第二章-有限差分法的基本概念ppt课件.pptx

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1、课件邮箱：密码：2014fengxiaoli数值求解过程：数值求解过程：1区域剖分区域剖分2微分方程的离散微分方程的离散3初始和边界条件处理初始和边界条件处理4离散系统的性态研离散系统的性态研究究 （误差分析）（误差分析）有限差分法有限差分法第第章章有限差分方法的基本概念有限差分方法的基本概念有限差分方法优点：有限差分方法优点：1、概念清晰；、概念清晰；2、方法简单，直观；、方法简单，直观；3、系数矩阵有很好的结构和性质。、系数矩阵有很好的结构和性质。有限差分法步骤：有限差分法步骤：Step1.将定解区域离散化为网格离散节点的集将定解区域离散化为网格离散节点的集合合;Step2.将待求的偏微分

2、方程定解问题转化为一组将待求的偏微分方程定解问题转化为一组相相 应应的差分方程组的差分方程组;Step3.根据差分方程组解出各离散点处的待求函数根据差分方程组解出各离散点处的待求函数 值值离散解离散解1 1有限差分格式有限差分格式(1.1) u a u 0 txx R,t 0 x Ru(x, 0) f (x)以最简单一维对流方程为例，引入用差分 方法求偏微分方程数值解的一些概念，说明求 解过程和原理考虑对流方程的初值问题t tn n x x j jhn 0,1, 2,-j 0, 1, 2,-网格剖分可以采用两组平行于x轴和t轴 的直线形成的网覆盖区域D，它们的交点称为网格点（节点）节点(x j

3、 , tn )记为( j, n).间距h 0称为空间步长，间距 0称为时间步长1 1 网格剖分网格剖分( (区域的离散化）区域的离散化）xt0n )(xj , tf (n)(x )Rn (x) 0(x n! x0 )n 设 f (x) 在 x0 的某个邻域 U (x0 , )内具有直 到n 1阶的导数，则 x U (x0 , ) 有f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) - R (x)是余项，且R (x) o(x x )n )(x x )nn002 2 用用TaylorTaylor级数展开方法建立差分格式级数展开方法建立差分格式(1.2)(1.3)(1.4)jnjnjnhh

4、), (jn1jnu(x , t) u(x , t )u(x , t ) O(txx设u是方程(1.1)的解，对于任何节点( j, n)，u的微商 与差商之间的关系式向前差商）u(xj 1, tn ) u(xj , tn ) u(x , t ) O(h), (向前差商）u(xj , tn ) u(xj 1, tn ) u(x , t ) O(h), (向后差商）jn2hxu(xj 1, tn ) u(xj 1, tn ) u(x , t ) O(h2 ), (中心差商） (1.5)(1.6)jnjn u(x , t ) au(x , t ) 0,tx由于u是方程(1.1)的解，所以满足(1.7

5、)h O( h),因此从(1.2)和(1.3)得到u(xj , tn1) u(xj , tn ) a u(xj 1, tn ) u(xj , tn )(1.8)jjjhj 1un1 ununun a 0为了保证逼近精度要求，实际取步长h与 是较 小的量，特别在进行理论分析的极限过程中它们都 趋向于零这样可以用方程njjun1nj 1 u a(uun ),j 0, 1, 2,-jn 0,1, 2,-, (1.9)近似代替，其中un表示u(x , t )的近似值jjn将(1.8)改写成便于计算的形式这里 / h称为网格比(1.10)jjjjjhj 1 un1 ununun a 0u0 f(1.8)

6、和(1.9)称为方程(1.1)的（有限）差分方程问题(1.1)中的初始条件的离散形式是u0 f f (x ),j 0, 1, 2,-,jjj初值问题(1.1)的差分格式(显式右偏格式） (1.11)n+1njj+1xtn=3n=2n=1n=0j=012345显格式显格式：计算：计算时不时不用用n+1层还未计算出的节点层还未计算出的节点两层格式两层格式：计：计算算n+1层时只用层时只用到到n层数据，前后仅涉层数据，前后仅涉及及 到两个时间层到两个时间层jun1(1.12)(1.13)jjjjjjjh2hj un1 unun unajj 1 0u0 f un1 unununaj 1j 1 0u0

