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1、线性代数线性代数2015-2016（2）梅冬芳梅冬芳,线性代数线性代数简介简介实际中的问题都是研究多个变量之间的关系，实际中的问题都是研究多个变量之间的关系，这些问题在多数情况下又可以线性化，而线性这些问题在多数情况下又可以线性化，而线性化了的问题就可以利用计算机计算出来，线性化了的问题就可以利用计算机计算出来，线性代数正是分析解决这种问题的有力工具。代数正是分析解决这种问题的有力工具。线性（线性（linear）指量与量之间按比例、成直线）指量与量之间按比例、成直线的关系的关系 课程内容课程内容行列式行列式矩阵矩阵线性方程组线性方程组向量空间与线性变换向量空间与线性变换 特征值和特征向量特征值
2、和特征向量 矩阵的对角化矩阵的对角化二次型二次型课程要求课程要求看书看书完成课后作业完成课后作业理论联系实际理论联系实际考试：闭卷，平时成绩（点名考试：闭卷，平时成绩（点名+作业）作业）占占30%，期末考试占，期末考试占70%孙子算经孙子算经：“今有雉今有雉兔同笼，上有三十五头，兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各下有九十四足，问雉兔各几何？几何？”鸡鸡 与与 兔兔鸡兔同在一个笼子里，从鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有上面数，有35个头；从下个头；从下面数，有面数，有94只脚。问笼中只脚。问笼中各有几只鸡和兔？各有几只鸡和兔？答：有答：有23只鸡和只鸡和12只兔只兔如何得来？有若干只鸡
3、兔同在一个笼子里，从上面数，有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有有35个头；从下面数，有个头；从下面数，有94只脚。问笼中只脚。问笼中各有几只鸡和兔？各有几只鸡和兔？有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有有35个头；从下面数，有个头；从下面数，有94只脚。问笼中只脚。问笼中各有几只鸡和兔？各有几只鸡和兔？没读过书也知道答案没读过书也知道答案!你知道他是怎么做的吗？你知道他是怎么做的吗？他的做法是：把每只兔子的两只前脚用绳子捆起他的做法是：把每只兔子的两只前脚用绳子捆起来，看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，来，看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，
4、看作是一只脚，那么，每只兔子就只有看作是一只脚，那么，每只兔子就只有2只脚。只脚。这样就从下面数共有这样就从下面数共有70只脚：只脚：94-70=24，是捆起来的兔子的脚的只数，是捆起来的兔子的脚的只数所以兔子的数量为所以兔子的数量为12只，于是鸡的数量为只，于是鸡的数量为23只只1.行列式行列式回忆二元及三元方程组的求解回忆二元及三元方程组的求解.a11x1+a12x2=b1 a21x1+a22x2=b2(1)(2)若若a11 0.+(2)得得(1)(3)代入代入(1)得得(4)a11x1+a12x2=b1 a21x1+a22x2=b2观察二元方程组和解观察二元方程组和解a11a12a21a
5、22b1b2a12a22a11a21b1b2x1x2 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表称列）的数表定义定义定义定义即即二阶行列式二阶行列式.列标列标行标行标主对角线主对角线副对角线副对角线对角线法则对角线法则二阶行列式的计算二阶行列式的计算例如例如若记若记对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为注意注意 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式.例例例例解解:定义定义定义定义记记记记算式称为由上述算式称为由上述3 3行行3 3列数表所确定的列数表所确定的三阶行列式三阶
6、行列式三阶行列式三阶行列式.三阶行列式三阶行列式(1)(1)沙路法沙路法三阶行列式的计算三阶行列式的计算(2)(2)(2)(2)对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则注意注意 红线上三元素的乘积为正号，蓝线上三红线上三元素的乘积为正号，蓝线上三元素的乘积为负号元素的乘积为负号三阶行列式三阶行列式 2.三阶行列式展开包括三阶行列式展开包括3!3!项，每一项都是位于项，每一项都是位于不同行，不同行，不同列的三个元素的乘积，其中三不同列的三个元素的乘积，其中三项为正，三项为负项为正，三项为负.说明说明 1.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 二阶和三阶行列式是由解
