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1、#*经典易错题会诊与经典易错题会诊与 20122012 届高考试题届高考试题预测预测( (二二) )考点考点-2-2 函数函数 (1)(1) 函数的定义域和值域 函数单调性的应用 函数的奇偶性和周期性的应用 反函数的概念和性质的应用 借助函数单调性求函数最值或证明不等式 综合运用函数奇偶性、周期性、单调性进行命题 反函数与函数性质的综合 经典易错题会诊经典易错题会诊 命题角度 1 函数的定义域和值域函数的定义域和值域 1(典型例题)对定义域 Df、Dg的函数 y=f(x)，y=g(x)，规定：函数 h(x)= gfgfgfDxDxxgDxDxxfDxDxxgxf且当且当且当)()()()(1)
2、若函数 f(x)=11 x,g(x)=x2，写出函数 h(x)的解析式;(2)求问题(1)中函数 h(x)的值域 考场错解考场错解 (1)f(x)的定义域 Df为(-，1)(1，+)，g(x)的定义域 Dg为R.h(x)=) 1(1) 1(11), 1 () 1 ,(12xxxxxx(2)当 x1 时，h(x)=12xx=x-1+11 x+24或 h(x)= 11 x(-，0)(0，+) h(x)的值域为(4，+)，当 x=1 时，h(x)=1综合，得 h(x)的值域为14，+ 专家把脉专家把脉 以上解答有两处错误：一是当 xDf但 xDg时，应是空集而不是x1二是求 h(x)的值域时，由 x
3、1 求 h(x)=x-1+11 x+2 的值域应分 x1 和 x1，则 x-10，h(x)211) 1(xx+2=4当且仅当 x=2 时等号成立若 x1，则 x-12a，B=(2a，a+1),BA，2a1 或 a+1-1即 a21或 a-2 而 a1，21a1 或 a-2 故当 BA 时，实数 a 的取值范围是(-，-2)21，1. 专家把脉专家把脉 由函数的概念知函数的定义域为非空集合，所以错解中 a=1 时 B= ，说 明函数不存在，因此 a=1 不适合 对症下药对症下药 (1)由 2-33 xx0，得11 xx0，x2a，B=(2a，a+1)，BA，2a1 或 a+1-1，即 a21或
4、a-2而 a23 专家把脉专家把脉 求集合 N 时解不等式 1-12 x0 两边同乘以(x-1)不等号不改变方向，不符合不等式性质，应先移项化为)()( xgxf0 的形式再转化为有理不等式，求解，另外定义域不可能为非空集合N= 显然是错误的 对症下药对症下药 (1)由 2x-30，得 x23M=x|x23由 1-12 x0 得 10) 1)(3(013 xxxxxx3 或 x23x|x3 或 x1=x|x3MN=x|x23x|x3 或 x1=x|x23或 x0 Dy|y0 考场错解考场错解 选 A 或 B 专家把脉专家把脉 错误地认为是求函数 y=2-x和 y=1x的定义域的交集实际上是求两
5、函数的值域的交集 对症下药对症下药 集合中的代表元素为 y，两集合表示两函数的值域，又M=y|y=2-x=y|y0，P=y|y=1x=y|y0MP=y|y0，故选 C专家会诊专家会诊 1. 对于含有字母的函数求定义域或已知其定义域求字母参数的取值范围，必须对字母 酌取值情况进行讨论，特别注意定义域不能 为空集。2求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的#*制约作用 考场思维训练考场思维训练 1 若函数 y=lg(4-a2x)的定义域为 R，则实数 a 的取值范围是 ( )A(0，+) B(0，2) C(-，2) D(-，0) 答案：D 解析：4-a. 0, 0 24
6、. 2402aRaRxxx上恒成立在的解集为2 已知函数 f(x)的值域是-2，3，则函数 f(x-2)的值域为 ( )A-4，1 B0,5 C-4，10，5 D-2，3 答案：D 解析：f(x-2)的图象是把 f(x)的图象向右平移 2 个单位.因此 f(x-2)的值域不变. 3 已知函数 f(x)=lg(x2-2mx+m+2)(1)若该函数的定义域为 R，试求实数 m 的取值范围 答案：解析：(1)由题设，得不等式 x2-2mx+m+20 对一切实数 x 恒成立， =（-2m）2-4(m+2)0，g(x)=x2+2(1-a)x-2a0 在-1，1上恒成立即 0) 1(12)1 (2ga 或