7、f对同一微分方程可以建立种种不同形式的差分格式 在(1.1)中u对t采用向前差商，u对x采用向后差商和中心差商得(左偏格式）（中心格式）(1.14)u 2u ta x2 ,x R,t 0,x R, u(x, 0) f (x),考虑扩散方程的初值问题(1.15)jjjjh2j 1 un1 unun2un unajj 1 0u0 fj 0, 1, 2,-,差分格式：3 3 积分方法积分方法22jjnn1D (x, t) | x h x x h , t t t选定积分区域oxj-1jj+1tn+1nnDDj2j2h2njx j hx j 2u2u2 u(t , x) u(t , x)dxhnn an

8、1 u (t, x ) u (t, x )dtthhxxuu a(t , x xxt对(1.14)积分有： t dxdt a x2 dxdt应用数值积分可得：u(tn , xj ) u(tn , xj )hnj2h) (t , x )jnj2x jnj2xj1nnj 1nnjnj 1x j1 u (t , x)dx u(t , x) u(tn , x j )xxu (t , x h )h u (t , x)dx u(t , x ) u(t , x)xxu(tn , x j ) u(tn , xj )h2 au(tn , x j 1) 2u(tn , x j ) u(tn , x j 1)x u

9、 (t , x h )h jjh2j 1j 1un1 unun2un un a即： j积分方法也称为积分方法也称为有限体积法有限体积法有限体积法有限体积法（FiniteFinite VolumeVolume MethodMethod） 又称有限容积法、控制体积法又称有限容积法、控制体积法基本思路：1.将计算区域划分为一系列不重复的控 制体积，并使每个网格点周围有一个控 制体积；2.将待解的微分方程对每一个控制体积 积分，便得出一组离散方程。4 4 隐式差分格式隐式差分格式(1.16)u 2u0 x l,t 0a x2 t考虑扩散方程的初边值问题(1.17)jjjjh2j 1 un un1un2

10、un unajj 1 0u0 fun 0, un 0,0Jj 0,., J ,n 0u(x, 0) f (x)0 x lu(0, t) u(l, t) 0t 0差分格式：有限差分格式在新时间层上包含有多于一有限差分格式在新时间层上包含有多于一个个 节点，这种有限差分格式称为节点，这种有限差分格式称为隐式格式隐式格式适用适用 于求解微分方程的初边值问题或者满足周期条于求解微分方程的初边值问题或者满足周期条 件的初值问题件的初值问题0(1.18)njjjjnnJunj 1j 1au (1 2a)u au u 0, u 0,0写成下列等价形式：n un1，f ，j 0,., J ,n 0，1Tnn2

11、f , f ,., fn10nJ 1aA a a1 2aan1 2a AU U,U .1 2a a1 2a.a.12nnnnJ 1令令 U u , u ,., uT ，则上式可写为：，则上式可写为：严格对角占优，对称三对角阵；严格对角占优，对称三对角阵；可可 用追赶法求解；用追赶法求解；显格式计算简单、快捷，但稳定性一般比隐格式差；显格式计算简单、快捷，但稳定性一般比隐格式差；隐格式求解线性方程组，计算复杂、工作量大，但隐隐格式求解线性方程组，计算复杂、工作量大，但隐格格 式一般数值稳定，且可采用较大的时间步长式一般数值稳定，且可采用较大的时间步长2 2有限差分格式的相容性、收敛性及稳定性有限

12、差分格式的相容性、收敛性及稳定性1 1、差分格式能否任意逼近微分方程、差分格式能否任意逼近微分方程相容性相容性2 2、差分方程的精确解能否任意逼近、差分方程的精确解能否任意逼近微微 分方程的解分方程的解收敛性收敛性3 3、差分格式的计算过程是逐层推进、差分格式的计算过程是逐层推进的的 ，前面各层误差的影响是否会导前面各层误差的影响是否会导 致差分格式的精确解的面貌完全致差分格式的精确解的面貌完全 被掩盖被掩盖稳定性稳定性4、差分格式解的存在性、唯一性、差分格式解的存在性、唯一性hjhL un 0,对于齐次问题，可以将微分方程和差分方程记为Lu 0，其中L是微分算子其中L 是相应的差分算子1 1

