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1、第第 10 章章 行列式行列式 知识点知识点行列式定义行列式性质行列式的计算克莱姆法则 难点难点行列式的性质行列式的计算 要求要求 熟练掌握：行列式的性质和计算用代数余子式将行列式展开 利用克莱姆法则求解线性方程组了解：n 阶行列式的定义 二阶、三阶行列式的概念10.1 二阶和三阶行列式二阶和三阶行列式10.1.1 二阶行列式二阶行列式 用记号 表示代数和 这个记号称为二阶行列式,它是由22各元素组成，可用画线的方法记忆,既 其中 称为行列式的元素，第一个下标 ，表示第 行，第二个下标j表示第j列，就是表示行列式第 行第j列相交处的那个元素。例例 用行列式法求解线性方程组解解因为所以 是原方程
2、组的解10.1.2三阶行列式三阶行列式类似地，三元一次方程组 （1）的系数行列式为三阶行列式。当系数行列式 时（1）式的解可以写成 其中 是将（1）式中的系数行列式D的第一列、第二列、第三列分别换成常数项列得到的三阶行列式。用记号 表示代数和这个记号称为三阶行列式。例例 计算行列式 解解 按对角线法有 =例例 用行列式法求解线性方程组解解 所以 是原方程组的解。10.2 行列式的性质及其计算行列式的性质及其计算 将行列式D的行与相应的列互换到的新行列式，称为D的转置行列式，记为 。即如果 ，则 行列式具有如下性质：行列式具有如下性质：性质性质1 将行列式转置，行列式的值不变，即 。性质性质2
3、互换行列式中的任意两行（列），行 列式仅改变符号。性质性质3 如果行列式中有两行（列）的对应元 素相同，则此行列式的值为零。性质性质4 如果行列式有一行元素全为零，则这个行列式的值等于零。性性质质5 把行列式的某一行（列）的每各元素同乘的数k，等于以数k乘该行列式。即推推论论1 如果行列式某行（列）的所有元素有公因子，则公因子可以提到行列式外面。推推论论2 如果行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值等于零。性性质质6 如果行列式中的某一行（列）所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和，而且这两个行列式除了这一行（列）以外，其余的元素与原来行列式的对应元素相同。性性质质7
4、将行列式某一行（列）的所有元素同乘以数k后，加于另一行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变。例例 计算行列式 解解因为第1列与第2列对应元素成比例，根据性质3的推论2可知 10.3行列式的展开行列式的展开例如例如 三阶行列式D=中元素 的代数余子式是而 的代数余子式是 定理定理1 三阶行列式D=的值等于它任意一行（列）的所有元素与它们对应的代数余子式乘积之和。例例 将行列式 分别按第1行，第3列展开。解解 按第1行展开得 按第3列展开得 推论推论3 三阶行列式D的某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 （）（）例例 计算 解解 =+=10.4 n阶行列式阶行列
5、式定义定义1 由 个元素组成的记号称为n阶行列式，其中横排称为行，纵排称为列。它表示所有可能取自不同的行不同的列的n个元素乘积的代数和，其值定义为 （按第i行展开，i1，2，3，n）（按第j列展开，j1，2，3，n）其中 是 的代数余子式，都是n1阶行列式。例 其中 这种行列式称为对角形行列式其中 这种行列式称上三角形行列式其中 这种行列式称为下三角形行列式 三角形行列式及对角行行列式的值均等于主对角线上元素的乘积。由行列式定义还可以推出，一个行列式若有一行（或一列）中的元素皆为零，则此行列式的值必为零。例例 证明 证明证明 容易看出，左端行列式的特点是每列元素和时3ab，即 =例例 计算n阶
6、行列式解解 按第1列展开 得 =10.5 克莱姆法则克莱姆法则含有n个未知量的线性方程组 （1）将线性方程组系数组成的行列式记为D，即用常数项 代替D中的第j列，组成行列式记为Dj即定理定理2（克莱姆法则）若线性方程组（1）的系数行列式 则存在如下唯一解：即 例例 解线性方程组解解 计算行列式 ，所以是所给方程组的解。如果方程组（1）的常数项全为零，即 （2）方程组（2）称为齐次线性方程组，而方程组（1）称为非齐次线性方程组。推论推论4 如果齐次线性方程组（2）的系数行列式 则它只有零解，即只有解 该推论也可以说成：如果齐次线性方程（2）有非零解，则它的系数行列式D0。例例 判定齐次线性方程组是否仅有零解。解解 因为 所以方程组仅有零解。小小 结结 1）二阶行列式和三阶行列式的概念，行列式的性质，并利用其性质计算行列式。2）余子式和代数余子式的概念。行列式按行（或列）展开定理，将阶数较高的行列式转化为阶数较低的行列式，再求值。3）用行列式求解方程个数和未知量个数相等的线性方程组的克莱姆法则和齐次线性方程组有非零解的一个必要条件。