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1、#*经典易错题会诊与经典易错题会诊与 2012 届高考试题届高考试题预测（十五）预测（十五）考点考点 1515 导数及其应用导数及其应用 导数的概念与运算 导数几何意义的运用 导数的应用 利用导数的几何意义 利用导数探讨函数的单调性 利用导数求函数的极值勤最值 经典易错题会诊经典易错题会诊 命题角度命题角度 1 导数的概念与运算导数的概念与运算 1 （典型例题）设 f0(x)=sinx,f1(x)=f0(x),f2(x)=f1(x),fn+1(x)=fn(x),nN,则 f2005(x) ( ) A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx考场错解 选 A 专家把脉 由 f1(x
2、)=f0(x)=(sinx)=cosx,f2(x)=(cosx)=-sinx,f3(x)=(-sinx)=-cosx,f4(x)=(-cosx)=sinx,f2005(x)=f2004(x)=f0(x0=sinx 前面解答思路是正确的，但在归纳时发生了错误。 因 f4(x)=f0(x)=f8(x0=f2004(x),所以 f2005(x)=f1(x)=cosx. 对症下药 选 C 2 （典型例题）已知函数 f(x)在 x=1 处的导数为 3，f（x）的解析式可能为 （ ） Af（x）=(x-1)3+32(x-1) Bf(x)=2x+1 Cf()=2(x-1)2 Df(x)-x+3 考场错解 选
3、 B f(x)=2x+1,f(x)=(2x+1)=2x+1|x=1=3. 专家把脉 上面解答错误原因是导数公式不熟悉，认为（2x+1） =2x+1.正确的是（2x+1） =2,所以 x=1 时的导数是 2，不是 3。 对症下药 选 A f(x)=(x-1)3+3(x-1)f(x)=3(x-1)2+3,当 x=1 时,f(1)=33.(典型例题) 已知 f(3)=2f(3)=-2，则3)(32lim 3xxfxx的值为 （ ）A-4 B0 C8 D不存在考场错解 选 D x3,x-30 3)(32lim 3xxfxx不存在。专家把脉 限不存在是错误的，事实上，求00型的极限要通过将式子变形的可求
4、的。对诊下药 选 C 3)(32lim 3xxfxx=326)3()( 3lim 3xxfxfx#*=323)3()(32lim 3 xfxfx. 8)2(32)3( 323)3()(lim 3fxfxfx4 （05，全国卷）已知函数 f(x)=e-x(cosx+sinx),将满足 f(x)=0 的所有正数 x 从小到大 排成数列； （2）记 Sn是数列xnf(xn)的前项和。求 nlimnSSSn21考场错解 f(x)=e-x(cosx+sinx)+(e-x)(cosx+sinx)=e-x(-sinx+cosx)+e-x(cosx+sinx)=2e-xcosx令 f(x)=0,x=n+2（n
5、=1，2，3，）从而 xn=n+2。f(xn)=e-( n+2)(-1)n )()(1nn xfxf=-e2.数列f(xn)是公比为 q=-e-的等比数列。 专家把脉 上面解答求导过程中出现了错误，即（e-x） =e-x 是错误的，由复合函数的求 导法则知（e-x） =e-x(-x)=-e-x才是正确的。 对诊下药（1）证明：f(x)=(e-x)(cos+sinx)+e-x(cosx+sinx)=-e-x(cosx+sinx)+e-x(-sinx+cos)=-2e-xsinx. 令 f(x)=0 得-2e-xsinx=0，解出 x=n,(n 为整数，从而 xn=n(n=1,2,3,)，f(xn
6、)=(-1)ne-nexfxfnn )()(1,所以数列|f(xn)|是公比 q=-e-的等比数列，且首项 f(x1)=-e-(2)Sn=x1f(x1)+x2f(x2)+xnf(xn) =nq(1+2q+nqn-1)aSn=q(q+2q2+nqn)=q(qqn 11-nqn)从而 Sn=qq 1(qqn 11-nqn)2232221 )1 ()1 ( )1 (2)1 (qqq qnqqq nSSSnnn |q|=e-0 时，f(x)=ln(2x), f(x)=cf(x)= xx1)2(21.5 已知函数 f(x)=ln(x-2)-)0(22 aaax为常数且(1)求导数 f(x) 答案： f(
7、x)=).2(21xax x(2)解不等式:f(x)0答案：令 f(x)=).2(021xax x即.4402 0202 2aaxx axxx的（i）当 a-1 时，x2+2x-a恒成立，x2.(ii)当 a-1 时，02, 02axx的解集为x|x1111axa或当-18 时，11 a2, x11 a.综合得，当 a8 时，f(x)0 的解集为（2，+）.当 a8 时，f(x)0 的解集为（11 a，+）.命题角度命题角度 2 导数几何意义的运用导数几何意义的运用#*1.(典型例题)曲线 y=x3在点(1,1)的切线与 x 轴、直线 x=2 所围成的三角形面积为_. 考场错解 填 2 由曲线