13、 截断误差截断误差jjjhj 1txun1 unununa方程(1.1)微分算子L为Lu u a u格式(1.8)相应差分算子L 为L un hhj(2.1)设u是所讨论的微分方程的充分光滑的解，将算子L 和Lh分别作用于u(x j , tn )，记两者的差为(x j , tn )，即h u(xj , tn1) u(xj , tn ) a u(xj 1, tn ) u(xj , tn )( u(xj , tn ) a u(xj , tn )tx O( h)(x j , tn ) Lhu(x j , tn ) Lu(xj , tn )称(x j , tn )为截断误差 讨论格式(1.8)的截断误

14、差即(x j , tn ) Lhu(x j , tn ) Lu(xj , tn )我们也用“精度”一词说明截断误差一般，如果一个差分格式的截断误差 O( q hp )， 就说差分格式对时间t( )是q阶精度的，对空间x(h)是p阶精度的特别，当p q时，说差分格式是p阶精度的差分格式(1.13),(1.15),(1.17)都是对t( )一阶精度， 对x(h)二阶精度而差分格式(1.11)是一阶精度格式2222txx x tv x, t v x, t t v x , t v x, t v x x, t v x, t tv x, t v x, t v x, t t v x, t v x, t v

15、x x, t v x, t v x, t 1 t v x, t 1 t v x, t v x 1 x, t v x 1 x, t 定义差分：一阶向前差分一阶向后差分一阶中心差分222xv x, t v x, t x x v x 1 x, t v x 1 x, t x 类似可定义高阶差分，如：22oxx x v x, t 1 ( )v x, t 1 v x x, t v x x, t v x x, t 2v x, t v x x, t 两个区间上的中心差分：2tu x, t u x, t u x, t u x, t 1 u 2 1 u323t2 t 2x, t6 t3 x, t .级数形式u1

16、2u= t x, t 2 t 2 x, 余项形式，在t和t+ 之间24224x u1 uu x, t x, t h x212 x4 2u 21 4u4x, t h , t hx212 x4x, t h .级数形式余项形式，在x和x+x之间 jjjunh2j 1j 1un1 un2un una 0以扩散方程为例，差分格式：22223424orxah2u x, t1x, tt u x, t 1 2u1 3ua 4ux, t . x, t h .2 t6 t12 xa 4ux, 2 t12 x差分算子 u 2utx, t a x2 x, t 微分算子 , t h 1 2u2 级数形式余项格式222h

17、xT x, tah21t L u Lu u x, t u x, t 01 2ua 4u h .2 t 212 x41 2ua 4uT x, t x, , t h2 t 212 x4 O O h2 截断误差：截断误差的主项（主部）：截断误差T (xj , tn )是在(x j , tn )点上差分方程 近似微分方程的误差 , h越小，误差越小求差分格式的截断误差: 将相应问题的充分光滑解代入差分格式，再进行Taylor级数展开2224xh2u(x, t)11( , t)tT (x, t) u(x, t) a uah u (x,) 2 t 212 t 4对扩散方程隐格式，有：jjjjjjh2u2j

18、 1j 1n1n1nj 1j 1un1 un1un2un una 0 u 2a(u2un un )对于扩散方程，还可以建立差分格式：称作Richardson格式，或写为：j-1jj+1n+1nn-1截断误差为：T (x, t) O( 2 ) O(h2 )三层格式：计算第n+1层用到n,n-1层节点多层格式：多于两层的差分格式jmnjuj 1nj mPun unP u 定义空间平移算子：P : 相容性相容性knun1nk l L u jhjkjk差分格式写成算子形式：la P u , a 是依赖于 , h的系数若当h, 0时，T xj , tn 0，则称差分格式与 定解问题是相容的njjnnnj

19、jnju x , t u 00时，差分格式的解u u x , t，即e 收敛性：当h, 收敛性收敛性nj这里u x, t 是微分方程之解，u 是差分格式之真解，（真解指在求解差分格式过程中，忽略了各种误差， 如舍入误差，也就是说求解差分格式的过程是严格 精确的） 0jjn jnnnjjjmnmjunhoruj 1n1nmj nmm0un1 un jjuna 1 a a P uu 1 a a P u 1 a a Pfafn C1 aEx1:对流方程：ut aux 0,a 0考虑差分格式： 0, = /h可见，上述差分格式计算un时要用到初始条件在点集x j , x j 1,., x j n上的值

