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1、#*经典易错题会诊与经典易错题会诊与 2012 届高考试题届高考试题预测预测(四四)考点考点 4 4 数数 列列 经典易错题会诊经典易错题会诊 命题角度 1 数列的概念命题角度 2 等差数列命题角度 3 等比数列命题角度 4 等差与等比数列的综合命题角度 5 数列与解析几何、函数、不等式的综合命题角度 6 数列的应用 探究开放题预测探究开放题预测预测角度 1 数列的概念预测角度 2 等差数列与等比数列预测角度 3 数列的通项与前 n 项和预测角度 4 递推数列与不等式的证明预测角度 5 有关数列的综合性问题预测角度 6 数列的实际应用预测角度 7 数列与图形经典易错题会诊经典易错题会诊 命题角
2、度 1 数列的概念数列的概念 1(典型例题)已知数列an满足 a1=1,an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1,(n2)，则 an的通项 an=_. 考场错解考场错解 an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1，an-1=a1+2a2+3a3+(n-2)an-2，两式相 减得 an-an-1=(n-1)an-1，an=nan-1.由此类推： an-1=(n-1)an-2，a2=2a1，由叠乘法可得an=2! n 专家把脉专家把脉 在求数列的通项公式时向前递推一项时应考虑 n 的范围当 n=1 时，a1=21与已知 a1=1，矛盾 对症下药对症下药 n2 时，an=a1+2a2+3a
3、3+(n-1)an-1 当 n3 时，an-1=a1+2a2+3a3+(n-2)an-2 -得 an-an-1=(n-1)an-1当 n3 时，1nn aa=n，an= 1nn aa 21nn aa 2 2334aaa aa=n43a2=2! na2，a2=a1=1#*当 n2 时，an=2! n. 当 n=1 时，a1=1 故 an= ).2(2!) 1(1nnn2(典型例题)设数列an的前 n 项和为 Sn,Sn=2) 13(1na(对于所有 n1)，且a4=54，则 a1的数值是_. 考场错解考场错解 Sn=2) 13(1na=31)31 (1 na,此数列是等比数列，首项是 a1，公比
4、是 3，由a4=a134-1， a1=2 专家把脉专家把脉 此题不知数列an的类型，并不能套用等比数列的公式而答案一致 是巧合 对症下药对症下药 a4=S4-S3=21a(34-1)-21a(33-1)=54，解得 a1=2 3.(典型例题)已知数列an满足 a1=1，an=3n-1+an-1(n2)(1)求 a2，a3；(2)求通项 an的表达式 考场错解考场错解 (1)a1=1，a2=3+1=4，a3=32+4=13 (2)由已知 an=3n-1+an-1，即an-an-1=3n-1即 an成等差数列，公差 d=3n-1故 an=1+(n-1)3n-1 专家把脉专家把脉 (2)问中 an-
5、an-1=3n-1，3n-1不是常数，它是一个变量，故不符合等差数列 的定义 对症下药对症下药 (1)a1=1，a2=4，a3=32+4=13 (2)由已知 an-an-1=3n-1，故 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=3n-1+3n-2+3+1=213 n .4(典型例题)等差数列an中，a1+a2+a3=-24，a18+a19+a20=78，则此数列前 20 项和等于 ( )A.160 B180 C. 200 D220 考场错解考场错解 由通项公式 an=a1+(n+1)d.将 a2,a3，a18，a19，a20都表示成 a1和 d.求 a1、d，再
6、利用等差数列求和，选 C 专家把脉专家把脉 此方法同样可求得解但解法大繁，花费时间多，计算量大故而出错， 应运用数列的性质求解就简易得多 对症下药对症下药 B 由公式 m+n=2Pam+an=2ap?(只适用等差数列)即可求解由 a1+a2+a3=-24，可得：3a2=-24 由 a18+a19+a20=78，可得：3a19=78 即 a2=-8，a19=26又S20=2)(20201aa =10(a2+a19)=180 2(典型例题)若an是等差数列，首项 a10，a2003+a20040，a2003a20040，则使 前 n 项和 Sn0 成立的最大自然数 n 是 ( )A.4005 B4
