄丄AB，DF丄丄AC，垂足分
13、垂足分别别为为E，F，求证求证：EBFC（1）还有哪些新的发现？）还有哪些新的发现？（2）连接）连接 EF 后又有那些新发现？后又有那些新发现？请说出成立的理由请说出成立的理由 .如如图图,在在ABC中，中，BAC60，点，点D在在BC上上，AD10，DE丄丄AB，DF丄丄AC，垂足分垂足分别别为为E，F，DEDF，求，求DE的的长长.分析分析：DE 丄丄 AB，DF 丄丄 AC，DEDF，角平分线的判定定理角平分线的判定定理求求DE的长？的长？AD10DE与与AD有数量关系有数量关系拓展提升拓展提升解：解：DE丄丄AB,DF丄丄AC，垂足分分别为，垂足分分别为E，F且且DEDFAD平分平分B
14、AC(在一个角的内部，到角的两边在一个角的内部，到角的两边 距离相等的点在这个角的平分线上）距离相等的点在这个角的平分线上）.又又BAC60 BAD30 在在 RtADE中，中，AED90，AD1DEAD 105(在直角三角形中，如一个锐角等于在直角三角形中，如一个锐角等于30.那么它所对的直角边等于斜边的一半那么它所对的直角边等于斜边的一半).角平分线判定定理角平分线判定定理(1)二者互逆，条件中都有垂直二者互逆，条件中都有垂直(2)性质定理和判断判定定理经过证明后就可以直接使用性质定理和判断判定定理经过证明后就可以直接使用.角平分线性质定理角平分线性质定理.利用尺规作一个三角形三个内角的角平分线，你发利用尺规作一个三角形三个内角的角平分线，你发现了什么现了什么?并在信息技术课上利用几何画板验证一下。并在信息技术课上利用几何画板验证一下。2.认真思考独立完成认真思考独立完成课本课本P习题习题1.9第第.题题证明一定要规范：证明一定要规范：条理清晰，因果相应，条理清晰，因果相应，言必有据。言必有据。结束寄语结束寄语