20、tx特征线(xj ,tn )xj atn xjxjnnjnj改变初始条件 f x在xj atn上的值，必然改变微分方程之解在 x , t上的值而对上述差分格式来讲，u 依赖于x j , x j 1,., x j n，x j atn不在此集合因此差分格式之解不能 收敛到微分方程之解，即差分格式不收敛，因此，当a 0时，不能用此格式如图，对流方程在点xj , tn 的解的依赖区域 是x轴上的一个点x j atnx 2122ut auxx 0, x R,t 0u x, 0 f x, x RG x 2 exp 2Ex2:扩散方程初值问题：解析解：u t, x RG 2at x y f y dy G 2

21、at u0 xjjn junuj 1j 1n1h2nj 1j 1un1 un jj2un una 0 1 2aauun差分格式：改写成：u（1 ）njjjnh2uun1jn1nj 1j 1nnj 1u xj , tn1 u xj , tn T xj , tn u xj 1, tn 2u xj , tn u xj 1, tn au x , t 1 2au u x , tau x, t u截断误差：改写成： u xj , t n1 1 2a u xj , t n a u xj 1, t n u xj 1, t n T xj , t n （2）（1） （2），得： j 1njn u x, tT x

22、, t2njjjnjn jjnnjjjnnnen1nj 1j 1en1nj 1nj 1 1 2ae ae en T x , t 1 2aa ea e T x , t 1 2aE a E a E M h En M h2T xj , t n1 O O h2即：e若1 2a 0，即2a 1，有而 T xj , t n M h2令E sup en则有： en1 20n00jjjjj0jjnnjjnu x , thE : u u x , 0 fx f ,e0 0, E sup e0 0从而En1 En M h2递推得E E nM从而有En nM h2假定初边值问题中t T，则n T ， 从而 En TM

23、 h2令 , h 0，则有E 0，即u 结论：当2a 1时，差分格式收敛 相容不一定收敛，收敛性是个难题jj lj l 1j l利用差分格式计算时是按时间逐层推进的例如二层格式，计算n 1层上的值un1时，要用到第n层上计算出来的结果un , un,., un 而计算时的舍入误差（n 0时是初始数据不精确）必然 会影响到n 1层上的值，因此需要分析这种误差 的传播情况希望误差的影响不会越来越大，以 致掩盖差分格式解的面貌，此即稳定性问题4 4稳定性稳定性jjn jun1nnj 1 u auuEx1:考虑对流方程ut aux 0,a 0的差分格式的稳定性仅考虑初始误差的传播情况，不考虑逐层计算

24、过程中的舍入误差，设初始误差绝对值为，符号交替取 ,，差分格式的解在x j , t n 处的误差为：n j当n 时， （a 0固定，）不稳定；a 0时，若1 2a 1，即 a 1，则稳定 nmn jm nnmmnm nCnmj nmm0nmj nmj nmm0nmm01 aagC1 aa 1nm 1 aa 1 2ajnmnn Cu1, x 0.5数值实例：a 1，g(x) 0, x 0.5时的结果1.0 1.11.21.31.41.50.810.5t差分解差分解x精确解1 1, x 2 0.81 1 . 3 10 , x 1 . 3 1精确解u x, t g x t ， 取h 0.1, 0.9

25、,即 0.09 n 9, t n 9 0.09 0.81u x, t g x 0.812u x, t 0 , x 1 . 4 1.0,即 0.1,t n 0.91, x 1 0.9 1.4x1.40.90.5t精确解x1.50.990.5tu x, t 0, x 1.49 1.1,即 0.11,t n 0.991, x 1 . 4 9振荡!分析和数值实例说明，稳定性不仅与差分格式 本身有关，还与网格比有关下面主要考虑初值问题（包括可进行周期延拓 的初值问题）的差分格式的稳定性，即考虑初值误 差的传播jhj差分格式统一写成：un1 L unLh是依赖于 , h的线性差分算子，对变系数PDE，Lh

26、还 依赖于x j , t n，这里仅考虑只依赖x j而不依赖t n的情况 2nn jn jhunu1 2 j 递推下去，有：un Lnu0 jhj为度量误差及其他应用，引入范数h，u u00nnjhjjjjj nn1n K 0hh对差分格式u L u ，设u 有误差 ，引起u 的误差，若K 0, s.t.当 0,n T时，一致地有：即n步误差可由初始误差来控制,则称差分格式关于 初值稳定hLnun K K u0hh对线性差分格式，稳定条件有两个等价形式： 1.K 0, s.t.当 0,n T时，一致地有：2.K 0, s.t.当 0,n T时，一致地有： K 0对非线性差分格式，只能用 n5

