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1、我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物第二章平面问题的基本理论我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2.1 平面应力问题与平面应变问题 一、平面应力问题(plane stress) 1几何形状特征 物体在一个坐标方向(例如z方向)上的几何尺寸远远小于其他两个坐标方向的几何尺寸，图示的薄板，板厚就远远小于板面x、y方向的尺寸。yxh2yz我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽
2、的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2承受荷裁特征 在薄板的两个侧表面上无表面荷载，作用于薄板边缘的表面力平行于板面，且沿厚度方向不发生变化，或虽沿厚度方向变化但对称于乎板画的中间平面，即合力与中平面重合。同时，体力亦平行于板面，且沿厚度方向不变。 3简化分析 根据问题的特征，经过分析判断可预先未知函数中一部分为零或接近于零，或与共他分虽相比，小到可以忽略不计的程度。 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物设弹性薄板的厚度为h，因薄板两侧面无表面力作用，所以有而在
3、薄板内部，这三个应力分量是不为零的。但是，由于板很薄且在所给荷载情形下，薄板不受弯曲作用，也不存在稳定问题。所以可认为板内所有各点都有0, 0, 0222hzzyhzzxhzz0, 0, 0zyzxz由剪应力互等定理，得0, 0yzxz 故平面应力问题的非零应力分量为xyyx,我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 在实际工程中，可以简化为平面应力问题的例子是很多的。例如，高层建筑中的剪力墙、深梁、平面吊钩(如图23所示)以及平面链环、被圆孔或圆槽削弱的薄板等等，都可简化为平面应力问题。在实际应用
4、中，对于微度变厚度的薄板、带有加强筋的薄板、平面刚架的节点区域等等，只要符合上述两个条件，也往往核平面应力问题用有限单元法作近似计算。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 二 平面应变问题(plane strain) 1几何形状特征 与平面应力问题相底物体沿一个处标轴(例如z轴)方向的尺寸远大于其他两个坐标轴(x轴和y轴)方向的尺寸，且所有垂直于z轴的横截面都相同，即为一等截面柱体。 2承受荷载特征 柱体的体积力和侧表面所承受的表面力均垂直于z轴，且分布规律不随坐标z变化,柱体的位移约束条件和力
5、的支承条件沿z方向也是相同的。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 3简化分析 等截面柱体，例如挡土墙、隧道、重力坝和圆管等，如果受到垂直于z轴且不沿长度变化的荷载作用，就可以假定所有横截面都处于相同的情况。为简单起见，现在先假定两端截面被限制在两个固定的光沿刚性平而之间，因而z方向的位移被阻止了。由于两端没有轴向位移，且由于对称，在中间截面也没有轴向位移；因而
6、可以假定每一个横截面都同样没有轴向位移。每一个横截面都同样没有向向位移。当然，在长柱体的每一种情况下，荷裁必须不沿长度变化。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物由于所有横截面的情况相同，所以只须考虑相隔个单位长度的两截面之间的薄板(即一片)就够了。这时，位移分量u和v是x和y的函数，但与纵坐标z无关，因为纵向位移w为零，所以可得 。于是，六个应变分量只剩下 、 和 等三个应变分量了，而且它们仅是x和y的函数。所以，凡符合下列两个条件0, 0, 0yzxzzxyxy0. 2,. 1yzxzzxyy
7、xyx的函数仅是的应变状态，就称为平面应变状态，所求的这种弹性力学问题称平面应变问题。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2.2 平衡微分方程(differential equations of equilibrium)基本思路 过弹体内任意一点P截取一微小的正平行六面体(单元体)，并把内应力连同体积力(外力)一起作用在该单元体上，考虑其平衡，列出其力的平衡条件，这样就可导出内应力分量与体积力分量之间的微分关系式平衡微分方程。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世
8、界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物xyoYXCADBPxdxxxxydyyyyxydyyyxyxdxxxyxy对图示的六面体，各面上的应力分布已经给出，应力分布被认为作用于对应的微分面的中心j，体力分量被认为作用于微分体体积的中心上。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物方程推导 考虑任意一个单元体的平衡，则是保证整个物体平衡的必要和充分条件。因此，作用在单元体上的力应当满足平面问题的三个平衡条件：0, 0, 0mYX, 0X由011111Xdxdydxdxdyyd