7、=4(1-a)2+8a0 或 . 0) 1 (12)1 (2ga#*解得：a故 f(x)在-1，1上不可能为单调函数 专家把脉专家把脉 上面解答认为 f(x)为单调函数,f(x)就只能为单调增函数，其实 f(x)还 有可能为单调减函数，因此应令 f(x)0 或 f(x)0 在-1，1上恒成立 对症下药对症下药 f(x)=ex(x2-2ax)+ex(2x-2a)=exx2+2(1-a)x-2a f(x)在-1，1上是单调函数(1)若 f(x)在-1，1上是单调递增函数 则 f(x)0 在-1，1上恒成立，即 exx2+2(1-a)x-2a0 在-1，1上恒成立ex0g(x)=x2+2(1-a)x
8、-2a0 在-1，1上恒成立，则有 0) 1(11ga或=4(1-a)2+8a0 或 0) 1 (11ga解得，a (2)若 f(x)在-1，1上是单调递减函数， 则 f(x)0 在-1，1上恒成立exx2+2(1-a)x-2a0 在-1，1上恒成立ex0h(x)=x2+2(1-a)x-2a0 在-1，1上恒成立则有.43 043010) 1 (0) 1( aahh当 a43，+时，f(x)在-1，1上是单调函数2(典型例题)已知函数 f(x)=ax+12 xx(a1)(1)证明：函数 f(x)在(-1，+)上为增函数；(2)用反证法证明方程 f(x)=0 没有负数根 考场错解考场错解 (1)
9、设-1x1x2，f(x2)-f(x1)=ax2+ 12 1211122 xxaxxxax2-ax1+12 121122 xx xx0f(x)在(-1，+)上是增函数(2)设 x0为方程 f(x)=0 的负数根，则有 ax0+1200 xx=0即 ax0=1200 xx=-1+130x， x0-1，当-13，-1+ 013 x2，而a1ax0 f(x1)而只是象征性地令 f(x2)-f(x1)0 这是许多学生解这类题的一个通病第(2)问错 在把第(1)问的条件当成第(2)问的条件，因而除了上述证明外，还需证明 x00，又 a1， ax2-x11而-10，x2+10f(x2)-f(x1)0f(x)
10、在(-1，+)上为增函数(2)设 x0为方程 f(x)=0 的负数根，则有 ax0+1200 xx=0即 ax0= 1)1 (3 120000 xx xx-1+.130x显然 x0-1，当 0x0-1 时，1x0+10， 013 x3，-1+ 013 x2而a1-1 的解当 x00 矛盾即不存在 x01 时，x3-ax0 在(-21,0)上不可能成立 专家把脉专家把脉 上面解答根本没有按复合函数单调性法则进行判断，而只是考虑函数的定 义域，这样的答案肯定是错误的 对症下药对症下药 设(x)=x3-ax#*当 0a1 时，依题意,(x)在(-21，0)上单调递减且(x)在(-21，0)上大于 0
11、(x)=3x2-a.即(x)0 在(-21，0)上恒成立a3x2在(-21，0)上恒成立x(-21，0)3x2(0，43).a43此时(x)043a1 时，(x)在(-21，0)上单调递增，(x)=3x2-a0 在(-21，0)上恒成立a3x2在(-21，0)上恒成立又 3x2(0，43)a0 与 a1 矛盾a 的取值范围是43，1.故选 B.专家会诊专家会诊1.讨论函数单调性必须在定义域内进行，因此讨论函数的单调性必须求函数定义域2函数的单调性是对区间而言的，如果 f(x)在区间(a，b)与(c，d)上都是增(减)函 数，不能说 f(x)在(a，b)(c，d)上一定是增(减)函数3设函数 y
12、=f(u)，u=g(x)都是单调函数，那么复合函数 y=fg(x)在其定义域上也是 单调函数若 y=f(u)与 u=g(x)的单调性相同，则复合函数 y=fg(x)是增函数；若 y=f(u)， u=g(x)的单调性相反，则复合函数 y=fg(x)是减函数列出下表以助记忆y=f(u )u=g(x )y=fg(x ) 上述规律可概括为“同性则增，异性则减” 考场思维训练考场思维训练 1 函数 f(x)对任意实数 x 都有 f(x)1,又f(x2)0.f(x1)=f(x1-x2)+x2=f(x1-x2) f(x2)f(x2).f(x)为 R 上的减函数，解不等式 f(x+5)(1 xff(x)0,
13、不等式等价于 f(x+5) f(x)1.即 f(2x+5)f(0),又f(x)为减函数，2x+51 时，要使 f(x)在区间2，4上是减函数，则有： a aa a41810)4(421#*当 0f(cos21)B：sin3cos32f(sin3)f(cos3)C：sin1cos1f(sin1)1loga(x+132)1x+12xa12xa-xaaxa xaxxa210 )(10222或 x+. 解法 2：利用原函数与反函数的定丈域、值域的关系原题等价于 x1 时，f(x)=21(ax-a-x)的值域，f(x)=21(ax-a-x)在 R 上单调递增f(x)21(a-a1)=aa 212选 A.