7、006 C.4007 D.4008#* 考场错解考场错解 a2004+a20030，即 2a1+2002d+2003d0，(a1+2002d)(a1+2003d)0即使 na1+2) 1( nnd0这样很难求出 a1，d.从而求出最大的自然数 n.故而判断a20030，a20040 专家把脉专家把脉 此题运用等差数列前 n 项的性质及图象中应注意a20030，a20040，a2003+a20040，a2003a20040，且an为等差数列 an表 示首项为正数，公差为负数的单调递减等差数列，且 a2003是绝对值最小的正数，a2004是绝 对值最大的负数(第一个负数)，且|a2003|a200
8、4|在等差数列an中，a2003+a2004=a1+a40060，S4006=2)(400640061aa 0 使 Sn0 成立的最大自然数 n 是 4006 3(典型例题)设无穷等差数列an的前 n 项和为 Sn.()若首项 a1=23，公差 d=1，求满足 Sk2=(Sk)2的正整数 k;()求所有的无穷等差数列an ；使得对于一切正整数中 k 都有 Sk2=(Sk)2成立 考场错解考场错解 (1)当 a1=23,d=1 时，Sn=21n2+n，由 Sk2=(Sk)2得21k4+k2=2 2 21 kk，即k=0 或 k=4 k0故 k=4()由对一切正整数 k 都有 Sk2=(Sk)2
9、成立 即 k2a1+2) 1(22kkd=(ka1+dkk 2) 1( )2即(a1-21a)k2-adk2(k-1)+2dk2(k2-1)-42dk2(k-1)2=0 对切正整数 k 恒成立 故 0, 0, 01211ddaaa求得 a1=0 或 1，d=0 等差数列 an=0,0,0, ，或 an=1，1，1， 专家把脉专家把脉 ()中解法定对一切正整数 k 都成立而不是一切实数故而考虑取 k 的特值也均成立 对症下药对症下药 ()当 a1=23,d=1 时，Sn=na1+.21 2) 1( 23 2) 1(2nnnnndnn由 Sk2=(Sk)2,得21k4+k2=(21k2+k)2，即
10、 k3) 141(k=0.又 k0，所以 k=4()设数列an的公差为 d，则在 Sk2=(Sk)2中分别取 k=1,2,得)2.()2122(2344) 1 ( ,.)(,)(211211224211 dadaaaSSSS即由（1）得 a1=0 或 a1=1. 当 a1=0 时，代入（2）得 d=0 或 d=6.若 a1=0,d=0,则 an=0,sn=0,从而 Sk2=(Sk)2成立；若 a1=0,d=6,则 an=6(n-1),由 S3=18， （S3）2=324,S9=216 知 S9(S3)2，故所得数列不符合题意.当 a1=1 时,代入(2)得 4+6b=(2+d)2解得 d=0
11、或 d=2.若 a1=1,d=0,则 an=1,Sn=n,从而 Sk2=(Sk)2成立；若 a1=1,d=2,则 an=2n-#*1,Sn=1+3+（2n-1）=n2,从而 Sk2=(Sk)2成立.综上,共有 3 个满足条件的无穷等差数列: an：an=0,即 0，0，0，；an:an=1,即 1，1，1，；an:an=2n-1,即 1，3，5，.4.(典型例题)已知数列an的各项都是正数,且满足:a0=1,an+1=21an(4-an),nN.(1)证明 anan+12,nN. (2)求数列an的通项公式 an. 考场错解考场错解 用数学归纳法证明：（1）1当 n=1 时，a0=1,a1=2
12、1a0（4-a0）=23,a0a12,命题正确.2假设 n=k 时有 ak-1ak2.则 n=k+1 时，ak-ak+1=21ak-1(4-ak-1)-21ak(4-ak)=2(ak-1-ak)-21(ak-1-ak)(ak-1+ak)=21(ak-1-ak)(4-ak-1-ak).而 ak-1-ak0. 4-ak-1-ak0,ak-ak-10.又 ak-1=21ak(4-ak)=214-(ak-2)22.n=k+1 时命题正确.由 1、2知，对一切 nN 时有 anan+12.(2)an+1=21an(4-an)=21-(an-2)2+4.2(an+1-2)=-(an-2)2an+1-2=2