8、 y=x3在点（1，1）的切线斜率为 1，切线方程为 y-1=x-1,y=x.所以三条直线 y=x,x=0,x=2 所围成的三角形面积为 S=2122=2。专家把脉 根据导数的几何意义，曲线在某点处的切线斜率等于函数在这点处的导数，上 面的解答显然是不知道这点，无故得出切线的斜率为 1 显然是错误的。对症下药 填38。f(x)=3x2 当 x=1 时 f(1)=3.由导数的几何意义知，曲线在点（1，1）处的斜率为 3。即切线方程为 y-1=3(x-1) 得 y=3x-2.联立 223 xxy得交点（2，4） 。又 y=3x-2 与 x 轴交于（32，0） 。三条直线所围成的面积为 S=214（
9、2-32）=38。2 （典型例题）设 t0,点 P（t,0）是函数 f(x)=x3+ax 与 g(x)=bx3+c 的图像的一个公共点，两 函数的图像在 P 点处有相同的切线。 （1）用 t 表示 a、b、c； （2）若函数 y=f(x)-g(x)在（-1，3）上单调递减，求 t 的取值范围。 考场错解 （1）函数 f(x)=x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图像的一个公共点 P(t,0).f(t)=g(t)t3+at=bt2+c. 又两函数的图像在点 P 处有相同的切线，f(t)=g(t) 3t3+a=2bt. 由得 b=t,代入得 a=-t2.c=-t3. 专家把脉 上面解答中得 b
10、=t 理由不充足，事实上只由、两式是不可用 t 表示 a、b、c，其实错解在使用两函数有公共点 P，只是利用 f(t)=g(t)是不准确的，准确的结论 应是 f(t)=0，即 t3+at=0，因为 t0,所以 a=-t2. g(t)=0 即 bt2+c=0,所以 c=ab 又因为 f(x)、g(x)在（t,0）处有相同的切线， 所以 f(t)=g;(t).即 3t2+a=2bt, a=-t2, b=t.因此 c=ab=-t2t=-t3. 故 a=-t2,b=t,c=-t3 (2)解法 1 y=f(x)-g(x)=x3-t2x-tx2+t3y=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t). 当
11、y=(3x+t)(x-t)0,则-3t0 故 f(x)在(- ,-1)和(1,+ )上都是增函数。 若 x(-1,1),则 f(x)0 f(x)在(-,-1)与(1，+)上是增函数。 若 x-1,1时，f(x) 0,故 f9x)在-1，1上是减函数。 f(-1)=2 是极大值。f(1)=-2 是极小值。 （2）解：曲线方程为 y=f(x)=x3-3x,点 A（0，16）不在曲线上。设切点 M（x0,y0）,则点 M 在曲线上，y0=x30-3x0.因 f(x0)=3x20-3.故切线的方程为 y-y0=(3x20-3)(x-x0). 点 A（0，16）在曲线上，有 16-（x20-0）=3(x
12、20-1)(0-x0),化简得 x30=-8，得 x0=-2. 专家会诊专家会诊 设函数 y=f(x),在点(x0,y0)处的导数为 f(x0)，则过此点的切线的斜率为 f(x0),在此点处 的切线方程为 y-y0=f(x0)(x-x0).利用导数的这个几何意义可将解析几何的问题转化为代数 问题求解。 考场思维训练考场思维训练 1 曲线 y=2x-x3在点（1，1）处的切线方程为_. 答案： x+y-2=0 解析: y=2-3x2.y|x=1=2-3=-1, 切线方程为 y-1=-(x-1).即 x+y-2=0.2 曲线 y=x3在点（a,a3）(a0)处的切线与 x 轴，直线 x=a 所转成
13、的三角形的面积为61，则 a=_.#*答案：1 解析：曲线在（a,a3）处的切线斜率为 3a2.切线方程为 y-a3=3a2(x-a).且它与 x 轴.x=a 的交点为（0 ,32a） 、 （a,a3）,S=.61 3213aaa4=1,解得 a=1.3 已知函数 f(x)=lnx,g(x)= 21ax2+bx(a0)(1)若 b=2,且 h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间，求 a 的取值范围。答案： b=2 时，h(x)=lnx-21ax2-2x, 则 h(x)=x1-ax-2=-.122xxax函数 h(x)存在单调逆减区间，h(x)0,则 ax2+2x-10 有 x0 的理.