9、ydxxdyyxyxyxxxx整理以后，得00YyxXyxyxyyxx, 0Y由Nevier方程(2-1)我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物, 0m由021212121dydxdydxydxdydxxdxdyyxyxyxxyxyxy两边除以dxdy,合并相同的项，得到yxxy这不过是再一次证明了曲应力的互等性。可见，Navier方程中只有三个未知函数。(2-2)我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生
10、物 2.2 平面问题中一点的应力状态xyoYXCADBPxdxxxxydyyyyxydyyyxyxdxxxyxy对平面应力或平面应变问题，可以证明：当知道了物体内任一点的应力分量x、 y 和xy以后，作用于通过该点处与xy平面垂直并与x和y轴交成某一角度的任一平面上的应力，都可以求得。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物令P为受力的板中的一点，并假定应力分量x、 y 和xy 是已知的。试取一个平行于z轴而距离P点很近的平面BC，于是。这个平面连同坐标面一起，从板上分割出一个很小的三棱柱PBC。因
11、因为应力在物体内连续变化。所以当分割的三棱校渐小时。作用于平面BC上的应力将趋近于经过P点并与它平行的平面上的应力。n我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物令n为平面BC的法线方向并用jnin,cos,cosml代表法线与 x 轴和 y 轴之间的夹角的余弦。于是，把三棱柱BC面的向积用A代表则另外两面的面积为Al和Am。用及代表BC面上的应力分量，则由三棱柱的平衡方程得XYyxyxyxmlYmlX(2-3)我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉
12、快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物令 为法线n与x轴之间的夹角，于是有l=cos ，m=sin ，并由方程(2-3)得平面BC上的正应力分量和剪应力分量xyxynxyyxnlmlmYXlmmlYX2222sincos2sincos(2-4)式(2-4)与材料力学的结果是完全相同的，只是使用的符号记法不一样。同时教材中所给出的确定主应力的方法也与材料力学中学习过的方法一样。 下面我们介绍一种更加简便的记法矩阵记法。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物对平面应力状态，一点的应力状态可以记为
13、yxyxyxij22211211而法线n记为(l, m)T，这样式(2-4)可以写成mlmlyxyxyxijn,Tnn此时，剪应力却不能给出普遍性的表达式，原因是这时的斜截面BC不能用正、负坐标微面来规定其所谓的正方向，即便如此，对图示情形,xyntlmcossin2sin2cost(2-5)我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物从而，有mllmyxyxyxijn,Tnt注意：v我们将(ij)称为一点的应力张量，它可以完全反映该点的应力之分布情况。v(ij)n事实上就是斜面BC上的应力按沿坐标分量
14、的记法，即v某斜截面的剪应力由于没有规定相应的切向正方向，所以经常要视剪应力的具体情况而定。jinYXij(2-6)我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物主应力、主方向的确定yxyxyxij22211211应力张量也可以把它看成应力矩阵。而对于矩阵，按线性代数理论，它存在特征矩阵和特征方程，即 yxyxyxij 022xyyxyxyxyxyxf(2-7)(2-8)我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物
15、结论：特征方程的特征根就是该点的主应力 022xyyxyxf对于特征方程该方程的两个特征根为22214212xyyxyx(2-9)将每一个特征根i代入下述方程组 0mliyxyxyixijn这是一个关于l, m的齐次线性方程组，该方程的基础解系就是与主应力i对应的特征方向(li, mi)T。(2-10)我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例 以纯剪切应力状态为例。xyxyyx00 xyxyij xyxyij 022xyxyxyfxy21显然xyxy2311,我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西
16、，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 0111mlmlxyxyxyxyxyxyijn将1代入下列方程组其解为llmm也就是说与1对应的方向为(1,1)，或者(-1,-1)。同样可得与2对应的方向为(-1,1)，或(1,-1)。xyxy(1,1)(1,-1)(-1,-1)(-1,1)我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-3 几何方程 刚体位移 经过弹性休内任意一点P，截取一微小的单位厚度的正六面体PACB，假定弹性体受力以后(形变与位
17、移只发生在xy平面内)，六面体移动到新的位置。这样，可以看到两种基本的几何形变，即，一种是在x、y方向上原来直线长度PA、PB的变化，另一种是所给PA与PB夹角(直角)的变化。分别推导这两种基本的几何形变，就可以得到线形变和角形变的方程。这两种方程的综合就得到所谓平面问题的几何方程。BCAP我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物在平面问题中，其形变和位移与应力一样，仅仅是x、y的函数，从而只需分析xoy平面内形变与位移的关系。 对于图示的有限小六面体(棱边长度分别为x、 y ，单位厚度z=1)。当