13、1(an-2)2令 bn=an-2,bn=-(21)1+2+2n-1nb21又b1=a1-2=-21.bn=-(21)2n+2n-1.即 an=2-(21)2n+2n-1. 专家把脉专家把脉 在（）问中求 bn的通项时，运用叠代法.最后到 b0而不是 b1. 对症下药对症下药 （）同上，方法二：用数学归纳法证明：1当 n=1 时，a0=1,a1=21a0(4-a0)=23,0a0a12;2假设 n=k 时有 ak-1ak2 成立，令 f(x)= 21x(4-x),f(x)在0，2上单调递增，所以由假设有：f(ak-1)f(ak)f(2),即21ak-1(4-ak-1)21ak(4-ak) 21
14、2(4-2),也即当 x=k+1 时 akak+12 成立，所以对一切 nN,有akak+12(2)下面来求数列的通项：an+1=21an(4-an)=21-(an-2)2+4,所以 2（an+1-2）=-(an-2)2令 bn=an-2,则 bn=-2121nb=-21(-2122nb)2=-21(21)2221nb=-（21）1+2+2n-1b2n，又bn=-1,所以 bn=-(21)2n-1,即 an=2+bn=2-(21)2n-1专家会诊专家会诊 1.要善于运用等差数列的性质：“若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq” ；等差数列前 n 项和符 合二次函数特征.借助二次函数性质
15、进#*行数形结合法解等差数列问题. 2.会运用一般与特殊的逻辑思维,利用满足条件的特值求相关参数的值,学会分析问题 和解决问题. 考场思维训练考场思维训练1 在等差数列an中,若 a4+a6+a8+a10+a12=120,则 a9-31a11的值为 ( )A.14 B.15 C.16 D.17 答案： C 分析：略。2 等差数列an中,若其前 n 项的和 Sn=nm,前 m 项的和 Sm=mn(mn,m,nN*),则 ( )A.Sm+n4 B.Sm+n C.Sm+n=4 D.-4Sm+n-2 答案： B 分析：略。3 数列an是公差 d0 的等差数列，其前 n 项和为 Sn,且 a10=1,.
16、21529aa()求an的通项公式； 答案：由已知 a1+9d=1 因为 a29, 0)(, 0,15915921529215aaaaaaa即所以因为 d0,所以 a9+a15=0,即 a1+11d=0 由解得.21,211 1da.26nan所以()求 S 的最大值；答案：解 an=6-, 02n得 n12,所以，数列an前 11，12 和最大，33)21(21112 211121211 SS()将 Sn表示成关于 an的函数. 答案：由 a3321 4)212(23)212(,423,21226222 nnnnnnnaaaaSnnSann所以又得4 在数列an中 a1=31,a2=185,
17、且 log2(3a2-a1)log(3an+1-an),是公差为-1 的等差数列，又 2a2-a1,2a3-a2,，2an+1-an,是等比数列，公比为 q，|q|1,这个等比数列的所有项之和等于31.(1)求数列an的通项公式;#*答案：设 bn=log2(3an+1-an),因为 bn是等差数列，d=-1.b1=log2(3a2-a1)=log2.) 1)(1(1131log)31 1853(112nnb于是即 log2(3an+1-a)=-n,所以 3an+1-an=2-n 设 cn=2an+1-an,cn是等比数列，公比为 q,|q|Rn. 2243)(1) 11 (2 ,622211
18、111112111111nnnnCCCCCCCCnnnDnnnnnnnDnnn时当即.2221nnnnnnRTnn, 4.#*命题角度 4 等差与等比数列的综合等差与等比数列的综合1.(典型例题)已知数列an的前 n 项和 Sn=a2-(21)n-1-b2-(n+1)(21)n-1(n=1,2,),其中 a,b 是非零常数,则存在数列xn、yn使得（ ） A.an=xn+yn,其中xn为等差数列，yn为等比数列 Ban=xn+yn,其中xn和yn都为等差数列 Can=xnyn,其中xn为等差数列，yn为等比数列 Dan=xnyn,其中xn和yn都为等比数列 考场错解考场错解 a2-(21)n-
19、1=xn，b2-(n-1)(21)n-1=yn,又xn,yn成等比数列，故选 D. 专家把脉专家把脉 应从数列an的前 n 项和 Sn的表达式入手，而不能从形式上主观判断. 对症下药对症下药 C. a1=S1=3a an=Sn-Sn-1=a2+(21)n-1-b2-(n+1)(21)n+1-a2+(21)n-2+b2-n(21)n-2=(bn-b-a)(21)n-1 (21)n-1为等比数列,bn-a-b为等差数列.2.(典型例题)已知数列an是首项为 a 且公比 q 不等于 1 的等比数列，Sn是其前 n 项 和，a1,2a7,3a4成等差数列. () 证明 12S3,S6,S12-S6成等