14、当 a0 时，ax2+2x-10 总有0 的解. 当 a0 总有0 的解. 则=4+4a0,且方程 ax2+2x-1=0 至少有一正根，此时-11 时，r(t)0,所以 r(t)在1，+上单调递增，故 r(t)r(1)=0.则 lnttt 1) 1(2.这与矛盾,假设不成立.故 C1在点 M 处的切线与 C2在点 N 处的切线不平行,证法 1 得 (x2+x1)(lnx2-lnx1)=2(x2-x1).因为 x10,所以(112xx)ln(112xx).令 t=12 xx,得(t+1)lnt=2(t-1),t1 令 r(t)=(t+1)lnt-2(t-1),t1,则 r(t)=lnt+t1-1
15、.因为(lnt-t1)=2211ttt-,所以 t1 时,(lnt+t1)0.故 lnt+t1在1,+ 上单调递增.从而 lnt+t1-10,即 r1(t)0.于是 r(t)在1，+上单调递增. 故 r(t)r(1)=0.即（t+1）lnt2(t-1). 与矛盾，假设不成立。 故 C1 在点 M 处的切与 C2 在点 N 处的线不平行.4 已知函数 f(x)=|1-x1|,(x0)(1)证明：01;答案：由 f(a)=f(b)得|1-a1|=|1-b1|.若 1-a1与 1-b1同号，可得 1-a1=1-b1ba 这与 03,函数 f(x)的音调递减 区间为（-，-1） （3，+） （2）令
16、f(x)=0,得 x=-1 或 x=3 当-20;当 x3 时，f(x)3. (2)因为 f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以 f(x)在-1，2因为在（- 1，3）上 f(x)0,所以 f(x)在-1，2上单调递增，又由于 f(x)在-2，-1上单调递减， 因此 f(2)和 f(-1)分别是 f(x)在区间-2，2上的最大值和最小值，于是 22+a=20,解得a=-2. 故 f(x)=-x3+3x2+9x-2,因此,f-1=1+3-9-2=-7 即函数 f(x)在区间-2，2上的最小值为-7。 2 （典型例题）已知函数 f(x)=ax3+3x
17、2-x+1 在 R 上是减函数，求 a 的取值范围。 考场错解 f(x)=3ax2+6x-1,因为 f(x)在 R 上是减函数，所以 f(x)=3ax2+6x-10 时，f(x)是减函数，但反之并不尽然，如 f(x)=-x3是减函数，f(x)=3x2并 不恒小于 0， （x=0 时 f(x)=0）.因此本题应该有 f(x)在 R 上恒小于或等于 0。 对症下药 函数 f(x)的导数：f(x)=3x2+6x-1. 当 f(x)=3ax2+6x-1-3 时，f(x)=3ax2+6x-10 在 R 上至少可解得一个区间，所以当 a-3 时，f(x)是在 R 上 的减函数。 综上，所求 a 的取值范围
18、是（-，-3） 。 3 （典型例题）已知 aR,讨论函数 f(x)=ex(x2+ax+a+1)的极值点的个数。 考场错解 f(x)=ex(x2+ax+a+1)+ex(2x+a)=exx2+(a+2)x+(2a+1).#*令 f(x)=0 得 x2+(a+2)x+(2a+1)=0,(*)=(a+2)2-4(2a+1)=a2-4a. 当 a2-4a0,即 a4 或 a0 即 a4 时,方程 x2+(a+2)x+(2a+1)=0 有两个不同的实根 x1、x2,不妨设 x10;当 xx1时，f(x)0 因此 f(x)无极值。 （3）当0 ,f(x)=exx2+(a+2)x+(2a+1)0,故 f(x)
