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1、 第三章第三章 二、曲线的凹凸性二、曲线的凹凸性三、曲线的拐点及求法三、曲线的拐点及求法一、函数的单调性一、函数的单调性第四节第四节机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性四、渐近线四、渐近线一、单调性的判别法一、单调性的判别法机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定理定理1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证证应用拉格朗日中值定理，得应用拉格朗日中值定理，得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1 1解解注意注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要
2、用函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性处的导数符号来判别一个区间上的单调性机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 说明：说明：1.1.此定理只给出了函数在某个区间上单调的充此定理只给出了函数在某个区间上单调的充分条件，而不是必要条件。分条件，而不是必要条件。2.2.区间内个别点导数为零或导数不存在区间内个别点导数为零或导数不存在,不影响不影响区间的单调性区间的单调性.只需用导数为零或导数不存在的点只需用导数为零或导数不存在的点来划分定义区间，就能保证函数的
3、各个部分区间来划分定义区间，就能保证函数的各个部分区间内保持固定的符号，从而使函数在各个部分区间内保持固定的符号，从而使函数在各个部分区间上单调。上单调。又例又例例如例如机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定义定义:若函数在其定义域的某个区间内是单若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点的分界点方法方法:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2 2解解单调区间为单调区间为机动机动 目录目录 上页上页
4、下页下页 返回返回 结束结束 例例3 3解解单调区间为单调区间为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例4 4证证机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例5 5证证机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例6 6证证机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证明证明机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证明证明1 利用单调性证：利用单调性证：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证明证明2 利用单调性证利
5、用单调性证机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证明证明3利用中值定理证利用中值定理证机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证明证明1利用单调性证利用单调性证列表列表x0_0+0机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证明证明2利用中值定理证利用中值定理证由中值定理知由中值定理知，机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证明证明3利用泰勒公式证利用泰勒公式证二、曲线的凹凸性二、曲线的凹凸性问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方图形上任
6、意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定义定义机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定理定理2 2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返
7、回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 由定义由定义2，(1)成立。成立。同理可以证明同理可以证明(2)。例例1010解解注意到注意到,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 推论：推论：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1111解：解：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (1)(2)三、曲线的拐点及其求法三、曲线的拐点及其求法1 1、定义、定义注意注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线。拐点处的切线必在拐点处穿过曲线。2 2、拐点的求法、拐点的求法机动机动 目录目录 上页上页 下页下页
8、返回返回 结束结束 证证机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1212解解凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 注意注意:例例1313解解机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 求函数求函数 f(x)的拐点的步骤：的拐点的步骤：注意：注意：例例定理定理5 5证明：证明：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1414解解机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 四、渐近线四、渐近线定义定
9、义:1.1.铅直渐近线铅直渐近线机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例如例如有铅直渐近线两条有铅直渐近线两条:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2.2.水平渐近线水平渐近线例如例如有水平渐近线两条有水平渐近线两条:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3.3.斜渐近线斜渐近线斜渐近线求法斜渐近线求法:显然，水平渐近线是斜渐近线的特例。显然，水平渐近线是斜渐近线的特例。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证明：证明：由渐近线的定义，有由渐近线的定义，有要使此时成立，必须要使此时成立，必须机动机动 目录
10、目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 注意注意:例例1515解解机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 五、小结五、小结1.单调性的判别（它是拉格朗日中值定理的单调性的判别（它是拉格朗日中值定理的重要应用）重要应用）.3.应用：利用函数的单调性可以确定某些应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式方程实根的个数和证明不等式.单调性单调性2.单调区间的求法单调区间的求法机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 曲线
11、的弯曲方向曲线的弯曲方向凹凸性凹凸性;改变弯曲方向的点改变弯曲方向的点拐点拐点;1 1 凹凸性的判定凹凸性的判定.2 2 拐点的求法拐点的求法.凹凸性及拐点凹凸性及拐点渐近线的求法渐近线的求法机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 习题习题(3-4)P151 3(2)(5);4(2)(3)(4);8(2)(4)(6);9(3);11；12;13;作业作业机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考题思考题1解答解答不能断定不能断定.例例但但机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考题思考题1当当 时，时，当当 时，时，注意注意 可以
12、任意大，故在可以任意大，故在 点的任何邻点的任何邻域内，域内，都不单调递增都不单调递增机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考题思考题2解答解答例例机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考题思考题2思考题思考题 3 解答解答机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考题思考题3思考与练习思考与练习上上则则或或的的大小顺序是大小顺序是()提示提示:利用利用单调增加单调增加,及及B1.设在设在机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ;.2.曲线曲线的凹区间是的凹区间是凸区间是凸区间是拐点为拐点为提示提示:及及 ;第五节第五节 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1.求证曲线求证曲线 有位于一直线的三个拐点有位于一直线的三个拐点.证明：证明：备用题备用题机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 令令得得从而三个拐点为从而三个拐点为因为因为所以三个拐点共线所以三个拐点共线.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ,则则证明证明:当当时，时，有有证明证明:令令是是凸凸函数函数即即 2.2.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (由定义由定义1)1)