20、比数列; ()求和 Tn=a1+2a4+3a7+na3n-2. 考场错解考场错解 ()由 a1,2a7,3a4 成等差数列.得 4a7=a1+3a4,4aq6=a+3aq3.从而可求 q3=-41,或 q3=1.当 q3=-41时， 36 12SS=161， 6612 SSS=q6=161.故 12S3，S6，S12-S6成等比数列.当q3=1 时, 36 12SS=61， 6612 SSS=q6=1.故 12S3,S6,S12-S6不成等比数列. 专家把脉专家把脉 本题条件中已规定 q1.故应将 q=1 时舍去. 对症下药对症下药 ()证明:由 a1,2a7,3a4成等差数列.得 4a7=a
21、1+3a4,即 4aq6=a+3aq3.变形得(4q3+1)(q3-1)=0,所以 q3=-41或 q3=1(舍去)由36 12SS=,161 1211)1 (121)1 ( 33161 qqqaqqa6612 SSS=11)1 (1)1 (161121612qqaqqaSS1+q6-1=q6=161,得 36 12SS= 6612 SSS.所以 12S3,S6,S12-S6成等比数列. ()解法:Tn=a1+2a4+3a7+na3a-2=a+2aq3+3aq6+naq3(n-2),即 Tn=a+2(-41)a+3(-41)2a+n(-41)n-1a. (-41)3a 得:-41Tn=-41a
22、+2(-41)2a+3(-41)3a+n(-41)na #*-有：45Tn=a+(-41)a+(-41)2a+(-41)3a+(-41)n-1a-n(-41)na= 411411n a-n(-41)na=54a-(54+n)(-41)na.所以Tn= na54 2516 2516(-41)na.3.(典型例题)如图，OBC 的三个顶点坐标分别为（0，0） 、 （1，0） 、 （0，2） ，设 P1为线段 BC 的中点，P2为线段 CO 的中点， P3为线段 OP1的中点，对于每一个正整数 n,Pn+3为线段 PnPn+1的中 点，令 Pn的坐标为（xn,yn）,an=21yn+yn+1+yn+
23、2.()求 a1,a2,a3及 an;()证明 yn+4=1-4ny,nN*,()若记 bn=y4n+4-y4n,nN*,证明bn是等比数列. 考场错解考场错解 （1）y1=y2=y4=1,y3=21,y5=43,可求得 a1=a2=a3=2,由此类推可求得 an=2()将21yn+yn+1+yn+2=2 同除以 2，得 yn+4=,221nnyyyn+4=1-44y.()bn+1=y4n+8-y4n+4=- 41(y4n+4-y4n)=-41bn. nn bb1=- 41.故bn是等比数列. 专家把脉专家把脉 第()问题运用不完全归纳法求出 an的通项.理由不充分,第()问中 nn bb1=
24、- 41.要考虑 b1是否为 0.即 nn bb1有意义才更完整. 对症下药对症下药 ()因为 y1=y2=y4=1,y3=21,y5=43,所以 a1=a2=a3=2.又由题意可知 yn+3=21nnyy.an+1=21yn+1+yn+2+yn+3=21yn+1+yn+2+21nnyy=21yn+yn+1+yn+2=an,an为常数列.an=a1=2,nN*.()将等式21yn+yn+1+yn+2=2 两边除以 2,得 41yn+221nnyy=1,又yn+4=221nnyy,yn+4=1-4ny.()bn+1=y4n+8-y4n+4= 4144ny- 414ny=- 41(y4n+4-y4
25、n)=-41bn,又b1=y8-y4=-#*410,bn是公比为- 41的等比数列.4.(典型例题)在等差数列an中,公差 d0,a2是 a1与 a4的等比中项.已知数列 a1,a3,21,kkaa,akn,成等比数列,求数列kn的通项 kn. 考场错解考场错解 an=a1+(n-1)d,22a=a1a4(a1+d)2=a1(a1+3d).d=a1,an=nd.a1=d.a3=3d. 13 da=3=q.dkankn.11dkankn nnkk kk aann11=q=3.kn是公比为 3 的等比数列.kn=13n-1=3n-1. 专家把脉专家把脉 错因在把 k1当作数列an的首项.k1=1.
