第1章-行列式课件.ppt

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1、线性代数线性代数郑州大学郑州大学 线线 性性 代代 数数 1线性代数线性代数郑州大学郑州大学引 言 由于实际生活中我们所研究的问题经常是关联由于实际生活中我们所研究的问题经常是关联着多个因素所引起的问题，所以需要考察多元函着多个因素所引起的问题，所以需要考察多元函数。如果所研究的关联性是线性的，那么称这个数。如果所研究的关联性是线性的，那么称这个问题为线性问题。历史上线性代数的第一个问题问题为线性问题。历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的矩阵论和行列式理论的发展又促成了作为工具的矩阵论和行列式理论

2、的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数课的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数课程的主要部分。最初的线性方程组问题大都是来程的主要部分。最初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，正是实际问题刺激了线性代数这源于生活实践，正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。一学科的诞生与发展。2线性代数线性代数郑州大学郑州大学1.1 1.1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义1.2 1.2 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质1.3 1.3 行列式的展开与行列式的展开与行列式的展开与行列式的展开与CramerCramer法则法则法则法则第一章 行列式行列式3线性代数线性

3、代数郑州大学郑州大学 行列式出现于线性方程组的求解中，它最早是行列式出现于线性方程组的求解中，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具。行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝用的工具。行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的。和发明的。16931693年年4 4月，莱布尼茨在写给洛比达的一月，莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式，并给出方程组的系数封信中使用并给出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件。同时代的日本数学家关孝和在行列式为零的条件。同时代的日本数学家关孝和在其著作解伏题元法中也提出了行列式的概念与其著

4、作解伏题元法中也提出了行列式的概念与算法。算法。4线性代数线性代数郑州大学郑州大学线性代数线性代数郑州大学郑州大学 特别地，他给出了用二阶子式和它们的余子式特别地，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。就对行列式本身这一点来说，来展开行列式的法则。就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。在这一章中我们也将会学他是这门理论的奠基人。在这一章中我们也将会学到他所提出的范德蒙得行列式。到他所提出的范德蒙得行列式。继范德蒙的之后，在行列式的理论方面，又出现继范德蒙的之后，在行列式的理论方面，又出现了柯西了柯西、詹姆士、詹姆士西尔维斯特西尔维斯特、雅可比等著名数、雅可比等著名数学家

5、，他们逐步建成了行列式的系统理论。而且也学家，他们逐步建成了行列式的系统理论。而且也将行列式的理论应用到工程学、计算机科学、物理将行列式的理论应用到工程学、计算机科学、物理学、经济学等等多个领域。学、经济学等等多个领域。6线性代数线性代数郑州大学郑州大学 我们用下面这个实例开始行列式这一章的学习。我们用下面这个实例开始行列式这一章的学习。1812年，法国大数学家柯西发表论文，用行年，法国大数学家柯西发表论文，用行列式给出了计算一些实心多面体体积的公式，并列式给出了计算一些实心多面体体积的公式，并且将这些公式与先前行列式的研究结合起来。柯且将这些公式与先前行列式的研究结合起来。柯西所讨论的西所讨

6、论的“晶体晶体”标扩四面体和平行六面体。标扩四面体和平行六面体。如：平行六面体的四个顶点坐标分别设为如：平行六面体的四个顶点坐标分别设为ov1v2v37线性代数线性代数郑州大学郑州大学 则此平行六面体的体积等于下方程组系数行列式则此平行六面体的体积等于下方程组系数行列式的值：的值：柯西所发现的行列式在解析几何中的应用激起柯西所发现的行列式在解析几何中的应用激起了人们探索行列式应用的浓厚兴趣，这种研究热潮了人们探索行列式应用的浓厚兴趣，这种研究热潮前后持续了近前后持续了近100年。年。即即 的值的值8线性代数线性代数郑州大学郑州大学线性代数线性代数郑州大学郑州大学上两式相加求得上两式相加求得同理

7、可求得同理可求得10线性代数线性代数郑州大学郑州大学如何工整简单便于记忆地表示这两个解如何工整简单便于记忆地表示这两个解?由四个数排成二行二列的数表由四个数排成二行二列的数表11线性代数线性代数郑州大学郑州大学线性代数线性代数郑州大学郑州大学13线性代数线性代数郑州大学郑州大学线性代数线性代数郑州大学郑州大学解解求解方程组求解方程组例例115线性代数线性代数郑州大学郑州大学二、三阶行列式二、三阶行列式定义定义定义定义记记记记（6 6）式称为数表（）式称为数表（5 5）所确定的）所确定的三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式.16线性代数线性代数郑州大学郑州大学线性代数线性代数郑州大学郑州大学