7、二元和三元线性方二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的程组引入的.沙路法沙路法二阶与三阶行列式的计算二阶与三阶行列式的计算小结小结思考：二阶和三阶行列式是由思考：二阶和三阶行列式是由？项的代数和？每一项项的代数和？每一项是由几个元素相乘？每一项的正负号如何确定？是由几个元素相乘？每一项的正负号如何确定？求解三元线性方程组求解三元线性方程组 a11x1+a12x2+a13x3=b1 a21x1+a22x2+a23x3=b2 a31x1+a32x2+a33x3=b3其解为其解为例例.计算三阶行列式计算三阶行列式解解：D=105+(-432)+234 -(-202)-(-341)-(-43
8、5)=72沙路法沙路法三阶行列式的计算三阶行列式的计算或者，或者，(8)余子式，M11由由(8)知，三阶行列式可用其二阶余子式的知，三阶行列式可用其二阶余子式的线性组合表示线性组合表示.三阶行列式中三阶行列式中去掉第去掉第去掉第去掉第 i i 行第行第行第行第 j j 列列列列剩下元素按剩下元素按原来次序组成的原来次序组成的二二阶行列式记为阶行列式记为 Mij，称为称为第第i行行第第j列元素列元素的的余余子式子式.Aij=(1)i+j Mij 称为称为 D 的的代数余子式代数余子式如如a11的余子式：的余子式：A Aij ij=(=(1)1)i i+j j MMij ij如果定义一阶行列式如果
9、定义一阶行列式|a|=a,则则二阶行列式可表示为二阶行列式可表示为上述表明二阶，三阶行列式均可由其余子式的上述表明二阶，三阶行列式均可由其余子式的组合表示，也即高阶可由低阶行列式线性表示。组合表示，也即高阶可由低阶行列式线性表示。对于一元线性方程对于一元线性方程 ax=b（a0）.其解其解三阶行列式可表示为三阶行列式可表示为行列式是什么样的？行列式是什么样的？四阶行列式四阶行列式四阶以上的呢？四阶以上的呢？定义定义1.1.1称为一个称为一个 n 阶行列式阶行列式.它可由它可由 n 个个 n 1 阶阶行列式线性表示行列式线性表示，如，如：其中其中Aij=(1)i+jMij,aij的代数余子式的代
10、数余子式n阶行列式的展开式阶行列式的展开式n n阶行列式阶行列式主对角线主对角线副对角线副对角线主对角元主对角元元素元素 aij 的余子式的余子式 MijMij定义为：定义为：n阶行列式的展开式阶行列式的展开式二阶行列式二阶行列式 三阶行列式三阶行列式 n阶行列式阶行列式 例例1.计算三阶行列式计算三阶行列式解二解二：D=解一解一：D=1*0*5+（-4*3*2）+2*3*4-（-2*0*2）-（-3*4*1）-（-4*3*5）=72还可看出还可看出+0=84 12=72=D,+36=24+60=72=D,行列式为某一行元素乘以对应代数余子式之和行列式为某一行元素乘以对应代数余子式之和+84=
11、12 24=72=D.以及以及行列式也为某一列元素乘以对应代数余子式之和行列式也为某一列元素乘以对应代数余子式之和例例2证明证明主对角行列式主对角行列式用数学归纳法证明用数学归纳法证明课堂练习课堂练习计算下三角行列式、副对角行列式。计算下三角行列式、副对角行列式。1.1.2 性质性质：性质性质1：D=D转置转置，值不变，值不变 D为为 D 的转置行列式的转置行列式性质性质2：行列式等于它的任一行（列）的各元素行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即与其对应的代数余子式乘积之和，即例例3计算行列式计算行列式行列式基本计算公式行列式基本计算公式性质性质3.（i）数数 乘乘
12、性质性质3.（ii）加法加法性质性质3之推论之推论1=0某行为某行为0，值为，值为0例例4.证明：证明：性质性质4.行列式中两行对应元素相等，值为行列式中两行对应元素相等，值为0.即即某两行相等，值为某两行相等，值为0性质性质4之推论之推论2=0某两行成比例，值为某两行成比例，值为0某行倍加到另一行，值不变某行倍加到另一行，值不变性质性质5.行列式中，某行元素数乘行列式中，某行元素数乘k，加到另一，加到另一行的对应元素上，值不变行的对应元素上，值不变.即即例例5.计算行列式：计算行列式：性质性质6.行列式中交换某两行或两列，行列式仅行列式中交换某两行或两列，行列式仅改变符号改变符号.即即两行两行/列互换，值为负列互换，值为负