26、而实际上 k1=9. 对症下药对症下药 依题设得 an=a1+(n-1)d,22a=a1a4,(a1+d)2=a1(a1+3d),整理得 d2=a1d, d0,d=a1,得 an=nd,所以,由已知得 d,3d,k1d,k2d,kndn是等比数列.由 d0,所以数列 1,3,k1,k2,kn, 也是等比数列,首项为 1,公比为 q=13=3,由此得 k1=9.等比数列kn的首项 k1=9,公比 q=3,所以 kn=9qn-1=3n+1(n=1,2,3,),即得到数列kn的通项kn=3n+1. 专家会诊专家会诊 1.赋值法在解等差、等比数列问题中是常用方法.从而求出系数的值及从中找出规律. 2.
27、等比数列中应注意考虑公比等于 1 的特殊情况,等比数列中的公差为 0 的特殊情况在 解题时往往被忽视. 3 在等差数列与等比数列中,经常要根据条件列方程(组)求解.要注意常两种情形的不 同之处. 考场思维训练考场思维训练 1 已知数列an满足 3an+1+an=4(n1),且 a1=9,其前 n 项之和为 Sn，则满足不等式|Sn-n-6|1251的最小整数 n 是 （ ）A5 B.6 C.7 D.8 答案： C 设. 7,7503,)31(16, 1)31(8,31,81),1 ) 1() 1(3, 1),()(3111是最小整数可化为不等式为公比的等比数列为首项是以则nnSaaaaaann
28、nnnnnnnn 2 已知等差数列an的首项为 a,公差为 b;等比数列bn的首项为 b,公比为 a,其中 a,bN+,且 a1b1a2b2a3. ()求 a 的值; 答案：#*. 2).3(32. 41.122,11112,1 .2,2 aaaaaabababbabbabaababbababaabbaa故时不合题意舍去或()若对于任意 nN+,总存在 mN+，使 am+3=bn,求 b 的值；答案：,2) 1(5,3,2,) 1(21.1nnmnnmbbmbabbbma可得由即 b(2n-1-m+1)=5,b=5. ()在()中，记cn是所有an中满足 am+3=b,mN+的项从小到大依次组
29、成的数列， 又记 Sn为cn的前 n 项和，SnTn(nN+). 答案：由(2)知 an=5n-3,bn=5.2n-1,).(,. 0 121 21 2) 1(1 5 121 21)1 5 121 21) 11(5 121 212 5,3. 9, 2).15(21,3) 12(5, 325, 3253223212222111.1nTSTSnnnnnnnCCCnnnnTSnTSTSnnTnSCbannnnnnnnnnnnnnnnnnm便得综合以上时当3 设函数 f(x)=ax2+bx+c 的图像是以（2，0）为顶点且过点（1，1）的抛物线；数列 an是以 d 为公差的等差数列，且 a1=f(d-
30、1),a3=f(d+1);数列bn是以 q(q0)为公比的等比数列，且 b1=f(q1-1),b3=f(q1+1). 求数列anbn的通项公式； 答案：解设 f(x)=a(x-2)2 过点(1,1),f(x)=(x-2)2122212221323213122132321)33()33()33()31(,33, 0) 3111(:) 11() 11(,)31() 11(341)3(42)3() 1( ,2) 1() 1(,)3() 1( nnnbqbqqqqqqbb qqfbqqfbnadadddddaaddfaddfa又得又得4 知定义在 R 上的函数 f(x)和数列an满足下列条件,a1=a
31、,an=f(an-1)(n=2,3,4,), a2a1,f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)(n=2,3,4,)其中 a 为常数，k 为非零常数.#*(1)令 bn=aa+1-an(nN+),证明：数列bn是等比数列； 答案：证明:由. 0)()()(, 01212232121aakafafaabaab可得的等比数列是一个公比为数列因此时当由题设条件由数学归纳法可证kbkaaaak aaafaf aaa bbnnaabnnnnnnnnnnnnnnnnn,)()()(2,)(011111111(2)求数列an的通项公式； 答案：解;由(1)知,bn=kn-1b1=kn-1(a2-a1
32、)(nN)当 k1 时,b1+b2+bn-1=(a2-a1)2(111 nkkn当 k=1 时,b1+b2+bn+1=(n-1)(a2-a1)(n2).而 b1+b2+bn-1=(a2-a1)+(a3-a2)+(a3-a2)+ +(an-an-1)=an-a1 (n2)所以,当 k1 时 an-a1=(a2-a1)2(111 nkkn.上式对 n=1 也成立.所以,数列an的通项公式为kkaafaann11)(1).2()(1(1)(121naanaaknn时当上式对 n=1 也成立,所以,数列an的通项公式为 an=a+(n+1)(f(a)-a) (nN)(3)当|k|1 时，求nan.li
