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1、第一章第一章 变分法的基本问题变分法的基本问题路径值集合路径值集合(实线)(实线)允许的路径集合允许的路径集合(曲线)(曲线)泛函的概念泛函的概念通常函数:从实数到实数的映射。通常函数:从实数到实数的映射。泛函:从路径(曲线)到实数的映射。泛函:从路径(曲线)到实数的映射。目标泛函的概念目标泛函的概念l连续时间路径上识别一条弧,需要三样信息:连续时间路径上识别一条弧,需要三样信息:无限小的无限小的一条弧一条弧l(1)开始时间)开始时间l(2)开始状态)开始状态l(3)弧的前进方向)弧的前进方向l存在某个函数存在某个函数F,将弧值赋予弧,即从无限小的弧,将弧值赋予弧,即从无限小的弧(曲线曲线)到
2、弧值到弧值(实数实数)的影射,表示为:的影射,表示为:l目标泛函就是弧值之和:目标泛函就是弧值之和:例:垄断企业的利润函数例:垄断企业的利润函数l垄断企业的动态需求函数:垄断企业的动态需求函数:l垄断企业的总收益函数:垄断企业的总收益函数:l垄断企业的总成本函数:垄断企业的总成本函数:l垄断企业的总利润函数:垄断企业的总利润函数:l加总加总T期的总利润函数,得到目标泛函:期的总利润函数,得到目标泛函:l如果收益函数或成本函数随时间变化,目标泛函:如果收益函数或成本函数随时间变化,目标泛函:第一节第一节 欧拉方程欧拉方程变分法的基本问题变分法的基本问题l最大化或最小化最大化或最小化一、欧拉方程的
3、推导一、欧拉方程的推导固定初始点和固定终结点固定初始点和固定终结点 ,函数,函数V V表示表示为:为:变为:变为:一、欧拉方程的推导一、欧拉方程的推导(2.14)步骤步骤1 1 首先用首先用 来表示来表示V V,并求导:,并求导:我们得到极值曲线的必要条件的更具体的形式:我们得到极值曲线的必要条件的更具体的形式:莱布尼兹法则:莱布尼兹法则:对于函数对于函数l步骤步骤2 和和令令和和 。于是我们得到:。于是我们得到:把这些表达式代入(把这些表达式代入(2.15),其中),其中a=0,b=T。我们得到:。我们得到:(2.15)根据分部积分公式:根据分部积分公式:以上推导得到:以上推导得到:步骤步骤
4、3 由于由于 是任意的,因此可以得到:是任意的,因此可以得到:对于所有对于所有或或对于所有对于所有欧拉方程欧拉方程(2.17)以上推导得到:以上推导得到:对推导得到的对推导得到的 进行整理:进行整理:l步骤步骤4 因为因为F是一个具有三个自变量是一个具有三个自变量 的函数的函数 所以偏导数所以偏导数 也是具有三个同样自变量的函数。也是具有三个同样自变量的函数。l把它代入把它代入(2.18)式,即式,即 ,得:,得:以上推导得到欧拉方程:以上推导得到欧拉方程:欧拉方程欧拉方程的另一种的另一种形式形式具有边界条件:具有边界条件:例例1 求下列泛函的极值曲线。求下列泛函的极值曲线。根据欧拉方程根据欧
5、拉方程 ,可得:,可得:根据直接积分,得根据直接积分,得因此,极值曲线为:具有边界条件:具有边界条件:例例2 求下列泛函的极值曲线。求下列泛函的极值曲线。根据欧拉方程根据欧拉方程 ,可得:,可得:根据直接积分,得根据直接积分,得10yt01根据水平终结线的横根据水平终结线的横截条件:截条件:代入水平终结线横截条件。代入水平终结线横截条件。和和(在(在t=T处)处)通解为通解为一、多个状态变量的情况一、多个状态变量的情况第二节第二节 欧拉方程的推广欧拉方程的推广当给定问题中具有当给定问题中具有 个状态变量时,泛函变为:个状态变量时,泛函变为:并且对于每个状态变量都有一对初始条件和终结条件。并且对
6、于每个状态变量都有一对初始条件和终结条件。个变量的个变量的欧拉方程组欧拉方程组为:为:对于所有对于所有这几个方程与边界条件一起这几个方程与边界条件一起,可以确定解可以确定解二、高阶导数的情况二、高阶导数的情况那么那么高阶导数泛函可以转化为多个状态变量的泛函高阶导数泛函可以转化为多个状态变量的泛函:考虑一个含有考虑一个含有 的高阶导数的泛函,即:的高阶导数的泛函,即:并且并且 都有一对初始条件和终结条件都有一对初始条件和终结条件,即即共有共有 个边界条件。个边界条件。可以转化为含有可以转化为含有 个状态变量及其一阶导数的一个等个状态变量及其一阶导数的一个等价函数:价函数:一、社会损失函数一、社会
7、损失函数第三节第三节 通货膨胀和失业之间的折衷通货膨胀和失业之间的折衷 与与 的关系用附加预期的菲利普斯曲线来表示:的关系用附加预期的菲利普斯曲线来表示:预期通胀率预期通胀率 的形成被假定为自适应的:的形成被假定为自适应的:其中,其中,表示预期通货膨胀率。表示预期通货膨胀率。其中,其中,为实际收入,为实际收入,为理想实际收入,为理想实际收入,为实际为实际通货膨胀率。通货膨胀率。社会损失函数为:社会损失函数为:由(由(2.40)2.40)式和式和(2.41)(2.41)式,得:式,得:重新整理,得:重新整理,得:(2.42)2.42)式代入式代入(2.40)(2.40)式,得:式,得:(2.42
8、)2.42)和和(2.43)(2.43)式代入式代入(2.39)(2.39)式,得社会损失函数:式,得社会损失函数:二、问题二、问题三、解路径三、解路径满足满足二阶导数:二阶导数:政策制定者的目标:政策制定者的目标:最大化最大化和和被积函数为:被积函数为:F F的一阶导数:的一阶导数:公式(公式(2.192.19)给出了具体的必要条件:给出了具体的必要条件:其中其中由于这个方程是齐次的,它的特解是由于这个方程是齐次的,它的特解是0 0,它的通解它的通解是它的余函数:是它的余函数:通解通解 其中其中并且可知,并且可知,和和设设 和和 ,并利用边界条件得:,并利用边界条件得:解这两个方程,得:解这两个方程,得:欧拉方程欧拉方程