18、弹性体变形时点P(x，y)移至P(x+u，y+v)，其余的各角点也分别移至新的位置，如A(x+ x ，y)移至A(x+ x +u +u ，y+v+ v1)，如此等等。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 由于点A的位移与点P的位移不相等，假定变形后的梭边P A 比变形前的棱边PA伸长了。由因可见，其水平投影的长度增加了(u+ u)- u= u，从而其水平投影的相刘伸长昼为 u x，这就是六面体在x方向的平均线应变。同理，六面体在y方向的平均线应变为 v y，当该有限小六面体棱边的长度x、 y无限
19、趋于零时，这两个平均线应变的极限便分别成为P(x，y)点处的线形变分量x和yyyxxyvyvxuxu00limlim我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物同样可很线段PA、PB的转角分别为xvyu于是可得PA与PB之间的直角的改变(以减小时为正)，也就是剪应变xy为xvyuxy综合得Cauchy方程xvyuyvxuxyyx,(2-11)我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物刚体位移由几何方程可见，当物
20、体的位移分量完全确定时，应变分量则亦完全确定；反之，当应变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。为了说明后一点，试令应变分量等于零，即0, 0, 0 xyyx将上式代入几何方程(3-1)，得0, 0, 0 xvyuyvxu(a)(b)我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物将前两式分别对x及y积分，得 xfvyfu21,其中f1、f2为任意函数。代(c)入(b)中的第三式，得(c) dxxdfdyydf21这一方程的左边是y的函数而右边是x的函数。因此，只能是两边都等于同一常数，于是得 dxxdf
21、dyydf21,(d)(e)我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物积分以后，得 xvxfyuyf0201,(f)式中u0、v0为任意常数。将式(f)代入式(c)，得位移分量xvvyuu00,(2-12)式(3-2)所示的位移，是“应变为零”时的位移，也就是所谓“与应变无关的位移”，因此必然是刚体位移。实际上， u0、v0分别为物体沿x轴及y轴方向的刚体平移，而为物体绕z的的刚体转动。下面根据平面运动的原理加以证明。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我
22、也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 当三个常数中只有u0不为零时，由式(3-2)可见，物体中任意一点的位移分量是u=u0，v=0。这就是说物体的所有各点只沿x方向移动同样的距离u0 。由此可见， u0代表物体沿x方向的刚体平移。同样可见， v0代表物体沿y方向刚体平移。当只不为零时，由式(3-2)可见，物体中任意一点的位移分量是xvyu,我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 据此，坐标为(x，y)的任意一点P沿着正y方向移动 x，并沿着负x方向移动 y，如图示，而合成位移为rr
23、yxxyvu222222式中r为P点至z轴的距离。令合成位移的方向与y轴的夹角为，tantanxyxy我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物则可见合成位移的方向与径向线段OP垂直，也就是沿着切向。既然物体的所有各点移动的方向都是沿着切向，而且移动的距离等于径向距离r乘以 ，可见(注意位移是微小的)。代表物体绕z轴的刚体转动。既然物体在形变为零时可以有刚体位移，可见，当物体发生一定的形变时，由于约束条件的不同，它可能具有不同的刚体位移。因而它的位移并不是完全确定的，在平面问题中，常数u0、v0、 。
24、的任意性就反映了位移的不确定性而为了完全确定位移，就必须有三个适当的约束条件来确定这三个常数。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-5 物理方程一维情况下的虎克定律=E。推广到三维应力状态，得到空间问题的物理方程xyxyzxzxyzyzyxzzxzyyzyxxGGGEEE1,1,1111其中E是弹性量，G是剪切弹性模量，为Poisson系数12EG(2-13)(2-14)我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有
25、一个活的生物1.在平面应力问题中， z=0，yz= zx=0，(2-15)xyxyxyyyxxGEE111由(2-13)的第三式知道yxzE我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 2.在平面应变问题中，由于物体的所有各点都不沿z方向移动，即w=0，所以z方向的线段都没有伸缩，即 z=0。于是由式(2-13)中的第三式得yxz代入其它式子，注意到yz= zx=0，则有xyxyxyyyxxGEE1111122(2-16)平面应变问题的(Lam形式)Hooke定律。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西