14、 4.(典型例题)设函数 f(x)的图像关于点(1，2)对称，且存在反函数 f-1(x)，f(4) =0，f-1(4)=_ 考场错解考场错解 填 0 y=f(x)的图像关于点(1，2)对称，又f(4)=0，f(0) =4，f-1(4)=0#* 专家把脉专家把脉 上面解答错在由图像过点(4，0)得到图像过点(4，0)上，因为 f(x)图像 关于点(1，2)对称不是关于 y=x 对称，因此应找出图像过点(-2，4)是关键 对症下药对症下药 填-2解法 1 f(4)=0，f(x)的图像过点(4，0)又f(x)的图像关于点(1，2)对称， f(x)的图像过点 (2-4，4-0)即(-2，4)f(-2)
15、=4f-1(4)=-2 解法 2 设 y=f(x)上任一点 P(x、y)关于点(1，2)对称的点为 P(2-x，4-y)依题意 4-y=f(2-x)，4-f(x)=f(2-x) f(x)+f(2-x)=4令 x=4f(4) +f(-2)=4.又 f(4) =0，f(-2)=4f-1(4)=-2 专家会诊专家会诊1.求反函数时必须注意：(1)由原解析式解出 x=f-1(y)，如求出的 x 不唯一，要根据条 件中 x 的范围决定取舍，只能取一个；(2)要求反函数的定义域，即原函数的值域2分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成3若点(a，b)在原函数 y=f(x)的图像上，则(b，a)
16、在反函数 y=f-1(x)的图像上 考场思维训练考场思维训练 1 函数 y=3x2-1(-1x0)的反函数是 ( )Ay=x3log1(x31)By=-x3log1 (x31)Cy=x3log1 (31x1时，有 f(x2)-f(x1)x2-x1成立，如果k=2，证明：34xxf)(23 解题思路解题思路 (1)用反证法证明；(2)用反证法先证 f(x)x，再运用函数单调性进行放 缩 解答解答 (1)假设 f(x)xf(x)在(0，+)上是增函数，且 f(f(x)=x.f(x)ff(x)xf(x)这与假设矛盾f(x)x 不可能成立同理可证 f(x)x 也是不可能成立的综合，得 f(x)=x.(
17、2)先证 f(x)x，假设存在 x0(0，+)，使得 f(x0)x0，若 f(x0)=x0，则 ff(x0) =f(x0)即 2x0= f(x0)=x0，x0矛盾；若 f(x0)x0，由条件可知 f(x)在(0，+)上是增 函数，且 f(x0)0ff(x0)x因此,fff(x)-ff(x)ff(x)-f(x)f(x)-x即 2f(x)-2x2x-f(x)f(x)-x#*解得34xxf)(23预测角度 2 综合运用函数奇偶性、周期性、单调性进行命题综合运用函数奇偶性、周期性、单调性进行命题 1设 f(x)是定义在-1，1上的偶函数当 x-1，0时，f(x)=g(2-x)，且当 x2,3时，g(x
18、)=2a(x-2)-4(x-2)3，(1)求 f(x)的表达式；(2)是否存在正实数 a(a6)，使函数 f(x)的图像的最高点在直线 y=12 上，若存在， 求出正实数 a 的值；若不存在，请说明理由 解题思路解题思路 (1)运用函数奇偶性和条件 f(x)=g(2-x)可求得 f(x)的解析式(2)利用 导数可求得 f(x)的最大值令最大值等于 12 可知是否存在正实数 a 解答解答 (1)当 x-1，0时，2-x2，3f(x)=g(2-x)=2a(-x)-4(-x)3=4x3-2ax 得 f(x)=4x3-2ax(x-1，0)y=f(x)在-1，1上是偶函数 当 x0，1时，f(x)=f(
