《2023届高考数学专项练习圆锥曲线存在性问题的探究含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023届高考数学专项练习圆锥曲线存在性问题的探究含答案.pdf（37页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023届高考数学专项练习圆锥曲线存在性问题的探究2023届高考数学专项练习圆锥曲线存在性问题的探究【方法技巧与总结】解决存在性问题的技巧：【方法技巧与总结】解决存在性问题的技巧：(1)特殊值(点)法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立(2)假设法：先假设存在，推证满足条件的结论若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在【题型归纳目录】【题型归纳目录】题型一：存在点使向量数量积为定值数学题型二：存在点使斜率之和或之积为定值题型三：存在点使两角度相等题型四：存在点使等式恒成立题型五：存在点使线段关系式为定值【典例例题】题型一
2、：存在点使向量数量积为定值例1.题型一：存在点使向量数量积为定值数学题型二：存在点使斜率之和或之积为定值题型三：存在点使两角度相等题型四：存在点使等式恒成立题型五：存在点使线段关系式为定值【典例例题】题型一：存在点使向量数量积为定值例1.已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，椭圆长轴两个端点间的距离与两个焦点之间的距离的差为 2(2-1)，且椭圆的离心率为22(1)求椭圆C的方程；(2)过点(1,0)作直线l交C于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使MP MQ 为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由例例2.2.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在 x轴上，
3、其左、右焦点分别为 F1，F2，短轴长为2 3点P在椭圆C上，且满足PF1F2的周长为6()求椭圆C的方程；()设过点(-1,0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试问在x轴上是否存在一个定点M，使得MA MB 恒为定值？若存在，求出该定值及点M的坐标；若不存在，请说明理由例例3.3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22，椭圆经过点A-1,22(1)求椭圆C的方程；(2)过点(1,0)作直线l交C于M，N两点，试问：在x轴上是否存在一个定点P，使PM PN 为定值？若存在，求出这个定点P的坐标；若不存在，请说明理由变式变式1.1.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0
4、)的离心率e=22，过右焦点F(c,0)的直线y=x-c与椭圆交于A，B两点，A在第一象限，且|AF|=2(1)求椭圆C的方程；(2)在x轴上是否存在点M，满足对于过点F的任一直线l与椭圆C的两个交点P，Q，都有MP MQ 为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由变式变式2.2.已知F1(-2,0)，F2(2,0)，点P满足|PF1|-|PF2|=2，记点P的轨迹为E，(1)求轨迹E的方程；(2)若直线l过点F2且法向量为n=(a,1)，直线与轨迹E交于P、Q两点过P、Q作y轴的垂线PA、QB，垂足分别为A、B，记|PQ|=|AB|，试确定的取值范围；在x轴上是否存在定点M，无论直线
5、l绕点F2怎样转动，使MP MQ=0恒成立？如果存在，求出定点M；如果不存在，请说明理由变式变式3.3.已知双曲线E:x2a2-y2b2=1的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线x-y+6=0相切()求双曲线E的方程；()已知点F为双曲线E的左焦点，试问在x轴上是否存在一定点M，过点M任意作一条直线l交双曲线E于P，Q两点，使FPFQ 为定值？若存在，求出此定值和所有的定点M的坐标；若不存在，请说明理由题型二：存在点使斜率之和或之积为定值题型二：存在点使斜率之和或之积为定值例例4.4.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P
6、是椭圆上一点，且PF1F2的周长是6，Q(4,0)()求椭圆C的方程；()设直线l经过椭圆的左焦点F1且与椭圆C交于不同的两点M，N，试问：直线QM与直线QN的斜率的和是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由例例5.5.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32，设直线l过椭圆C的上顶点和右顶点，坐标原点O到直线l的距离为2 55()求椭圆C的方程()过点D(3,0)且斜率不为零的直线l交椭圆C于A，B两点，在x轴的正半轴上是否存在定点Q，使得直线AQ，BQ的斜率之积为非零的常数？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由例例6.6.已知椭圆C:x2a2+y2b2
7、=1(ab0)的离心率为22，设直线l过椭圆C的上顶点和右焦点，坐标原点O到直线l的距离为2(1)求椭圆C的方程(2)过点P(8,0)且斜率不为零的直线交椭圆C于M，N两点，在x轴的正半轴上是否存在定点Q，使得直线MQ，NQ的斜率之积为非零的常数？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由变式变式4.4.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)，四点P11,32，P2(0,1)，P31,22，P4-1,32中恰有三点在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)过点(1,0)且斜率不为0的直线l交椭圆C于B，D两点，在x轴上是否存在定点A，使得直线AB的斜率与直线AD的斜率之积为定值？若存在，