26、，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物00YyxXyxyxyyxxxvyuyvxuxyyx,xyxyxyyyxxGEE111xyxyxyyyxxGEE1111122这样就得到了平面问题的基本方程组或我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物注意：也可以将Hooke定律写成用应变表达的形式(Young-Poisson形式)xyxyxyyyxxEEE121122另外，对于平面应变的情形，只要将平面应力时的物理方程中的弹性常数作如下变化，则可得到平
27、面应力时的物理方程，无论是Lam形式还是Young-Poisson形式。1,12EE我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物由基本方程组知，平面问题的基本未知量的数目为8个，即vuxyyxxyyx,另外，根据弹性力学的物理假定，弹性常数 E，G，有如下性质： (一)不随应力或形变的大小而变；(二)不随位置坐标而变；(三)不随方向而变。可见，方程的数目和未知量的数目是相同的，只要考虑相应的边界条件就可以求解。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快
28、，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-5 边界条件 Saint-Venant原理(Boundary condition & Saint-Venants Principle)当物体在外力作用下处于平衡状态时，其内部各点的应力分量应当满足平衡微分方程(2-1)，如果所考察的是位于物体表面上的点(即边界点)，显然这些点的应力分量(代表物体内部作用于这些边界点上的力)应当与作用在该点处的外力(表面力)相平衡，这种边界点的平衡条件，称为边界条件(也称为静力边界条件或应力边界条件)。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：
29、表里边有一个活的生物YmlXmlyxyxyxxynPxyxyyxXYXYABC我们所取的微分体就是具有单位厚度的五面休(三角板状)PAB，斜边与边界研重合，如图所示。用n表示边界面AB的外法线方向，则有jnin,cos,cosml由平衡条件X=0，Y=0得(2-17)这就是平面问题的应力边界条件。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物现任讨论两种极端情况下的边界条件。一种是在物体的边界上全部给定面力，距S表示。如图示，这时应力边界条件即为式(2-17)。另一种是在物体的达界上全部给定位移，用Su表
30、示，如图示，这时，位移边界条件为，vvuu,(2-18)式中u、v是位移的边界值，是待求的，而在边界上是坐标x，y 的函数，是已知的。vu,我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物当边界垂直于某一坐标轴时，应力边界条件的形式将得到大大的筒化：在垂直于x轴的边界上，x值为常量，l1，m=0，应力边界条件简化为YXxyx,在垂直于y轴的边界上，y值为常量，l=0，m= 1，应力边界条件简化为YXyxy,可见，在这种特殊情况下，应力分量的边界值就等于对应的面力分量(当边界的外法线沿坐标轴正方向时，两者的正
31、负号相间；当边界的外法线沿坐标轴负方向时，两者的正负号相反)。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物注意：在垂直于x轴的边界上，应力边界条件中并没有y，在垂直于y轴的边界上，应力边界条件中并没有x。这就是说，平行于边界的正应力，它的边界值与面力分量并不直接相关。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物混合边界条件SuS图示弹性体，部分位移被限制，故为位移边界条件SuvvuuSu,:而另一部分边界则是外力
32、已知，故为应力边界条件SYmlXmlSyxyxyx:两者结合起来，即为混合边界条件。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例 试写出图示平面问题的应力边界条件。n解：在y=0的边界上，有00 xyyxlqY亦y=x tan边界面上，表面力为零，外法线n的方向余弦为cos,sinml由式(2-17)得0cossin0cossinyxyxyx我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例 设有距形截面的竖柱，密
33、度为 ，应力分量为0021xyyxCyC试分别利用图1a和b确定常数Cl及C2.图1(a)我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解： 方法一 由图知，用静力边界条件确定常数，必须先求出支承反力。对于图1a，求得支承反力为 ，如图2示。其边界条件为ghY图200hyyyygh(b)将式(a)代入上式，得ghCgC21,方法二 如果同时应用平衡微分方程和应力边界条件，就不必求出支承反力而能直接定出常数。例如，由平衡微分方程(2-1)的第二式我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个