27、5 LaxLax等价定等价定理理（Lax，1953，收敛性与稳定性的关系），收敛性与稳定性的关系）Th2.1：对适定的线性初值问题，若差分格式相容， 则差分格式的稳定性是收敛性的充要条件（1）证明收敛性往往困难，而判别稳定性较易， 有许多方法和准则利用Lax 等价定理 ，收敛性 的判别就转化为稳定性的判别（2）定理使用的条件：初值问题（包括周期性边界 条件的初边值问题）；初值问题适定；初值问题线 性，对非线性问题可能不成立 1v x edxi x2ved 12i xv v x FTIFT3 3研究有限差分格式稳定性的研究有限差分格式稳定性的FourierFourier方法方法1 1 Fouri

28、erFourier变换变换设v x L2 R, 22v xvedd 1 2v di x dx 则： v x Fourier积分公式性质：Parseral等式即在平方积分的范数意义下，Fourier变换 保持了度量 u a u 0 , txx R, t 0,x Ru(x, 0) g(x),对流方程的初值问题2 2 FourierFourier方法方法0)nnjjjjun1nj 1 u a(u uu g j g(xj )以差分格式（1.12）为例进行讨论222nnjjjjjjU x, t u ,x h x x h(x) g x,x h x x h扩充这些函数的定义域使其在整个实轴上有定义nnnU

29、x, tn1 U (x, t ) aU (x, t ) U (x2 h, t )对任意x R,(x, t) (xj , tn ),上式是有意义的由此得出:U (k, tn1) 1 a(1 e)U (k, tn )ikhU (k, tn 1 ) G( , k )U (k, tn )G , k 称为增长因子G , k 1 a (1 e ikh )h可以通过 和 来表示G( , k)与n无关U (k, tn ) G( , k) U (k, t0 )n22220nnUU k, tdkk, tdk KU i, t2 K 2 U i, t K 20U i, t0 2 U i, tn K22U i, t0

30、2设增长因子G , k 的任意次幂是一致有界,界为K，即|G( , k)n| K由Parseval等式有常系数的差分格式（1.12）是稳定的.如果是常系数稳定hunG( , k )n K稳定 K u0hG( , k )n K常系数差分格式稳定的充分必要条件: 存在常数 0 0, K 0, 使得 0n T , k R时, 有 G( , k )n K .Tp12pii设 x, y R2 , y可以是时间变量t向量函数u u , u ,-, u R ，其中u ux, y , i 1,-, p已知连续向量函数h x, y, u R p，矩阵函数A x, y, u Rp p3 3 一阶方程组一阶方程组3

31、.1方程组u A x, y, u u h x, y, u 0yx称为一阶拟线性方程组，头两项是主部若A与u无关，即A A x, y ，且h x, y, u B x, y u q x, y ,其中B Rp p , q R p，则称3.1是线性方程组若A、B、q是常数矩阵，常数向量，即与x、y无关， 则称（3.1）是常系数方程组分类：椭圆型：对固定的 x, y, u , A x, y, u x, y 无实特征向量，双曲型：A有p个线性无关的实特征向量，此时A有p个实特征值（重特征值重复计数）严格双曲型：A有p个互异的实特征值x 1 s y 2 s特征：若x y平面上的曲线满足1 s 1 s ,2

32、s , u 1 s ,2 s 2 s 0 特征方程则称为方程组的特征曲线，其中是 A x, y, u x, y 在曲线上的特征值12Tw , wv, w x1w yw 01wwy0 x 2 1x yA 010 Ex 1：在Cauchy Riamann方程组中，令w1 u, w2 w1 w2，方程组可写成即1无实特征向量，方程组是椭圆型的。a 0dttx dttxEx 2：一维对流方程 u a u 0tx双曲型的特征方程：dx adt 0实特征线： x at 是常数沿某条特征线x at ，方程解为u x, t u at , t ,则有 du u u dx u a u 0，即沿特征线，u 常数稳定

33、性概念及相关的Fourier方法的推导都可以 推广到线性常系数差分方程组c2 u 0 0, t 0 x u 0 t0 xu和分别表示质点速度和密度，初值u x, 0 v x, x, 0 x0 0 0),jjjn jjjn jc2unc2002h2h2h 2hn1nj 1nj 1n1n0j 1j 1 un1 un nnj 1j 1 0, un j 1j 1 0un1 un ( j (u un )建立差分方程组改写为0000000Tjjjnjj2hnj n1 jnj 1nj 1n10c2 0c2 0 0 0c2 0 2 h 1u2h u 2h0u 2h uuA T u令un un, n，采用平移算