8、求出点A的坐标；若不存在，请说明理由变式变式5.5.设椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率是22，过点P(0,1)的动直线L于椭圆相交于A，B两点，当直线L平行于x轴时，直线L被椭圆C截得弦长为2 2()求C的方程；()在y上是否存在与点P不同的定点Q，使得直线AQ和BQ的倾斜角互补？若存在，求Q的坐标；若不存在，说明理由题型三：存在点使两角度相等题型三：存在点使两角度相等例例7.7.已知 F1(-2,0)，F2(2,0)是椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的两个焦点，M 是椭圆 C 上一点，当 MF1F1F2时，有|MF2|=3|MF1|(1)求椭圆C的标准方程；(2
9、)设过椭圆右焦点F2的动直线l与椭圆交于A，B两点，试问在x轴上是否存在与F2不重合的定点T，使得ATF2=BTF2恒成立？若存在，求出定点T的坐标，若不存在，请说明理由例例8.8.在平面直角坐标系xOy内，椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)，离心率为22，右焦点F到右准线的距离为2，直线l过右焦点F且与椭圆E交于A、B两点(1)求椭圆E的标准方程；(2)若直线l与x轴垂直，C为椭圆E上的动点，求CA2+CB2的取值范围；(3)若动直线l与x轴不重合，在x轴上是否存在定点P，使得PF始终平分APB？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由例例9.9.已知椭圆C:x2a2+y2b2=
10、1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P 1,32满足：|PF1|+|PF2|=2a，且SPF1F2=32(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点M(4,0)的直线l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)不同的两点，且y1y20，问在x轴上是否存在定点N，使得直线NA，NB与y轴围成的三角形始终为底边在y轴上的等腰三角形若存在，求定点N的坐标；若不存在，请说明理由变式变式6.6.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12，左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P在椭圆C上，且满足|PF1|=4，|PF1|PF2|-2PF1 PF2=0()求椭圆C的方程；()已知过点
11、(2,0)且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴上是否存在定点Q，使得MQO=NQO若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由题型四：存在点使等式恒成立题型四：存在点使等式恒成立例例10.10.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F2(3,0),A1(-a,0),A2(a,0)，椭圆C上异于顶点的动点P满足直线PA1与PA2的斜率之积为-14(1)求椭圆C的方程(2)过点M(4,0)的直线l与椭圆C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，其中y1y20，点Q(Q与M不重合)在x轴上，直线QA，QB分别与y轴交于S，T，是否存在定点Q，使得|QS|=|QT|恒
12、成立？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由例例11.11.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右顶点为(2,0)，离心率为22(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的左焦点F且斜率为k(k0)的直线l交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点，问椭圆C上是否存在点P，使得OP=OA+OB？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由例例12.12.设F1、F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点，|F1F2|=2，直线l过F1且垂直于x轴，交椭圆C于A、B两点，连接A、B、F2，所组成的三角形为等边三角形()求椭圆C的方程；()过右焦点F2的直线m与椭圆C
13、相交于M、N两点，试问：椭圆C上是否存在点P，使OP=OM+ON 成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由变式变式7.7.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)过点(2 3,-3)，且椭圆的短轴长为4 3()求椭圆C的方程；()已知动直线l过右焦点F，且与椭圆C分别交于M，N两点试问x轴上是否存在定点Q，使得QM QN=-13516恒成立？若存在求出点Q的坐标；若不存在，说明理由变式变式8.8.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F(1,0)，且点-1,22在椭圆C上(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在
14、定点Q，使得QA QB=-716恒成立？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由变式变式9.9.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1的右焦点为F(1,0)，离心率e=33(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点M，使得MA MB=-119恒成立？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由变式变式10.10.已知椭圆x25+y24=1，过右焦点F2的直线l交椭圆于M，N两点(1)若OM ON=-3，求直线l的方程；(2)若直线l的斜率存在，在线段OF2上是否存在点P(a,0)，使得|PM|=|PN|，若存在，求出a的范围，若不存在，