19、-x)=-4x3+2axf(x)= . 1024, 012433xaxxxaxx(2)命题条件等价于f(x)max=12，因为 f(x)为偶函数，所以只需考虑 0x1 的情 况求导 f(x)=-12x2+2a(0x1，a6)，由 f(x)=0 得 x=6a或 x=-6a(舍)6a1，当 0x1 时 f(x)0，f(x)在0，1上单调递增，f(x)max=f(1)=12，a=8 综上，存在 a=8 使得 f(x)的图像的最高点在直线 y=12 上 2函数 y=f(x)是偶函数，且是周期为 2 的周期函数，当 x2，3时,f(x)=x-1在 y=f(x)的图像上有两点 A、B，它们的纵坐标相等，横
20、坐标都在区间1，3上，定点 C 的坐 标为(0，a)，(其中 a2)，求ABC 面积的最大值 解题思路解题思路 先利用函数的周期性和奇偶性分别求出 f(x)在0，1和1，2时的解析 式，再利用图象设出 A、b 的坐标，然后以 A、B 的纵坐标作为自变量建立面积函数关系， 借助函数关系式即可求得 SABC的最大值 解答解答 f(x)是以 2 为周期的周期函数，当 x2，3时,f(x)=x-1当 x0，1时，f(x)=f(x+2)=(x+2)-1=x+1又f(x)是偶函数，当 x-1，0时，f(x)=f(-x)=(-x)+1=-x+1；当 x1，2 时f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=-x
21、+3设 A、B 的纵坐标为 t(1t2)，并设 A 在 B 的左边，则 A、B 的横坐标分别为 3-t、t+1，则|AB|=(t+1)-(3 -t)=2t-2，ABC 的面积 S=21(2t-2)(a-t)=-t2+(a+1)t-a=-#*(t-21a)2+4) 1(2a-a当232，即 a3 时，函数 S 在1，2上单调递增，S 有最大值 S(2)=a-2预测角度 3 反函数与函数性质的综合反函数与函数性质的综合 1在 R 上的递减函数 f(x)满足：当且仅当 xMR+函数值 f(x)的集合为0，2且 f(21)=1；又对 M 中的任意 x1、x2都有 f(x1x2)=f(x1)+f(x2)
22、(1)求证：41M，而81M；(2)证明:f(x)在 M 上的反函数 f-1(x)满足 f-1(x1)f-1(x2)=f-1(x1+x2)(3)解不等式 f-1(x2+x)f-1(x+2)41(x0，2) 解题思路解题思路 由给定的函数性质，证明自变量 x 是属于还是不属于集合“，最后利用反 函数的概念、性质证明反函数的一个性质和解反函数的不等式 解答解答 (1)证明：21M，又41=2121,f(21)=1f(41)=f(2121)=f(21)+f(21)=1+1=20，2， 41M，又f(81)=f(2141)=f(21)+f(41)=1+2=30，281M.(2)证明：f(x)在 M 上
23、递减，f(x)在 M 上有反函数 f-1(x)，x0，2任取 x1、x20，2，设 y1=f-1(x1)，y2=f-1(x2)x1=f(y1)，x2=f(y2)(y1，y2M)x1+x2=f(y1)+f(y2)=f(y1y2)，y1y2=f-1(x1+x2)又 y1y2=f-1(x1)f-1(x2)，f-1(x1)f-1(x2)=f-1(x1+x2)(3)f(x)在 M 上递减，f-1(x)在0，2上也递减，f-1(x2+x)f-1(x+2)41等价于 f-1(x2+x+x+2)f-1(2)0202021012. 222, 220, 2022 xxxxxxxxxxx或或 .故不等式的解集为x|
24、x=0. 2已知奇函数 f(x)，偶函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=ax(a0 且 a1). (1) 求证:f(2x)=2f(x)g(x) (2) 设 f(x)的反函数为 f-1(x)，当 a=a-1 时，试比较 f-1g(x)与-1 的大小，并证明#*你的结论 (3) 若 a1，nN*且 n2，比较 f(n)与 nf(1)的大小，并证明你的结论. 解题思路解题思路 先根据函数 f(x)g(x)的奇偶性和 f(x)+g(x)=ax可解出 f(x)g(x)再 借助基本不等式和叠加法证明后两小题. 解答解答 (1)f(x)+g(x)=ax， 又 f(-x)+g(-x)=a-x，而 f(x)