19、为增函数， 此时 f(x)无极值点，因此，当 a4 或 a1 时，方程 f(x)=0，在e-m-m,e2m-m内有两个实根。 考场错解 令 f(x)0,xln(x+m). mex-x m 取小于或等于 ex-x 的整数。 专家把脉 上面解答对题意理解错误，原题“当 m 为何值时，f(x)0 恒成立” ，并不是 对 x 的一定范围成立。因此，mex-x 这个结果显然是错误的。对症下药 （1）函数 f(x)=x-ln(x+m),x(-m,+ )连续，且 f(x)=1-mx 1,令 f(x)=0,得x=1-m.当-m1-m 时，f(x)0,f(x)为增函数。 根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-
20、m 为极小值，而且对 x(-m,+ )都有 f(x) f(1-m)=1-m，故当 1-m=f(x min)0,即 m1 时，f(x)0.即 m1 且 mZ 时，f(x)0.#*(2)证明：由（1）可知，当整数 m1 时，f(1-m)=1-m0,又 f(x)为连续函数，且当 m1 时，f(e-m-m)与 f(1-m)异号，由所给定理知，存在唯一的x1(e-m-m;1-m),使 f(x1)=0,而当 m1 时，f(e2m-m)=e2m-3m(1+1)2m-3m1+2m+2) 12(2mm-3m0.(m12m-11). 类似地，当整数 m1 时，f(x)=x-ln(x+m)在1-m,e2m-m上为连
21、续增函数，且 f(1-m)与 f(e2m-m) 异号，由所给定理知，存在唯一的 x+（1-m,e2m-m）使 f(x2)=0. 故当整数 m1 时，方程 f(x)=0 在e-m-m,e2m-m内有两个实根。 5 （典型例题）用长为 90cm，宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分 别截去一个小正形，然后把四边翻转 90角，再焊接而成（如图， ）问该容器高为多少时， 容器的容积最大？最大容积是多少？ 考场错解 设容器的高为 x,容器的容积为 V，则 V=（90-2x） （48-2x）x=4x3-276x2+4320x V=12x2-552x+4320=0 得 x1=10,x2=
22、36 又x0,x36 时,V0;1036,V0. 对症下药 设容器的高为 x，容器的容积为 V。 则 V=（90-2x） （48-2x）x=4x3-276x2+4320x (00,1036 时 V0. 所以，当 x=10 时 V 有最大值 V（10）=1960cm3 又 V(0)=0,V(24)=0 所以当 x=10 时,V 有最大值 V（10）=1960。 所以该窗口的高为 10cm，容器的容积最大，最大容积是 1960cm3. 专家会诊 1证函数 f(x)在（a,b）上单调，可以用函数的单调性定义，也可用导数来证明，前者较 繁，后者较易，要注意若 f(x)在（a、b）内个别点上满足 f(x
23、)=0(或不存在但连续)其余 点满足 f(x)0(或 f(x)0，则 f(x)=0 有两个不相等的实 x1和 x2 (x10 时，函数 f(x)在(-，+)上有极值 由 A=4m2-12m-160 得 m4，因此，当 m4 时，Q 是正确的 综上，使 P 正确且 Q 正确时，实数 m 的取值范围为 (-，-1)(4，5)6，+2 已知函数 f(x)=xx 27240,1(1)求 f(x)的单调减区间和值域；X(-,x0)X0(x0+ ) F(x)+0+#*答案：对函数 F(x)求导，得 f(x)=)2()72)(12()2(7164 22xxxxxx 令 f(x)=0 解得 x=21或 x=2
24、7当 x 变化时 f(x)、f(x)的变化情况如下表X0(0, 21)21(21,1)1F(X)-0+-27-4-3所以，当 x(0，21)时 f(x)是减函数； 当 x(21，1)时 f(x)是增函数当 x0，1时 f(x)的值域为-4，3 （2）设 a1,函数 g(x)=x3-3a2x-2a,x0,1若对于任意 x10，1，总存在 x00,1,使 得 g(x0)=f(x1)成立，求 a 的取值范围. 答案：对函数 g(x)求导，得 g(x)=3(x2-a2) 因为 a1 时，当 x(0，1)时，g(x) 0，当 x0 时 f(x)a 时，F(x)0，因此 F(x)在(a，+)上为增函数从而