8、(2)(2)(2)(2)对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，绿线上三红线上三元素的乘积冠以正号，绿线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式18线性代数线性代数郑州大学郑州大学例例例例 解解解解按对角线法则，有按对角线法则，有 2 2.三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积,其中三项为正其中三项为正,三项为三项为负负.19线性代数线性代数郑州大学郑州大学例例例例3 3 3 3解解解解方

9、程左端方程左端20线性代数线性代数郑州大学郑州大学 如果三元线性方程组如果三元线性方程组的系数行列式的系数行列式 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组21线性代数线性代数郑州大学郑州大学若记若记或或得得22线性代数线性代数郑州大学郑州大学线性代数线性代数郑州大学郑州大学则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的解为:24线性代数线性代数郑州大学郑州大学例例4 4 解线性方程组解线性方程组解解解解由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式25线性代数线性代数郑州大学郑州大学同理可得同理可得故方程组的解为故方程组的解为:26线性代数线性代数郑州大学郑州大学线性代数线性代

10、数郑州大学郑州大学看看看看的逆序数是多少？的逆序数是多少？定义定义设设是是逆序数。记作逆序数。记作的一个排列，如果的一个排列，如果，则称该排列出现一个则称该排列出现一个逆序，该排列中出现的逆序总数叫做这个排列的逆序，该排列中出现的逆序总数叫做这个排列的再看再看28线性代数线性代数郑州大学郑州大学解：解：排列排列32514中：中：3排在首位，所以逆序数为排在首位，所以逆序数为0，2前有一个前有一个3比比2大，逆序数为大，逆序数为1，5的逆序数为的逆序数为0，1的逆序数为的逆序数为3，4的逆序数为的逆序数为1，所以此排列的逆序数为所以此排列的逆序数为0+1+0+3+15，为奇排列。，为奇排列。逆序

11、数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列，逆序数为偶逆序数为偶数的称为数的称为偶排列偶排列。例例5 求排列求排列32514是奇排列还是偶排列。是奇排列还是偶排列。29线性代数线性代数郑州大学郑州大学线性代数线性代数郑州大学郑州大学 我们还可以用逆序数的方法来定义行列式。我们还可以用逆序数的方法来定义行列式。首先看一下二阶与三阶行列式的特点首先看一下二阶与三阶行列式的特点行下标、列下标、有几项、正负号？行下标、列下标、有几项、正负号？三三、n 阶行列式的定义阶行列式的定义31线性代数线性代数郑州大学郑州大学找规律找规律32线性代数线性代数郑州大学郑州大学定义：定义：设有设有n2个数，

12、排成个数，排成n行行n列的数表，列的数表，n！项的代！项的代 数和数和 t为为p1 p2 p3的逆序数。的逆序数。称为称为n阶行列式，阶行列式，记作记作33线性代数线性代数郑州大学郑州大学其中其中是对是对的所有排列的所有排列求和，求和，是逆序数。是逆序数。即即即即 n n 阶行列式等于取自不同行不同列的阶行列式等于取自不同行不同列的阶行列式等于取自不同行不同列的阶行列式等于取自不同行不同列的 n n 个元素乘积的代个元素乘积的代个元素乘积的代个元素乘积的代数和数和数和数和,行下标按自然顺序排列后行下标按自然顺序排列后行下标按自然顺序排列后行下标按自然顺序排列后,符号由列下标的逆序数决定符号由列

13、下标的逆序数决定符号由列下标的逆序数决定符号由列下标的逆序数决定,共共共共有有有有 n n!项项项项,正负号各一半。正负号各一半。正负号各一半。正负号各一半。即即34线性代数线性代数郑州大学郑州大学例例7：证明证明n阶行列式（对角行列式）阶行列式（对角行列式）证明：证明：由由n阶行列式定义阶行列式定义35线性代数线性代数郑州大学郑州大学例例8：求求n阶行列式阶行列式解：解：由由n阶行列式定义阶行列式定义36线性代数线性代数郑州大学郑州大学例例7，例，例8的更一般的形式为的更一般的形式为注意！注意！下三角形行列式下三角形行列式上三角形行列式上三角形行列式37线性代数线性代数郑州大学郑州大学 在排