34、子T, 上式也可以写成1其中A1 2h 0 ，A0 I，A1 A1jjjjjjnjjjnnpn1p p l ln1(x, ) RC(x , ) uAx ,T u , u R , AA一般的差分方程组可以写成l由于h g( ),即h和 满足一定关系，所以在A (x, )中仅标出令lx ,T ，则u C(x , )u （3.2）C(xj , )称为差分算子jjjjjun C( x , ) n u0如果C( x , )不依赖x ，则为 常系数差分方程组，则可利用Fourier积分得到：U (k, t) G( , k )U (k, t ),n 1nU (k, tn ) G( , k ) U (k, t

35、 )，n0U (k, t ) Rp ,G( , k ) Rp p，nG , k 为增长矩阵差分格式(3.2)稳定的充分必要条件是存在常数 0，K使得当 0 , n T 及所有k R有G , k n Kj (G , k ) 1 M , j 1, 2,-, p定理3.1：差分格式（3.2）稳定的必要条件是 当 0 , n T，对所有k R有4 4 判别准则判别准则G , k n K , 0 , n T , k R j (G , k )表示G( , k)的特征值，M 为常数证明：由差分格式稳定可以得出1nT G , k n G , k n G , k n G , k n K K , 0 n G ,

36、k K T , 0 0表示矩阵谱半径，利用谱半径与范数的关系设K 1，则有G , k对于0 0中的 ,K T ,以形如1 k1的一个线性表达式为界K T 1k1 ,由谱半径的定义可得 j G , k 1 M条件(3.3)被称为von Neumann条件von Neumann条件是稳定性的必要条件2hj 1txun1 unun jjuna例3.1讨论逼近对流方程 u a u 0的显式格式j 1 0的稳定性. 122jn jnnjja2hhunnj 1j 1 u unx x , x j2 un1 x un x a un x h un x h , x R解：变形为u时，ux u ，这样就有2U n1

37、 k U n k a ei k h eikh U n k .2 1 ai sin khG , k 2 1 a2 2 sin2 kh.对上式两边做Fourier变换，有可得增长因子G , k 1 a (eikh eikh )当sin kh 0时，不管怎样选择网格比，总有G , k 1所以差分格式是不稳定的222nnikjhjjjnikhikjhikhna2ueuaan1nnj 1j 1n1ikjhikhn1ikh u un1e e 1e eG , k 1 a (eih eih )实际上只要取u e，代入相应的差分方程，有e 再把公因式eikjh消去，可以得到得到增长因子(或增长矩阵) nn设复数

38、矩阵A aij C，AH a Cnn A的共轭转置ij若AH A I，称A为酉矩阵；若A AH，称A为Hermite矩阵；（实对称矩阵必是Hermite阵）若AAH AH A，称A为正规矩阵；（所有对角阵，Hermite阵，酉阵都是正规阵）2对于正规矩阵A有 A A，即A的2 范数等于其谱半径nnnnn ln(1G , k M ) G , kG , k 1 M e定理3.2 如果差分格式的增长矩阵G , k 是正规矩阵， von Neumann条件是差分格式稳定的必要且充分条件 证明：只证von Neumann条件是差分格式稳定的充分条件,von Neumann条件为 j G , k 1 M，

39、由此得 G , k n，23( M )2( M )3ln(1 M ) ln1 M - M ( )其其中中 ( ) 0, 1 M n en ln(1 M ) en( M ( ) enM eMT K ,所以差分格式稳所以差分格式稳定定.推论1 当G , k 为实对称矩阵，酉矩阵，Hermite矩阵时，von Neumann条件是差分格式稳定的充分必要条件.推论2 当p 1时，即G , k 只有一个元素，则 Mvon Neumann条件是差分格式稳定的充分必要条件.定理3.3 如果存在常数K， 0，使得G , k 1 K , 0 0，则差分格式是稳定的证明： G , k n G , k n 1 K