25、 x=a 时，F(x)有极小值 F(a) 因为 F(a) =0，ba所以 F(b)0即 00，G(x)a，所以 G(b)0，所以 f(x)在(-，a)和(1，+)上为增函数 故当 0o32a)f(x)在0，tta 212 上是减数， 当 x=tta 212 t 时，ymas=f(tta 212 )=33)21 (16tta,当 1t2 时 f(x)=-36(x2-94a2)tta 212 0；0y=0 得 x=x0+ 020020 22 22 xx xxS=21020 22 xx (x20+2) (x00)= 0204044 41 xxxS=41(3x20+4-204x) 令 S=0 得 x0
26、=36又00.当 x0=36时，S 最小。把 x0=36代入得 l 的方程为：26x+3y-8=0.2由原点 O 向三次曲线 y=x3-3ax2（a0）引切线，切于点 P1（x1,y1）(O,P1两点不重合)， 再由 P1引此曲线的切线，切于点 P2（x2,y2） (P1，P2不重合)。如此继续下去，得到点列Pn(xn,yn) (1) 求 x1; (2) 求 xn与 xn+1满足的关系式； (3) 若 a0，试判断 xn与 a 的大小关系并说明理由 解题思路 利用导数的几何意义写出切线方程，再通过切线方程找到 xn、xn+1的递推关系， 通过递推关系求出xn的通项公式，最后按 n 为奇数和偶数
27、两种情况的讨论可得 xn与 a 的 大小关系。 解答 （1）由 y=x3-3ax2,得 y=3x2-6ax 过曲线上点 P1（x1,y1）的切线 L1的斜率为 3x21-6ax1. L1的方程为 y-(x31-3ax21)=(3x21-6ax1)(x-x1). 又L1过原点，故有：-（x31-3ax21）=-x1(3x21-6ax1) 2x31=3ax21, x1=23a(2)过曲线上的点 Pn+1(xn+1,yn+1)的切线方程是 y-(x3n+1-3ax2n+1)=(3x2n+1-6axn+1)(x-xn+1) Ln+1 过曲线上点 Pn(xn,yn). 故 x3n-3ax2n-(x3n+
28、1,-3ax2n+1)=(3x2n+1-6axn+1)(xn-xn+1). 即 x3n-x3n+1-3a(x2n-x2n+1)=(3x2n+1-6axn+1)(xn-xn+1).xn-xn+10, x2n+xnxn+1+x2n+1-3a(xn+xn+1)=3x2n+1-6axn+1. x2n+xnxn+1-2x2n+1-3a(xn+xn+1)=0 (xn-xn+1)(xn+2xn+1-3a)=0.#*xn+2xn+1=3a.(3)由（2）得 xn+1=-axn23 21xn+1-a=-21(xn-a)故数列xn-a是以 x1-a=21a 为首数，公比为-21的等比数列。xn-a=2a(-21)
29、n-1当 n 为偶数时，xn-a=-a(-21)n0. xna.预测角度预测角度 2 2 利用导数探讨函数的单调性利用导数探讨函数的单调性1已知 mR,研究函数 f(x)=xemxmmx63) 1(32的单调区间解题思路 先求 f(x),再令 f(x)0 和 f(x)0,只需 g(x)的正负即可。 （1）当 m=0 时，g(x)=-3x-3. 当 g(x)0 时，x0 当 g(x)-1,f(x)x2,在区间（-，-1）(-m3,+)上，g(x)0,即 f(x)0，f(x)0.f(x)在（-m3，-1）上是增函数。m=3 时，x1=x2. 在区间(-, -1)（-1，+）上 g(x)3 时 x1