34、美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物0Yyxyxy021gCyCx即得gC1再由图1a上边界，得0, 021ChChyy即ghhCC12所以对于图1b，由平衡微分方程(2-1)第二式，得C1= g，再由图1b下边界得00, 0210CCyy02C导出我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物Saint-Venants Principle用弹件力学方法求解实际问题时，若严格按照表面力的真实分布情况给出边界条件，这在数学上将变得异常复杂。由于这一原因，也出于在实际问题
35、中往往对于局部区域上外力的分布方式很难明确，于是，人们研究了局部区域上力的作用方式对于弹性力学解答的影响问题，这一问题由圣维南明确提出：如果改变物体的某一局部(小部分)边界面上作用的表面力的分布方式，但保持静力上的等效(即主向量相同，对于同一点的主矩也相同)，则近处的应力分布将有显著的改变，而远处的应力改变甚小，可以忽略不计。这一叙述称为圣维南原理。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 例如，右图示a和b的端部，作用力满足静力等效条件，所以这两个问题应力分布的显著差异发生在端部，远处可以用图b的
36、解答代替图a的解答。 我们知道，图a问题的精确解答(包括端部条件的精确满足)是十分困难的。而图b问题的解答却是十分容易得到的。 所以我们在具体计算是用图b的边界条件代替图a的边界条件，并称这样的边界条件为S-N边界。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物左图a中的边界也是很难满足的，一般情况下，图b的边界却很容易满足，而且这两种边界是静力等效的，所以我们认为这两种情况在远离边界的区域的应力分布是一样的。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，
37、证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物必须指出，在上述的梁中，如梁的长与高相当或相近（深梁），这时闻静力等效条件将产生显著的误差，所以，这时就不能采用静力等效。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物对于局部域受一平衡力系作用时，圣维南原理还可另述如下： 如果物体一小部分边界表面承受的表面力是一平衡力系，即主矢量和主矩都为零，这个平衡表面力所产生的影响只限在局部，即只在受力附近产生显著的应力，而在远离受力位置，应力就迅速衰减甚至消失。最显著的例证，就是用钳子夹钢丝或铁丝，在加力点(钳口)附近发生很
38、大的应力乃至剪断，但是，只要离钳口不甚远，应力就已很小甚至没有，那里的全属不保有任何受力的痕迹。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-7 按位移求解平面问题 按位移求解，就是以位移分量为基本来知函数，求解平面问题的基本微分方程。一旦求得了位移分量，即可通过几何方程(2-11)求得应变分量，通过物理方程(2-13)求得应力分量。为此，首先要导出按位移求解平面问题时所需用的基本方程(微分方程)和边界条件。这需将用应力分量表示的平衡微分方程(2-1)变换为用位移分量表示的平衔微分方程，同时，应力边界
39、条件也将作相应的变换。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物建立以位移为基本变量的基本方程组（以平面应力问题为例）1. 将Hooke定律表达为位移相关的形式xyxyxyyyxxEEE121122(2-19)我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物将Cauchy方程(2-11)代入(2-19)得xvyuExuyvEyvxuExyyx121122(2-20)我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它
40、放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物再将式(2-20)代入平衡微分方程(2-1)，简化后，即得021211021211222222222222YyxuxvyvEXyxvyuxuE(2-21)这是按位移求解平面应力问题时所用的基本微分方程，也就是所谓拉梅(Lam)方程在平面应力问题中的简化形式。实质上，它就是用位移表示的平衡微分方程，这也就是方程(2-21)的力学意义。拉梅(Lam)方程我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物另一方面，将式(2-20)
41、代入应力边界条件(2-17)，简化以后，得YxuyvmyuxvlEXxvyumyvxulE21121122(2-22)这是用位移表示的应力边界条件，也就是按位移求解平面应力问题时所用的静力边界条件。位移边界条件仍然如式(2-l8)所示，即vvuu,(2-18)至于导出平面应变问题的Lam方程，只需将上述(2-21)和(2-22)式作与物理方程相同的弹性常数变换即可。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物结论： 对于按位移法求解平面问题，其基本方程是(2-21)，这是两个方程组成的偏微分方程组，再加
42、上应力边界条件(2-22)和位移边界条件(2-18)。 其特点是，未知量数目只有两个，即位移函数u和v。 这组方程很容易用于作有限元数值计算。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-8 按应力求解平面问题 相容方程 按应力求解平面问题，就是以应力分量为基本未知函数，求解平面问题的基本微分方程。 由于平衡微分方程(2-1)本身就是用应力分量表示的，应当保留。于是，只需从三个几何方程中消去位移分量，得出应变分量之间的一个关系式，可将物理方程式代入这个关系式，使它只包含应力分量即可。 若求得的三个应力