33、m答案：解:当|k|0 且 ak+1=ln(2-ak)+ak0, 0-3 的取值范围是(-3，+)(答案不唯一，-3 的所有实数均可) 4(典型例题)自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观 上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响用 xn表示某鱼群在第 n 年年初的总量， nN+,且 x10不考虑其他因素，设在第 n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 Xn成正比，死 亡量与 x2n成正比，这些比例系数依次为正常数 a，b，C， ()求 xn+1与 xn的关系式； ()猜测：当且仅当 x1,a，b，c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变?(不 要求证明)()设 a=
34、2，c=1，为保证对任意 x1(0，2)，都有 xn0，nN+，则捕捞强度 b 的最大 允许值是多少?证明你的结论 考场错解考场错解 (1)xn+1 -xn=axn-bxn-cx2n (axn，bxn，cx2n分别为繁殖量、捕捞量，死亡量)()xn=x1(nN+)由()式得 xn(a-b-cxn)=0x1=cba ()x1 (0，2)a=2c=100，所以 ab猜测：当且仅当 ab，且 x1=cba时，每年年初鱼群的总量保持不变()若 b 的值使得 xn0，nN*，由 xn+1=xn(3-b-xn)，nN*，知 00又 因为 xk+1=xk(2- xk)=-(xk-1)2+l10，nN*，则捕
35、捞强度 b 的最大允许值是 1 5(典型例题)假设某市：2004 年新建住房 400 万平方米，其中有 250 万平方米是中 低价房预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8另外， 每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加 50 万平方米那么，到哪一年底， (1)该市历年所建中低价房的累计面积(以 2004 年为累计的第一年)将首次不少于 4750 万平方米? (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85? 考场错解考场错解 (1)an是等差数列 an是中低价房面 积a1=250，d=50Sn=25n2+225n 由 25n2+ 225n4750
36、 即 n10 (2)设几年后新建住房面积 S 为：400(1+8)n 85085bn，有 250+ (n- 1)50400(108)n-1085由计算器解得满足上述不等式的最小正整数 n=6到 2009 年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85 考场思维训练考场思维训练 1. 将正整数排成下表：12 3 45 6 7 8 9 10 1l 12 13 14 15 16 其中排在第 i 行第 j 列的数若记为 aji，则数表中的 2005 应记为_.答案：.6945a 解析：略.#*2.用砖砌墙，第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块，第二层用去了剩下的一半 多一块，
37、依次类推，每一层都用去了上层剩下的砖块的一半多一块，如果到第九层恰 好砖块用完，那么一共用了_块砖 答案：1022 解析：由题意知第九层为)(1022,510,254,126,62,30,14, 6, 2),1(2,017891234567819 快一共用了第八层则有快 aaaaaaaaaaaaxxxnn 3. 已知一列非零向量 an 满足：a1=(x1，y1)，an=(xn，yn)=21=(xn-1-yn-1,xn-1+yn-1)(n2)(1)证明：|an|是等比数列； 答案：)2(22 22()(21 |21212 ) 11211|1 nyxyxyx nnannnnnna;22|0,222