15、请说明理由变式变式11.11.设椭圆C:x2a2+y2=1(a1)的右焦点为F，右顶点为A，已知1|OF|+1|OA|=e|FA|，其中O为坐标原点，e为椭圆的离心率(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y=53上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足PM=NQ？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由变式变式12.12.设椭圆C:x2a2+y2=1(a1)的左焦点为F，左顶点为A，已知1|OF|+1|OA|=e|FA|，其中O为坐标原点，e为椭圆的离心率(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在斜率为-2的直线l，使得当直线l
16、与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y=-53上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足PM=NQ？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由题型五：存在点使线段关系式为定值题型五：存在点使线段关系式为定值例例13.13.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距为2，且经过点P 1,32(1)求椭圆C的方程；(2)经过椭圆右焦点F且斜率为k(k0)的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使|AF|BT|=|BF|AT|恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由例例14.14.椭圆E经过两点 1,22，22，32，过点P的动直线l与椭圆相交于A，B
17、两点(1)求椭圆E的方程；(2)若椭圆E的右焦点是P，其右准线与x轴交于点Q，直线AQ的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，求证：k1+k2=0；(3)设点P(t,0)是椭圆E的长轴上某一点(不为长轴顶点及坐标原点)，是否存在与点P不同的定点Q，使得QAQB=PAPB恒成立？只需写出点Q的坐标，无需证明例例15.15.椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦点到直线x-3y=0的距离为105，离心率为2 55抛物线G:y2=2px(p 0)的焦点与椭圆 E 的焦点重合，斜率为 k 的直线 l 过 G 的焦点与 E 交于 A，B，与 G 交于 C，D(1)求椭圆E及抛物线G的方程；(2)是否存
18、在常数，使得1|AB|+5|CD|为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由变式变式13.13.椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦点到直线x-3y=0的距离为105，离心率为2 55，抛物线G:y2=2px(p 0)的焦点与椭圆 E 的焦点重合；斜率为 k 的直线 l 过 G 的焦点与 E 交于 A，B，与 G 交于 C，D(1)求椭圆E及抛物线G的方程；(2)是否存在常数，使1|AB|+|CD|为常数，若存在，求的值，若不存在，说明理由圆锥曲线存在性问题的探究圆锥曲线存在性问题的探究【方法技巧与总结】【方法技巧与总结】解决存在性问题的技巧：解决存在性问题的技巧：(1)特殊值(点
19、)法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立(2)假设法：先假设存在，推证满足条件的结论若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在【题型归纳目录】【题型归纳目录】题型一：存在点使向量数量积为定值题型一：存在点使向量数量积为定值题型二：存在点使斜率之和或之积为定值题型二：存在点使斜率之和或之积为定值题型三：存在点使两角度相等题型三：存在点使两角度相等题型四：存在点使等式恒成立题型四：存在点使等式恒成立题型五：存在点使线段关系式为定值题型五：存在点使线段关系式为定值【典例例题】【典例例题】题型一：存在点使向量数量积为定值题型一：存
20、在点使向量数量积为定值例例1.1.已知椭圆C的中心在原点，焦点在 x轴上，椭圆长轴两个端点间的距离与两个焦点之间的距离的差为 2(2-1)，且椭圆的离心率为22(1)求椭圆C的方程；(2)过点(1,0)作直线l交C于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使MP MQ 为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由【解析】解：(1)a-c=2-1e=ca=22，可得a=2，b=1，c=1，所求椭圆C的方程为：x22+y2=1(2)当直线l不与x轴重合时，可设直线l的方程为：x=ky+1，联立x2+2y2=2x=ky+1，把消去x可得整理得：(k2+2)y2+2ky-1=0，设
21、P(x1，y1)、Q(x2，y2)，y1+y2=-2kk2+2，y1y2=-1k2+2，假设存在定点M(m,0)，使得MP MQ 为定值，MP MQ=(x1-m,y1)(x2-m,y2)=(x1-m)(x2-m)+y1y2=(ky1+1-m)(ky2+1-m)=(k2+1)y1y2+k(1-m)(y1+y2)+(1-m)2=-(k2+1)k2+2-2k2(1-m)k2+2+(1-m)2=(2m-3)k2-1k2+2+(1-m)2=(2m-3)(k2+2)+(5-4m)k2+2+(1-m)2当且仅当5-4m=0，即m=54时，MP MQ=-716(为定值)这时M54,0，再验证当直线l的倾斜角=
22、0时的情形，此时取P(-2,0)，Q(2,0)，MP=-2-54,0，存在定点M54,0使得对于经过(1,0)点的任意一条直线l均有MP MQ=-716(恒为定值)例例2.2.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在 x轴上，其左、右焦点分别为 F1，F2，短轴长为2 3点P在椭圆C上，且满足PF1F2的周长为6()求椭圆C的方程；()设过点(-1,0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试问在x轴上是否存在一个定点M，使得MA MB 恒为定值？若存在，求出该定值及点M的坐标；若不存在，请说明理由【解析】解：(I)由题意知：2b=2 32a+2c=6a2=b2+c2，解得a=2b=3c=1，椭圆C方程