14、列中，任意两个元素对调，其余元素不动，在排列中，任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。将相邻两个元素对这种作出新排列的手续叫做对换。将相邻两个元素对换，叫做相邻对换。换，叫做相邻对换。定理定理1 1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。偶性。四四、对换对换证明：证明：先证相邻对换的情形。设排列先证相邻对换的情形。设排列对换对换a与与b，变为，变为 ，显然其他元素的逆，显然其他元素的逆序数都没有改变，当序数都没有改变，当 时，时，a的逆序数增加的逆序数增加1，而，而b的不变；当的不变；当 时，时，a的逆序数不变，的逆序数不

15、变，b的减少的减少1。所以排列的奇偶性改变。所以排列的奇偶性改变。38线性代数线性代数郑州大学郑州大学 再证更一般的情形：再证更一般的情形：设排列为设排列为 把它作把它作m次相邻对次相邻对换变成换变成 ，再作，再作m+1次相邻对换次相邻对换变成变成 ，相当于任意两个元素，相当于任意两个元素a与与b对换，由于总共经过了对换，由于总共经过了2m+1次相邻对换，所以次相邻对换，所以奇偶性相反。奇偶性相反。推论推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数。列变成标准排列的对换次数为偶数。证明：证明：由定理由定理1知对换次数就是排列

16、奇偶性的变化次知对换次数就是排列奇偶性的变化次数，而标准排列时偶排列数，而标准排列时偶排列(12n,逆序数为逆序数为0)，所，所以奇排列对换奇数次称为偶排列。以奇排列对换奇数次称为偶排列。39线性代数线性代数郑州大学郑州大学对对n阶行列式的任一项阶行列式的任一项对换任意两个元素对换任意两个元素由于行标排列与列标排列同时作了一次对换，所以由于行标排列与列标排列同时作了一次对换，所以新排列的逆序数与原排列奇偶相同，所以新排列的逆序数与原排列奇偶相同，所以若经过若干次这样的对换，可以将排列若经过若干次这样的对换，可以将排列 变为变为自然排列，行排列相应地变成某个新的排列，设这个自然排列，行排列相应地

17、变成某个新的排列，设这个新排列为新排列为 ，其逆序数为，其逆序数为s，则有，则有40线性代数线性代数郑州大学郑州大学定理定理2 n阶行列式也可以定义为阶行列式也可以定义为证明：证明：n阶行列式的定义有阶行列式的定义有记记由前面讨论的结果由前面讨论的结果所以所以D与与D1中的一项可以建立一一对应，并且相等，中的一项可以建立一一对应，并且相等，从而从而 DD1。41线性代数线性代数郑州大学郑州大学1.1 1.1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义1.2 1.2 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质1.3 1.3 行列式的展开与行列式的展开与行列式的展开与行列式的展开与Cr

18、amerCramer法则法则法则法则第一章 行列式行列式42线性代数线性代数郑州大学郑州大学2 行列式的性质行列式的性质为什么要研究行列式的性质为什么要研究行列式的性质?性质性质性质性质1 1 1 1 行列式与它的转置行列式相等。行列式与它的转置行列式相等。说明说明 行列式的性质凡是对行成立的，对列也成立，行列式的性质凡是对行成立的，对列也成立，反之亦然。反之亦然。43线性代数线性代数郑州大学郑州大学例如例如性质性质性质性质2 2 2 2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式变号。行列式变号。再如，证明再如，证明44线性代数线性代数郑州大学郑州大学性质性质性质性质3 3 3 3

19、 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。列式为零。例如例如45线性代数线性代数郑州大学郑州大学性质性质性质性质4 4 4 4行列式的某一行（列）中所有元素的公行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。因子可以提到行列式符号的外面。46线性代数线性代数郑州大学郑州大学例如例如47线性代数线性代数郑州大学郑州大学性质性质性质性质5 5 5 5 行列式有一行（列）为零，则行列式等于零。行列式有一行（列）为零，则行列式等于零。例如例如48线性代数线性代数郑州大学郑州大学性质性质性质性质6 6 6 6行列式中如果有两行（列）元素成比例