38、121| |1 1的等比数列是比公为且na aaayxnn (2)求向量 an-1与 an的夹角；(n2)答案：4,22 | 21 |21,cos|21)(21)(21),()2(11121 121212111111. 1 nnnnnnn nnnnnnnnnnnnaaaa aaa aaayxyyxyxaa(3)设 a1=(1，2)，把 a1，a2，an，中所有与 a1共线的向量按原来的顺序排成一列， 记为 b1，b2，bn。令 OBn=b1+b2+bn，O 为坐标原点，求点列Bn的极限点 B 的坐 标(注：若点坐标为(tn,sn)，且 limtn=t,limsn=s，则称点 B(t，s)为点列
39、的极限点)答案：由(2)知相邻两向量的来角为4. 4,4而每相隔 4 个向量的两个向量必共线，且方向相反， 与向量 a1 共线的向量为：a1,a5,a9,a13,=b1,b2,b3,b4,bn=),()41()41.(1111134yxaannn)2 , 1 ()41(1n设nOB=(tn,sn)则#*.58)41(112,54lim)41(1 54)41(1)41(1 )41()41()41(1 lim12 snnnnn nntt点列Bn的极限点 B 的坐标为(54，58)4.在一次人才招聘会上，有 A,B 两家公司分别开出他们的工资标准：A 公司允诺第一 年月工资为 1500 元，以后每年
40、月工资比上一年月工资增加 230 元：B 公司允诺第一年月工 资为 2000 元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增 5。设某人年初被 A，B 两 家公司同时录取，试问： (1) 若该人分别在 A 公司或 B 公司连续工作 n 年，则他在第 n 年的月工资收入分别是多 少? 答案：此人在 A、B 公司第 n 年的工资分别为：an=1 500+230(n-1)(nN+) ；bn=2000(1+5)n-1(nN+) (2)该人打算连续在一家公司工作 10 年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准(不计 其他因素)，该人应该选择哪家公司，为什么? 答案：若该在 A 公司连续工作 10 年，则他的
41、工资收入总量为 12(a1+a2+an)304 200 元若该人在 B 公司连续工作 10 年，则他的工资收入总量为 12(b1+b2+bn)301 869 元因为在 A 公司收入的总量高些，因此该人应该选择 A 公司 (3)在 A 公司工作比在 B 公司工作的月工资收入最多可以多多少元?(精确到 1 元)并说 明理由 (已知数据 10510=1629，log1.05 23171，10518=2407) 答案：问题等价于求 cn=an-bn=1 270+230n-2000105n-1(nN+)的最大值，当2 时，cn-cn-1=230-100105n-2当 cn-cn-10，即 230-100
42、105n-1 0 时，105n-24，故使得上式成立的最小 nN*为 5，故最少需要经过 5 年的努力，才能使全县的绿化率达到 60 探究开放题预测探究开放题预测 预测角度 1 数列的概念数列的概念 1定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数， 那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和已知数列an是等和数列，且 a1=2，公和为 5，那么 a18的值为_，这个数列的前 n 项和 Sn 的计算公式为_. 解题思路解题思路 由等和数列的定义可求得 a2、a3、a4由此类推可求出 a18，以及 Sn. 解答解答 由已知得：a1=2，a2=3，a3=2，a4=3
43、，易得 a18=3,sn= 为奇数为偶数nnnn,21 25,252已知数列an满足 a1=0，an+1=an+2n，那么 a2006的值是 ( )A20052003 B20062005C20062 D20062007 解题思路解题思路 由递推公式 an+1，=an+2n，可变形为 an+1-an=2n.且 a1=0采用叠加法即 可求出 an的通项公式 解答解答 an+1=an+2n，an+1-an=2nan-an-1=2(n1)，a3-a2=4，a2-a1=2，由叠加 法可得 an=n(n-1)，故 a2006=20062005故选 B3已知数列an中 a1=1，且 a2k=a2k-1+(一 1)ka2k+1=a2k+3k,其中 k=1，2，3，()求 a3，a5； ()求an的通项公式 解题思路解题思路 用赋值法可求出 a3，a5的值求通项公式只须导出数列后项与前一项的 关系式，再运用累加法即可求解 解答解答 ()a2=a1+(-1)1=0，a3=a2+31=1，a4=a3+(-1)2=4，a5=a4+32=13，所以， a3=3，a5=13