40、n en ln(1 K ) en( K ( ) enK eKT所以差分格式稳定12p , ,-定理3.4 如果G , k G , k 的特征值满足 j 1 M , j 1, 2,- p, 0 0，G , k 为增长矩阵的差分格式是稳定的证明： G , k G , k G , k 21 M 1 M所以差分格式稳定22定理3.5 如果对于 0 , k R，存在非奇异矩阵 S , k ，使得S 1 , k G , k S , k , k ,其中( , K )是对角阵，并存在与 , k无关的常数C满足 S , k C, S 1 , k C，则von Neumann条件是差分格式稳定的充分条件 证明：利

41、用定理条件，有G , k S , k , k S 1 , k ,重复使用上式，有G , k n S , k , k n S 1 , k ,G , k n C 2 , k n2l , k 1 M , l 1, 2,- p.由von Neumann条件知利用 , k 为对角阵，立即得 , k , k 1 M，2 C 2 1 M n C 2eMT，2则差分格式是稳定的1 G , k 1 M ,l G , k r 1,l 2, 3,-, p.定理3.6 如果对于0 0，一切k R，增长矩阵 G , k 的元素有界，并且则差分格式是稳定的定理3.7 如果G , k G ，其中 kh, h 或者h ，为网

42、格线，并对于任意给定的 R，下列条件之一成立：(1)G 有p个不同的特征值；(2)G I , 0,1,-, s 1,G s 有p个不同的特征值；(3) G 1；则Von Neumann条件是差分格式稳定的充分必要条件1jjjnnjjjnnikjhjhnnj 1un1 unun una u au u例3.2 考虑对流方程的差分格式j 1 0, a 0的稳定性解：u令u e，并将它代入上式就得到 n1eikjh neikjh a n 1 eikh eikjh n1 1 a 1 eikh n增长因子G , k 1 a(1 eikh )G , k 1 a (1 e ikh ) 1 a (1 cos k

43、h) a i sin khG , k 2 1 a (1 cos kh) 2 a2 2 sin2 kh kh 2kh kh 1 2a sin2 4a2 2 sin2 1 sin2 2 2 2 1 4a 1 a sin2 kh .2如果a 1则有 G , k 1，满足Neumann条件由定理3.2的推论2知，在条件a 1之下是稳定的1jjjnnikjhjh2uuj 1j 1n1n1n1nj 1j 1u2utx2un1 un jjun1 2un1 un1a 1 2aa u ,1 4a sin2 kh例3.3 考虑扩散方程 a, a 0的隐式格式 0的稳定性解： au令u e，把它代入上面方程消去公因

44、子eikjh，得G , k ，2由于a 0，所以对任何网格比都有 G , k 1，隐式格式是稳定的10.jjjnjjjjjjjuunn1nj 1j 1n1nj 1j 1nj 1nj 1 u2au2un un v 2au2un un uvn1n001000un1 2au 4a1 un 2a0u例3.4 讨论逼近扩散方程的Richardson差分格式的稳定性解：Tun un, vn，则上面的方程组可以写成jjj1222241,2222jkhkh1 8a sin2 kh011 8a sin2 kh01 4a sin 116a sin2n1 n ,设un neikjh，将它代入上式并消去公因子增长矩阵

45、G , k 为其特征值1222241212.2所以Richardson格式是不稳定的khkh 4a sin 1 16a sin 2 kh | | 1 4a sin条件稳定: 例3.2，在条件a 1之下才是稳定；绝对稳定，无条件稳定：例3.3， 对任何网格比都是稳定的；绝对不稳定，无条件不稳定: 例3.1和例3.4， 对任何网格比都不稳定有限差分法在采用数值计算方法求解偏微分方程时，若将每 一处导数由有限差分近似公式替代，从而把求解偏微 分方程的问题转换成求解代数方程的问题，即所谓的 有限差分法。有限差分法求解偏微分方程的步骤如下：1、区域离散化，即把所给偏微分方程的求解区域 细分成由有限个格点组成的网格；2、近似替代，即采用有限差分公式替代每一个格 点的导数；3、逼近求解。差分格式的构造方法 最常用的方法是数值微分法，比如用差 商代替微商等。 积分插值法，因为在实际问题中得出的 微分方程常常反映物理上的某种守恒原 理，一般可以通过积分形式来表示。 待定系数法构造一些精度较高的差分格 式。作业 书面作业：课本P44习题 上机作业：1、 P43变系数对流方程（4.17）利用差分格 式（4.18）数值求解，给出一个精确解的例 子；2、 P44习题4利用所给格式数值求解该扩散方 程的定解问题，并构造一个精确解的例子。