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1、第第1章章 行列式行列式 线性代数 二阶行列式对于二元一次方程组 时上述二元一次方程组有唯一解,并且通过带入消元法方程组的解为1.1 行列式的定义即可用二阶行列式表示为,定义二阶行列式则当例例1 解二元一次方程组解解,三阶行列式则三元一次方程组当时方程组的解可用三阶行列式表示为 例例2 计算行列式 解解 n阶行列式的定义定定义义 由个数组成数表从中选取处在不同行不同列的个元素相乘阶行列式,记作 例例4 计算行列式其中未写出部分全为零.解解 在行列式的展开式中共有个乘积,显然如果 定义定义 对角线以上（下）的元素全为零的行列式称为下（上）三角行列式.由例4还可得出关于上、下三角行列式的如下结论:
2、1.3 行列式的性质 行列式的计算是一个重要的问题,也是一个很麻烦的问题.对于阶行列式,当 很大时直接从行列式的定义进行行列式的计算几乎是不可能的.为此有必要对行列式的性质进行研究,从而简化行列式的计算.记 称行列式为行列式的转置行列式.性质性质1 行列式与其转置行列式相等,即性质性质2 互换行列式的两行(列)元素,则行列式变号.推论推论1 若行列式中某两行元素对应相等,则行列式的值为零.性性质质3 行列式某行元素都乘以数等于用乘以行列式,即推推论论2 由性质3知若行列式中某行(列)元素含有公因数可以将数提到行列式外.,则推论推论3 若行列式的某两行(列)元素对应成比例,则此行列式的性质性质4
3、 若行列式的某一行(列)是两组数之和,则这个行列式可值为零.以写成两个行列式的和,即此性质可以推广到某一行元素为多组数之和的形式.性性质质5 把行列式中某行(列)元素的倍加到另外一行(列)的对应元素上去,行列式的值不变.即 为叙述方便，引进以下记号：（1）交换行列式的 两行（列），记为：（2）第 行（列）乘以 ，记作 ，第 行（列）提出公因子 ，记作 ；（3）将行列式的第 行（列）乘 加到第 行（列）上，记为：例例6 计算行列式的值,其中解解 例例7 计算解解 例例8计算行列式的值,其中解法一解法一 分别将行列式的第二行、第三行、第四行加到第一行得解法二解法二 利用行列式的性质将行列式的第一行
4、和第四行互换可得例例8 计算行列式的值,其中解解 例例9 计算行列式的值,其中解解 把前一列乘以加到后一列上去得再将第三列乘以加到第四列上去，第二列乘以加到第三列上去得由于此时行列式的第三列和第四列相等，因此由行列式的性质可得1.4 行列式按行（列）展开余子式与代数余子式定义定义 在 阶行列式 中划去元素 所在的第 行和第 列的元素,剩下的 个元素按原来的排法构成一个 阶的行列式,称为元素的余子式,记作.对冠以符号后称为元素 的代数余子式,记为,即行列式按行（列）展开引理引理 设是一个阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那么这个行列式的值等于乘以它的代数，即余子式定理定理1 行列式的
5、值等于其某行（列）元素与其代数余子式乘积之和,即 ；这个定理称为行列式按行(列)展开法则例例10 算行列式的值,其中解解 例例11 计算行列式的值，其中解解 例例12 设行列式为求的值.解 为行列式按第二行的展开式,因此的值等于行列式.而因此作为定理1的推论,我们有推推论论 阶行列式的的任意一行(列)的各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即，或 综合定理1及其推论，我们有关于代数余子式的下述性质：或1.6 克莱姆法则1.6.1 克莱姆（Cramer）法则 现在我们来应用行列式解决线性方程组的问题.在这里只考虑方程个数与未知量个数相等的情形.定理定理2 如果线性方程组的系数构
6、成的行列式那么线性方程组有解,并且解是惟一的,解可以由下式给出其中是行列式中第列换成方程组的常数项而得到的行列式.此定理称为克莱姆法则,克莱姆法则主要解决方程个数与未知量个数相等的方程组的求解问题，而这类方程组又是非常特殊、非常重要的方程组.例例17 解方程组解解 方程组的系数行列式由克莱姆法则得所以方程组的唯一解为.定理定理3 如果齐次线性方程组的系数构成的行列式那么它只有零解.1.6.2 克莱姆法则的推论定理定理4 若非齐次线性方程组无解或有多个解，则其系数.行列式推推论论:如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式.例例18 为何值时,方程组 有非零解.解解 由以上推论知,当齐次线性方程组有非零解时它的系数行列式,即所以.不难验证,当时方程组确有非零解.