30、x2。在区间(-, -1)（-m3，+）上，g(x)0，即 f(x)0.f(x)在（-1，-m3）上是增函数。2. .已知函数 f(x)=axxaxbx222 34234 在 x=1 处取极值，且函数 g(x)= axxaxbx23421 34在区间（a-6,2a-3）内是减函数，求 a 的取值范围。解答 f(x)=x3-bx2-(2+a)x+2a 由 f(1)=0 得 b=1-a.f(x)=x3+(1-a)x2-(2+a)x+2a=(x-1)(x+2)(x-a) 若 a=1 时 f(x)=(x-1)2(x+2). x(-2,1)f(x)0 x(1,+ ),f(x)0. x=1 不是极值点。
31、a1 又 b=1-a.g(x)=x3+(1-a)x2-(a-1)x-a=(x-a)(x2+x+1).当 xx1,试比较 t2+bt+c 与 x1的大小，并加以证明。 解题思路 由 f(x)的单调性可知 x1、x2是 f(x)=0 的两根，x1,x2-x10,x10 t2+bt+cx1. 预测角度 3 利用导数求函数的极值和最值 1已知函数 f(x)=ax3+cx+d(a0)是 R 上奇函数，当 x=-1 时，f(x)取得极值 2。 （1）求 f(x)的单调区间； （2）若对于 x1、x2-1，1，不等式|f(x1)-f(x2)|m，求 m 的最小值。 解题思路 由题设条件易求得 a、b、c 的
32、值。因此由 f(x)0 和 f(x)0，解得 x1 或 x-1，试判断 f(x)在0，1上的单调性； （3）是否存在 a，使得当 x（0，1）时，f(x)有最大值-6。 解题思路（1）利用函数 f(x)的奇偶性可求得 x（0，1）时，f(x)的解析式；（2）可 用导数法判断；（3）分 a-1 和 a-1 两种情况讨论 f(x)的最大值。解答（1）设 x（0，1） ，则-x-1，0，f(-x)=-2ax+21x.f(x)是奇函数，f(x)= 2ax-21x，x（0，1） 。（2）f(x)=2a+32x=2(a+31x),a-1; x(0,1), 31x1a+31x0,即 f(x)0.f(x)在（
33、0，1）上是单调递增的。（3）当 a-1 时，f(x)在（0，1）单调递增，fmax（x）= f(1)=-6。a=-25(不合题意舍去)当 a-1，令 f(x)=0，x=a13#*当 x（-，a13）时，f(x)0x（a13，+）时，f(x)0x=a13时，f(x)有最大值 f（a13） 。令 f(a13)=-6a=-22.此时 x=22（0，1） 。存在 a=-22,使 f(x)在（0，1）上有最大值-6。3已知 f(x)=-x3+ax,其中 aR,g(x)=2123 x,且 f(x)0,x=41.又x(0, 41)时，h(x)0.x=41时，h(x)有最小值 h(41)=-163a0.3
34、已知函数 f(x)=xxalnln在（1，+）上为减函数，则 a 的取值范围为 （ ）A01lnae恒成立，x., 1,eaae ae4 函数 y=2x3-3x2-12x+5 在0，3上的最大值、最小值分别是 （ ） A5，-15 B5，-4 C-4，-15 D5，-16 答案： A 解析：f(x)=6x2-6x-12,令 f(x)=0 即 6x2-6-x-12=0.x2-x-2=0 x=2 或 x=-1,(舍)， 当 x=2 时，y-=-15,x=0 时，y=5 时，y=-4,最大值为 5， 最小值为-15. 5 设 f(x)、g(x)分别是定义在（-，0）（0，+）上的奇函数和偶函数，当
35、x0. g(3)=0. f(3)g(3)=0,又 f(m)g(x)在定义域上单调递增. f(x)g(x)0,f(x)在 R 上为境函数. (2) 当 m9 时，f(x)开口向上且0,说明存在砸锅间使 f(x)0#*当x=1时可得f(x)的极小值f(1)=ln2f(3)=. 4ln3ln43f(21)=-31ln2-ln23=-31ln2-(ln3-ln2)=32ln2-ln3=f(2), ln20, x1,x2同为正数，由11）时，f(t-x) 54 556x恒成立，试求 m 的最大值。答案：当a=59时，f(x)= 59x2-518x+1,f(t-x)= 59（t-x）2518(t-x)+1
