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1、2.3.2抛物线的简抛物线的简单几何性质单几何性质（2）高二数学高二数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程复习：复习：1 1、抛物线、抛物线的的几何性质几何性质图图 形形方程方程焦点焦点准线准线 范围范围 顶点顶点 对称轴对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）x0yRx0yRy0 xRy 0 xR(0,0)x轴轴y轴轴12、通径：、通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的两点的线段
2、叫做抛物线的通径通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度通径的长度：2PP越大越大,开口越开阔开口越开阔3、焦半径：、焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的叫做抛物线的焦半径焦半径。焦半径公式：焦半径公式：请同学自己推导出其余三种标准方程请同学自己推导出其余三种标准方程抛物线的抛物线的焦半径公式。焦半径公式。通过焦点的直线，与抛物通过焦点的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的线段叫做抛物线的焦点弦焦点弦。xOyFA焦点弦：焦点弦：焦点弦长度公式：焦点弦长度公式：请同学自己推导出其余三种标准方程请同学自
3、己推导出其余三种标准方程抛物线的抛物线的焦点弦长度公式。焦点弦长度公式。B方程方程图图形形范围范围对称性对称性顶点顶点焦焦半径半径焦点弦焦点弦的长度的长度 y2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）lFyxOlFyxOlFyxOx0 yRx0 yRxR y0y0 xRlFyxO关于关于x轴对称轴对称 关于关于x轴对称轴对称 关于关于y轴对称轴对称关于关于y轴对称轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）想想一一想想 这是一道简单，但解法这是一道简单，但解法丰富的典型的抛物线问题，丰富的典型的抛物线问题，你能给出它的几种解法吗你能给出它的几种解法吗？
4、题型一：弦长问题题型一：弦长问题具体步骤由同学们给出具体步骤由同学们给出.法一法一:直接求两点坐标直接求两点坐标,计算弦长计算弦长(运算量一般较大运算量一般较大);法二法二:设而不求设而不求,运用韦达定理运用韦达定理,计算弦长计算弦长(运算量一般运算量一般);法三法三:设而不求设而不求,数形结合数形结合,活用定义活用定义,运用韦达定理运用韦达定理,计算弦长计算弦长.法四法四:纯几何计算纯几何计算,这也是一种较好的思维这也是一种较好的思维.变变1:已知抛物线已知抛物线y2=4x截直线截直线y=x+b所得弦长为所得弦长为4,求求b的值的值.由此可得由此可得|y1|=|y2|,，即线段即线段AB关于
5、关于x轴对称。轴对称。因为因为x轴垂直于轴垂直于AB，且且 ，例例2、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线顶点在抛物线 上，求这个三角形的边长。上，求这个三角形的边长。解：如图，设正三角形解：如图，设正三角形OAB的顶点的顶点A、B在在抛物线上，且坐标分别为抛物线上，且坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则又又|OA|=|OB|，所以所以x12+y12=x22+y22即即 x12-x22+2px1-2px2=0,(X12-x22)+2p(x1-x2)=0,yxoAB(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.x10，x20，2p
6、0,x1=x2.所以所以(x1,y1)(x2,y2)题型一：弦长问题题型一：弦长问题xyOAB练习练习:已知抛物线已知抛物线y24x，设设A（2，0），），P是抛物线是抛物线上的点，求上的点，求PA的最小值。的最小值。题型一：弦长问题题型一：弦长问题例例3在在抛抛物物线线 y2=8x 上上求求一一点点P，使使P到到焦焦点点F 的的距距离离与与到到 Q(4，1)的距离的和最小，并求最小值。的距离的和最小，并求最小值。解：解：K题型二：抛物线最值问题题型二：抛物线最值问题1:1:在抛物线在抛物线y y2 2=64x=64x上求一点，使它到直线：上求一点，使它到直线：4x+3y+46=04x+3y+
7、46=0的距的距离最短，并求此距离。离最短，并求此距离。.F题型二：抛物线的最值问题题型二：抛物线的最值问题练习练习:已知抛物线已知抛物线y=xy=x2 2,动弦动弦ABAB的长为的长为2 2，求，求ABAB中点纵坐标的最小值。中点纵坐标的最小值。FABM解法1：xoy利用弦长公式解题利用弦长公式解题题型二：抛物线的最值问题题型二：抛物线的最值问题练习：练习：已知抛物线已知抛物线y=xy=x2 2,动弦动弦ABAB的长为的长为2 2，求，求ABAB中点纵坐标的最小值。中点纵坐标的最小值。解法二：xoyFABMCND利用定义解题利用定义解题题型二：抛物线的最值问题题型二：抛物线的最值问题解：解：(1)设设A（x1,y1），），B（x2,y2），），OAOB kOAkOB=-1 x1x2+y1y2=0 y12=2px1，y22=2px2 y10，y20 y1y2=-4p2 x1x2=4p2 题型三：抛物线的定值问题题型三：抛物线的定值问题点差法点差法