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1、4 相互独立的随机变量相互独立的随机变量一、随机变量独立性的定义一、随机变量独立性的定义二、随机变量独立性的有关结论二、随机变量独立性的有关结论三、小结三、小结 思考题思考题回忆回忆若若PXx,Yy=PXxPYy则则Xx与与Yy相互独立相互独立.F(x,y)FX(x)FY(y)若若P(AB)=P(A)P(B),则称则称A与与B相互独立相互独立.一、随机变量独立性的定义一、随机变量独立性的定义定义定义1 设设(X,Y)F(x,y),XFX(x),YFY(y)若对所有的若对所有的x,y都有都有F(x,y)=FX(x)FY(y),则称则称X与与Y相互独立相互独立.说明说明(1)X,Y独立独立 Xx,
2、Y y独立独立,对任意的实数对任意的实数x,y;(称称X,Y独立独立)(2)该定义对离散型和非离散型随机该定义对离散型和非离散型随机变量都适用变量都适用;(3)X与与Y相互独立的直观含义是相互独立的直观含义是X与与Y取值的取值的概率互不影响概率互不影响;(4)在实际问题中在实际问题中,随机变量的独立性也随机变量的独立性也可可根据实际意义判断根据实际意义判断;(5)若若X与与Y相互独立相互独立,则可由边缘分布确则可由边缘分布确定联合分布定联合分布.(几乎处处成立几乎处处成立)二、随机变量独立性的有关结论二、随机变量独立性的有关结论即即pij=(对所有的对所有的 i=1,2,j=1,2,).结论结
3、论 2 设设(X,Y)PX=xi,Y=yj=pij,i,j=1,2,X PX=xi=i=1,2,则则X与与Y独立独立PX=xi,Y=yj=PX=xiPY=yj Y PY=yj=j=1,2,结论结论 1 设设(X,Y)f(x,y),XX(x),YY(y),则则X与与Y 独立独立 f(x,y)=fX(x)fY(y).例例1 进行打靶进行打靶,设弹着点设弹着点A(X,Y)的坐标的坐标X和和Y 相相互独立互独立,且都服从且都服从N(0,1),规定点规定点A落在落在区域区域D1=(x,y)|x2+y21得得2分分;点点A落在落在D2=(x,y)|1x2+y24得得1分分,点点A落在落在D3=(x,y)|
4、x2+y24得得0分分.以以Z记打靶的得分记打靶的得分.写出写出X,Y 的的联合联合概率概率密度函数密度函数,并求并求Z的的分布律分布律.(P.87 题题19)解解X,Y独立独立(X,Y)f(x,y)=fX(x)fY(y)PZ=2=PZ=1PZ=0 Z的分布律为的分布律为Z=1-PZ=2-PZ=1例例2 设设(X,Y)的分布律为的分布律为0 101XYp11p21p12p22验证验证pij=(i，j=1,2)成立成立,独立独立.解解判断判断X与与Y 是否是否相互独立相互独立.(i=1,2,n).设设(X1,X2,Xn)为为n维随机变量维随机变量,其分其分布函数为布函数为F(x1,x2,xn),
5、则则(X1,X2,Xn)关关于于Xi的的边缘分布边缘分布函数为函数为(X,Y)F(x,y)则称则称X1,X2,Xn 相互独立相互独立.定义定义2 设设(X1,X2,Xn)的分布函数为的分布函数为F(x1,x2,xn)=例如例如,同时抛掷同时抛掷n枚骰子枚骰子,记记Xi表示第表示第i枚骰子枚骰子出现的点数出现的点数,i=1,2,n,则则 相互相互独立独立.若对所有的若对所有的x1,x2,xn都有都有三、小结三、小结1.随机变量独立性的定义随机变量独立性的定义注意注意 与事件独立性的联系与事件独立性的联系2.随机变量独立性的两个结论随机变量独立性的两个结论掌握利用独立性进行有关计算掌握利用独立性进行有关计算会判断随机变量的独立性会判断随机变量的独立性F(x,y)=FX(x)FY(y)注意注意 由联合分布可以确定由联合分布可以确定边缘分布边缘分布,但但一般一般地说地说,由由边缘分布不能确定边缘分布不能确定联合分布联合分布.但若但若X,Y相互独立相互独立,则可由则可由边缘分布来确定边缘分布来确定联合分联合分布布.