20、，则此行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零行列式为零例如例如49线性代数线性代数郑州大学郑州大学则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：性质性质性质性质7 7 行列式某一行行列式某一行(列列)的元素都是两数之和，则可的元素都是两数之和，则可把这两数拆开，其它元素不变写成两个行列式的和。把这两数拆开，其它元素不变写成两个行列式的和。50线性代数线性代数郑州大学郑州大学例如例如51线性代数线性代数郑州大学郑州大学例如例如性质性质8 8 把行列式的某一行把行列式的某一行(列列)的各元素乘以同一数然的各元素乘以同一数然后加到另一行后加到另一行(列列)对应的元素上去对应的元素

21、上去,行列式的值不变。行列式的值不变。52线性代数线性代数郑州大学郑州大学三角形，然后计算行列式的值。三角形，然后计算行列式的值。只用只用这种变换，把行列式化为这种变换，把行列式化为例例1 求下行列式求下行列式D的值的值53线性代数线性代数郑州大学郑州大学解解54线性代数线性代数郑州大学郑州大学55线性代数线性代数郑州大学郑州大学56线性代数线性代数郑州大学郑州大学57线性代数线性代数郑州大学郑州大学58线性代数线性代数郑州大学郑州大学例例2 求下行列式求下行列式D的值的值59线性代数线性代数郑州大学郑州大学只用只用只用只用 变换或只用变换或只用变换或只用变换或只用 变换一定能变换一定能变换一

22、定能变换一定能把行列式化为上把行列式化为上把行列式化为上把行列式化为上(下下下下)三角形三角形三角形三角形.行列式的值不变行列式的值不变行列式的值不变行列式的值不变.60线性代数线性代数郑州大学郑州大学例例3 3 计算计算 阶行列式阶行列式解解将第将第 都加到第一列得都加到第一列得61线性代数线性代数郑州大学郑州大学62线性代数线性代数郑州大学郑州大学则则(P14例例10)例例463线性代数线性代数郑州大学郑州大学证明：证明：64线性代数线性代数郑州大学郑州大学65线性代数线性代数郑州大学郑州大学例例566线性代数线性代数郑州大学郑州大学例例667线性代数线性代数郑州大学郑州大学解解68线性代

23、数线性代数郑州大学郑州大学69线性代数线性代数郑州大学郑州大学1.1 1.1 行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义1.2 1.2 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质1.3 1.3 行列式的展开与行列式的展开与行列式的展开与行列式的展开与CramerCramer法则法则法则法则第一章 行列式行列式70线性代数线性代数郑州大学郑州大学1.3 行列式的展开与Cramer法则一、行列式的展开一、行列式的展开一、行列式的展开一、行列式的展开在在 D 中划掉第中划掉第 i 行和第行和第 j 列元素而剩下的元素按原来相对位列元素而剩下的元素按原来相对位置不变所构成的低一阶的行列式置

24、不变所构成的低一阶的行列式,称为称为(i,j)元素的元素的余子式余子式余子式余子式,记为记为Mij ,称称Aij=(-1)i+j Mij为为(i,j)元素的元素的代数余子式代数余子式代数余子式代数余子式。71线性代数线性代数郑州大学郑州大学例如三阶行列式例如三阶行列式的代数余子式为：的代数余子式为：72线性代数线性代数郑州大学郑州大学其中待定常数其中待定常数Aij为相应元素的代数余子式：为相应元素的代数余子式：73线性代数线性代数郑州大学郑州大学例如：例如：74线性代数线性代数郑州大学郑州大学引理引理 一个一个n 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第i行所有元素除行所有元素除（i,j）元素

25、）元素aij外都为外都为0，那么这个行列式等于，那么这个行列式等于aij与与它的代数余子式的乘积，即它的代数余子式的乘积，即证明：证明：先证先证(i,j)=(1,1)的情形，的情形，将上节例将上节例3中矩阵分块的性质，可得中矩阵分块的性质，可得任意元素任意元素aij都可经过调换行列换至都可经过调换行列换至a11的位置，所以的位置，所以75线性代数线性代数郑州大学郑州大学例如例如例如例如简称简称按第按第按第按第1 1列展开列展开列展开列展开。76线性代数线性代数郑州大学郑州大学定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即与其对应的