25、是奇函数，g(x)是偶函数，-f(x)+g(x)=ax,f(x)=2xxaa,g(x)=2xxaaf(x)g(x)= 2xxaa2xxaa=422xxaa=21f(2x)(2)01 时，a-a-10 an-1+a-(n-1)2 an-3+a-n(n-3)2 an-1+an-3+a-(n-1)+a-(n-3)0 f(n)-nf(1)0,即 f(n) nf(1) 考点高分解题综合训练考点高分解题综合训练 1 函数 f(x)=x+12x,则其反函数的定义域是 ( )A(-，-1)1，+)B1，+) C-1，0 D-1，0(1，+) 答案：D 解析：反函数的定义域即为原函数的值域，x2-10x1 或
26、x-1,当 x1时，函数 f(x)是单调递增函数，此时值域为（1，+）当 x-1 时，f(x)=x+111 22 xxx为单调递减函数，此时值域为-1，0，故值域为-1，0(1,+ ), 从#*而选 D.2 已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(-x)=-f(x+4)当 x2 时，f(x)单调递增，如 果 x1+x232或 m0|x-a|0|x-a|f(1-a2)求 a 的取值范围； 答案：解析：由牺件可得 .11. 10, 11111122aaaaa解得10 若 f(x)满足：在(0，+)上 f(xy)=f(x)+f(y)，且对 x1，f(x)0 恒成立，求证：#*f(x)存在反函数
27、f-1(x)并比较 f-12ba 与21f-1(a)+f-1(b)的大小 答案：解析：f(x,y)=f(x)+f(x) f(x)=f).()()().()()(yfxfyxfyfyxfyyx设 00,f1(49)=54,不满足条件 f2(x)=4-6x)21(在集合 A 中。#*（2）对于（1）中你认为是集合 A 中的函数 f(x)不等式 f(x)+f(x+2)0 即 a-)21(xx 恒成立，amax,)21(xx 由（1）的结论知当.22max)21(22axxx故时(3)若 f(x)(x1)的反函数 f-1(x)，试求 f-1(a+49). 答案：根据反函数的意义，令. 2)49(. 2
28、).(41, 0294,49 2112afxxxxaaxx或舍去解得得14 已知函数 f(x)=x3+ax+b 定义在区间-1，1上，且 f(0)=f(1)，又 P(x1，y1)， q(x2，y2)是其图像上任意两点(x1x2)(1)求证：f(x)的图像关于点(0，b)成中心对称图形；答案：f(0)=f(1), b=1+a+b,得 a=-1. f(x)=x3-x+b 的图象可由 y=x3-x 的图象向上（或向下）平移 b（或-b ）个单位得到.又 y=x3-x 是奇函数，其图象关于原点成中心对称图形，f(x) 的图象关于点（0，b）成中心对称图形。(2)设直线 PQ 的斜率为 k，求证：|k|2答案：点 P（x1,y1）,Q(x2y2)在 f(x)=x3-x+b 的图象上，k=. 1)()( 212221 212321312121xxxxxxbxxbxx xxyy#*又. 2|1|, 211, 30, 1 , 12122212122212122212121xxxxkxxxxxxxxxxxx从而(3)若 0x1x21，求证：|y1-y2|1答案：0x1x21,且|y1-y2|=2|x1-x2|=-2(x1-x2)+2 +得 2|y1-y2|2.故|y1-y2|1.