23、为：x24+y23=1(II)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(m,0)设直线l的方程为：y=k(x+1)(k存在)联立y=k(x+1)3x2+4y2=12，得：(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0，则x1+x2=-8k24k2+3;x1x2=4k2-124k2+3又y1y2=k2(x1+1)(x2+1)=k2(x1x2+x1+x2+1)=k24k2-124k2+3-8k24k2+3+1=-9k24k2+3而MA MB=(x1-m)(x2-m)+y1y2=4k2-124k2+3-m-8k24k2+3-9k24k2+3+m2=4k2-12+8mk2-9k2+m2(4k2+3)4
24、k2+3=(4m2+8m-5)k2+3m2-124k2+3为定值只需4m2+8m-54=3m2-123，解得：m=-118，从而MA MB=-13564当k不存在时，A-1,32,B-1,-32此时，当m=-118时，MA MB=(-1-m)(-1-m)-94=-13564故：存在M-118,0，使得MA MB=-13564例例3.3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22，椭圆经过点A-1,22(1)求椭圆C的方程；(2)过点(1,0)作直线l交C于M，N两点，试问：在x轴上是否存在一个定点P，使PM PN 为定值？若存在，求出这个定点P的坐标；若不存在，请说明理由【解析
25、】解：(1)由题意得e=ca=1-b2a2=22，即b=22a，又椭圆经过点A-1,22，可得1a2+12b2=1，解得a=2，b=c=1，所以椭圆C的方程为x22+y2=1；(2)假设存在符合条件的点P(m,0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则PM=(x1-m，y1)，PN=(x2-m，y2)，PM PN=(x1-m)(x2-m)+y1y2=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x-1)，由y=k(x-1)x2+2y2=2，得(2k2+1)x2-4k2x+(2k2-2)=0，可得0成立，且x1+x2=4k21+2k2，x1x2=2
26、k2-21+2k2，y1y2=k2-(x1+x2)+x1x2+1=-k21+2k2，PM PN=(2m2-4m+1)k2+m2-21+2k2，对于任意的k值，上式为定值，故2m2-4m+1=2(m2-2)，解得：m=54，此时，PM PN=-716为定值；当直线l的斜率不存在时，直线l:x=1，x1x2=1，x1+x2=2，y1y2=-12，由m=54，得PM PN=1-254+2516-12=-716为定值，综合知，符合条件的点P存在，其坐标为54，0变式变式1.1.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=22，过右焦点F(c,0)的直线y=x-c与椭圆交于A，B两点，A在第
27、一象限，且|AF|=2(1)求椭圆C的方程；(2)在x轴上是否存在点M，满足对于过点F的任一直线l与椭圆C的两个交点P，Q，都有MP MQ 为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由【解析】解：(1)直线y=x-c的倾斜角为45，且|AF|=2，点A(c+1,1)，ca=22(c+1)2a2+1b2=1a2=b2+c2，解得：a=3 2b=3c=3，椭圆C的方程为：x218+y29=1(2)设M(m,0)，直线l的方程为：x=ty+3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立方程x=ty+3x218+y29=1，消去x得：(t2+2)y2+6ty-9=0，y1+y2=-6tt2+2，y
28、1y2=-9t2+2，MP=(x1-m，y1)，MQ=(x2-m，y2)，MP MQ=(x1-m)(x2-m)+y1y2=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2=(ty1+3)(ty2+3)-m(ty1+3+ty2+3)+m2+y1y2=t2y1y2+3t(y1+y2)+9-mt(y1+y2)-6m+m2+y1y2=(t2+1)-9t2+2+(3t-mt)-6tt2+2+m2-6m+9=-27t2-9+6mt2t2+2+m2-6m+9令-27t2-9+6mt2t2+2=(6m-27)t2-9t2+2为定值，则6m-271=-92，解得：m=154，此时-27t2-9+6mt2t2+2=(6
29、m-27)t2-9t2+2=-92为定值，MP MQ 也为定值，所以存在M154，0，使得MP MQ 为定值变式变式2.2.已知F1(-2,0)，F2(2,0)，点P满足|PF1|-|PF2|=2，记点P的轨迹为E，(1)求轨迹E的方程；(2)若直线l过点F2且法向量为n=(a,1)，直线与轨迹E交于P、Q两点过P、Q作y轴的垂线PA、QB，垂足分别为A、B，记|PQ|=|AB|，试确定的取值范围；在x轴上是否存在定点M，无论直线l绕点F2怎样转动，使MP MQ=0恒成立？如果存在，求出定点M；如果不存在，请说明理由【解析】解：(1)由|PF1|-|PF2|=20 x1+x2=4a2a2-30
30、 x1x2=4a2+3a2-30解得a23即a(-,-3)(3,+)|PQ|=1+a2|x1-x2|，|AB|=|y1-y2|=|a|x1-x2|由条件n=(a,1)，故x1x2，=|PQ|AB|=1+a2|a|=1+1a2，因为a23，因此 1,233设存在点M(m,0)满足条件，由MP MQ=(x1-m)(x2-m)+y1y2=(a2+1)x1x2-(2a2+m)(x1+x2)+m2+4a2=3-(4m+5)a2a2-3+m2=0，得3(1-m2)+a2(m2-4m-5)=0对任意a23恒成立，所以1-m2=0m2-4m-5=0，解得m=-1，因此存在定点M(-1,0)满足条件变式变式3.