26、代数余子式乘积之和，即证证 行列式展开定理行列式展开定理77线性代数线性代数郑州大学郑州大学78线性代数线性代数郑州大学郑州大学例例179线性代数线性代数郑州大学郑州大学80线性代数线性代数郑州大学郑州大学推论推论推论推论 行列式的值等于按任一列行列式的值等于按任一列行列式的值等于按任一列行列式的值等于按任一列(行行行行)展开，错列展开，错列展开，错列展开，错列(错错错错行行行行)展开必为零。展开必为零。展开必为零。展开必为零。81线性代数线性代数郑州大学郑州大学直接验证除了有直接验证除了有(对应三个未知数的分母对应三个未知数的分母):还有还有(对应消掉的两个未知元的系数对应消掉的两个未知元的

27、系数):简称简称按任一列展开按任一列展开按任一列展开按任一列展开简称简称错列展开必为零错列展开必为零错列展开必为零错列展开必为零82线性代数线性代数郑州大学郑州大学证：证：证：证：按第按第3列展开列展开83线性代数线性代数郑州大学郑州大学计算计算按定义按定义按第按第3行展开行展开例例284线性代数线性代数郑州大学郑州大学验证验证 错列或错行展开是否为零错列或错行展开是否为零?85线性代数线性代数郑州大学郑州大学求求例例386线性代数线性代数郑州大学郑州大学的系数分的系数分别别是多少是多少 问问中中例例487线性代数线性代数郑州大学郑州大学问问解解项只能从对角线元素乘积中得到项只能从对角线元素乘

28、积中得到(为什么为什么)?故故例例588线性代数线性代数郑州大学郑州大学故故89线性代数线性代数郑州大学郑州大学范德蒙德范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式从最后一行开始从最后一行开始,每行减去上一行的每行减去上一行的 倍倍.例例690线性代数线性代数郑州大学郑州大学按最后一列展开再提取每列的公因子按最后一列展开再提取每列的公因子91线性代数线性代数郑州大学郑州大学92线性代数线性代数郑州大学郑州大学93线性代数线性代数郑州大学郑州大学爪形行列式爪形行列式例例794线性代数线性代数郑州大学郑州大学设设的线性方程组的线性方程组的系数行列式的系数行列式 Cramer法则法则95线性代数线

29、性代数郑州大学郑州大学则方程组有唯则方程组有唯一解一解,且解为且解为:96线性代数线性代数郑州大学郑州大学解解解解方程组的系数行列式方程组的系数行列式由由Cramer法则，它有唯一解。法则，它有唯一解。解线性方程组解线性方程组例例197线性代数线性代数郑州大学郑州大学同理可得同理可得故方程组的解为故方程组的解为:98线性代数线性代数郑州大学郑州大学对于齐次方程组对于齐次方程组系数行列式系数行列式 方程组只有零解方程组只有零解或者说：或者说：注注注注 由由Cramer法则只能推出一半，提前用此结论。法则只能推出一半，提前用此结论。方程组有非零解方程组有非零解推论推论99线性代数线性代数郑州大学郑

30、州大学(P25例例16)问问取何值时，齐次方程组有非零解？取何值时，齐次方程组有非零解？解解系数行列式系数行列式按第按第3行展开行展开结论结论结论结论例例2100线性代数线性代数郑州大学郑州大学(插值多项式的存在唯一性插值多项式的存在唯一性.P23例例15的一般化的一般化)证明证明:存在唯一的次数不大于存在唯一的次数不大于n次的多项式经过次的多项式经过给定的给定的 n+1 点点解解由条件得由条件得设所求多项式为设所求多项式为例例3101线性代数线性代数郑州大学郑州大学这是一个以这是一个以 为未知数线性方程组为未知数线性方程组其系数行列式其系数行列式从而方程组有唯一解从而方程组有唯一解.这就证明了所求多项式的存在唯一性这就证明了所求多项式的存在唯一性.102线性代数线性代数郑州大学郑州大学P23 例例15103线性代数线性代数郑州大学郑州大学用数学归纳法证明用数学归纳法证明证证n=1 时时,结论成立。结论成立。n=2 时，时，结论也成立。结论也成立。例例4104线性代数线性代数郑州大学郑州大学105线性代数线性代数郑州大学郑州大学106