43、分量表达式，是物体的真正的应力场，即可通过物理方程(2-15)或(2-16)求得应变分量，从而通过几何方程(2-11)就可求得单值、连续的位移分量表达式。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物xvyuyvxuxyyx,(2-11)考虑将Cauchy方程第一式对y求二阶导数，第二式对x求二阶导数相加得xvyuyxyxvyxuxyyx223232222(2-23)yxxyxyyx22222即上式称为弹性体变形相容方程(Compatibility Equations)，也称S-N恒等式。它是保证弹性体变
44、形连续的条件。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物对于平面应力问题，将物理方程(2-15)代入式(2-23)，得yxxyxyxyyx2222212(2-24)利用平衡微分方程可以简化上式，使它只包含正应力而不包含剪应力。为此，将平衡微分方程(2-1)写成YyxXxyyxyxyx将前一方程对x求导，后一方程对y求导，然后相加，得我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物yYxXyxyxyxxy222222
45、代入式(2-24)，得yYxXyxyx12222即yYxXyx12(2-25)平面应力时的应力相容方程可见，按应力求解时得到的是一个关于(x+y)微分方程与平衡微分方程联立求解。对于平面应变问题，只要对弹性常数作变换即可。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物特别地，当体力为零或常数时，得02yx这是一个关于(x+y)的调和方程，而在数学上，调和方程已经得到了满意的解答，这使按应力解析求解弹性平面问题称为可能。(请同学们参阅高等数学中关于调和函数和调和方程的性质)(2-26)但是由于位移边界条件无
46、法用应力分量来表示，所以对于位移边值问题和混合边值问题，一般都不可能按应力求解而得出精确解答。这是按应力解法的局限性我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 需要提出，相容方程(2-25) 是经过对几何方程和平衡微分方程求导得到的，这就可能带进一些新的多值解，这些解答不满足原来的几何方程和平衡微分方程。因此，按应力求解弹性力学平面问题的提法为：在给定边界条件下求解平衡微分方程(2-1)与相容方程(2-25) 组成的偏微分方程组。同时，按应力求解时，还要进一步分析能否得到应力的单值解答。经分析证明，对
47、单连体情况，即只有一个连续边界的物体确实可得到单值解，但对多连体，必须附加位移单值条件才能得到应力、形变的单位解。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-9 常体力情况下的简化 应力函数常体力情况下平面应力问题的基本方程为0002yxyxyyxxYyxXyx(2-27)这是一个偏微分方程组，下面我们针对这种特殊形式的偏微分方程组，利用数学知识来确定该方程的通解和特解。注意，这里所说的特解是在假定体力为常数时的特解，并没有计及边界条件，也就是说是特解中是存在积分常数的。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和
48、恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物由平衡微分方程可见，其特解是与体力X、Y有关的。可用观察法得到。例如，下面三组应力分量部可作为平衡方程的特解。0,xyyxyYxXyYxX0,xyyxyYxXyYxXxyyx, 0, 0现在，求解齐次方程的通解00yxyxyxyyxx我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物yxyxx由第一式根据高等数学的全微分理论知，存在函数A(x,y)，使得xyxAyyxAyxx,由第二式yxyxy则必存在
49、函数B(x,y)，使得yyxBxyxByxy,(a)(b)我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物由式(a) 和(b)第二式xyxByyxA,则必存在函数(x,y)，使得xyxByyxA,yxyBxAxxxxByyyyAxyyx22222这样(2-28)我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物式(2-28)就是(2-27)齐方程的通解。将通解(2-28)与任一组特解叠加，即得微分方程(2-27)的全解。比
50、如yxyYxxXyxyyx22222,不论是什么样的函数，式(2-29)表示的应力分量总能满足平衡微分方程(2-1)。函数称为平面问题的应力函数(Stress function)，是Airy首先引用的。有时也称为Airy 应力函数。(2-29)我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物0204422444422222222yyxxyxyx(2-30)展开得用应力函数表示的相容方程式(2-30)在数学上称为双调和方程，而满足双调和方程的函数叫做双调和函数。由此可见，弹性力学平面问题的应力函数(x，y)是