36、,f(t-x)536x-54,即59（t-x）2-518(t-x)+154 536x,整理得x2-2(t+1)0,该式在x(1,m)上恒成立. 把x=1,x=m,代和上式得. 40 , 02) 1() 1(22, 02) 1(2) 1(21 t tmtmtt#*t+1-2tttm21当 t=4 时，m 有最大值 9. 12 已知函数 f(x)=-x3-bx2-5cx-2d 在-，0上单调递减，在0，6上单调递增，且方程 f(x)=0 有 3 个实根：m、n、1。 （1）求 f(4)的取值范围。 答案： f(x)=-3x2-2bx-5cf(x)在（-，0）上单调递增，且在0，6上单调递增. 当x
37、=0时，f(x)取最小值。f(0)=0即c=0 f(x)=-x3-2bx=0f(x)=-1-b-2d=0.21bdf(x)=3x2-2bx=0的两个根为x1=0,x2=. 9,32bbb即=-63-15-63-15（-9）=72。 故 f(4)的取值范围是72，+. （2）m2-4mn+n2是否有最小值？若有，求出最小值，若没有，请说明理由。 答案：由于m、n、1是方程f(x)=0的三个根，所以设f(x)=-(x-m)(x-n)(x-1)=-x3+(m+n+1)x2- (m+n+mn)x+mn.与f(x)=-x3-bx2 2d比较系数得 .2,0, 1mndmnnmnmbm2-4mn+n2（m
38、+n）2-6mn=(-b-1)2-6(-2d)=b2+2b+1+12(-.11292)29(92)2()21bb即 m2-4mn+n2有最小值 112.13 一艘渔艇偏激在距岸 9km 处，今需派人送信给距渔艇343km 处的海岸渔站，如果送信人步行每小时 5km，船速每小时 4km，问应在何处登岸再步行可以使抵达渔站的时间最省？ 答案：解：如图所示，设BC为海岸线，A为渔艇停泊处，设D为海岸线上一点，CD=x,只需 将时间t表示为x的函数，即可确定登岸的位置.AB=9，AC=334，BC=.1522 ABAC由A到C所需要时间为t，则t=)150(812)15(41 51xxxt1=, 81
39、2)15(15 51 xx令t1=0,解得x=3.在x(0,3),t10.#*在x=3附近，t1由负到正，因此在x=3处取得极小值，又t(0)=.2087)3(,421)15(,4343tt比较知，t(3)最小. 故在距渔站 3km 处登岸可使抵达渔站的时间最省. 14 函数 y=f(x)在区间（0，+）内可导，导函数 f(x)是减函数，且 f(x)0，设 x0（0，+） ，y=kx+m 是 y=f(x)在点x0,f(x0)得的切线方程，并设函数 g(x)=kx+m; （1）用 x0、f(x0)、f(x0)表示 m; 答案：解：（1）m=f(x0)+x0f(x0). （2）证明：当 x0（0，
40、+）时，g(x)f(x)； 答案：证明：令h(x)=g(x)=f(x). 则h(x)=g(x)=f(x)h(x0)=0, f(x)递减， h(x)递增，因此，xx0时，h(x)0.当 x0，所以 x0是 h(x)唯一的极值点， 且是极小值点，可知 h(x)的最小值为 0，因此，h(x) 0，即 g(x)0是不等式成立的必要条件肥下讨论设此条件成立.X2+1ax+b,即x2-ax+1(1-b)21 。令（x）=ax+b-3223x,于是ax+b3223x对任意x0，+成立的充要条件是（x）0,由(x)=a-31x=0得x=a-3.当00. 所以，当x=a-3时，（x）取最小值，因此，（x）0成立的充要条件是（x）0。即（2b）-21综上，不等式x2+1ax+b对任意3223xx0，+成立的充要条件是（2b）-21 显然，存在a、b使式成立的充要条件是：不等式(2b) -21 2(1-b) 21 有解，解得.422 422因此 b 的取值范围是.422，422，a、b 所满足的关系式为：（2）-21 a2(1-b) -21 .#*