31、3.已知双曲线E:x2a2-y2b2=1的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线x-y+6=0相切()求双曲线E的方程；()已知点F为双曲线E的左焦点，试问在x轴上是否存在一定点M，过点M任意作一条直线l交双曲线E于P，Q两点，使FPFQ 为定值？若存在，求出此定值和所有的定点M的坐标；若不存在，请说明理由【解析】解：()原点到直线x-y+6=0的距离d=62=3，c=2,a=3，b=1，双曲线E的方程为E:x23-y2=1；()解法一：假设存在点M(m,0)满足条件，当直线l方程为y=0时，则P(-3,0),Q(3,0),F(-2,0)，FPFQ=(-3+2,0)(3+2,0)=1
32、；当直线l方程不是y=0时，可设直线l:x=ty+m，(t 3)代入E:x23-y2=1整理得(t2-3)y2+2mty+m2-3=0(t 3)，*由0得m2+t23，设方程*的两个根为y1，y2，满足y1+y2=-2mtt2-3,y1y2=m2-3t2-3，FPFQ=(ty1+m+2,y1)(ty2+m+2,y2)=(t2+1)y1y2+t(m+2)(y1+y2)+(m+2)2=t2-2m2-12m-15t2-3，当且仅当2m2+12m+15=3时，FPFQ 为定值1，解得m=-33，m=-3+3 不满足对任意t 3，0，不合题意，舍去而且m=-3-3 满足0；综上得：过定点M(-3-3,0
33、)任意作一条直线l交双曲线E于P，Q两点，使FPFQ 为定值1解法二：前同解法一，得FPFQ=t2-2m2-12m-15t2-3，由t2-2m2-12m-15t2-3=12m2+12m+15=3，解得m=-33，下同解法一解法三：当直线l不垂直x轴时，设l:y=k(x-m)k33，代入E:x23-y2=1整理得(3k2-1)x2-6mk2x+3(m2k2+1)=0 k33，*由0得m2k2-3k2+10，设方程*的两个根为x1，x2，满足x1+x2=6mk23k2-1,x1x2=3m2k2+33k2-1，FPFQ=(x1+2,k(x1-m)(x2+2,k(x2-m)=(1+k2)x1x2+(2
34、-mk2)(x1+x2)+m2k2+4=(2m2+12m+15)k2-13k2-1，当且仅当2m2+12m+15=3时，FPFQ 为定值1，解得m=-33，不满足对任意K33，0，m=-3+3 不合题意，舍去，而且m=-3-3 满足0；当直线lx轴时，l:x=-3-3 代入E:x23-y2=1得y1,2=3+2 3，FPFQ=(-1-3,y1)(-1-3,y2)=(-1-3)2+y1y2=1；(9分)综上得：(结论同解法一)题型二：存在点使斜率之和或之积为定值题型二：存在点使斜率之和或之积为定值例例4.4.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12，F1，F2分别是椭圆的左、
35、右焦点，P是椭圆上一点，且PF1F2的周长是6，Q(4,0)()求椭圆C的方程；()设直线l经过椭圆的左焦点F1且与椭圆C交于不同的两点M，N，试问：直线QM与直线QN的斜率的和是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由【解析】解：()由椭圆的定义知PF1F2的周长为2a+2c，所以2a+2c=6又因为椭圆C的离心率e=ca=12，所以a=2c，联立解得a=2，c=1，所以b=a2-c2=3，因此椭圆方程为x24+y23=1()设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线方程为x=my-1，联立x24+y23=1，消去x，得(3m2+4)y2-6my-9=0，则y1+y2=6m3m2+4
36、，y1y2=-93m2+4，因为kQM+kQN=y1x1+4+y2x2+4=y1my1+3+y2my2+3=2my1y2+3(y1+y2)m2y1y2+3m(y1+y2)+9=-18m3m2+4+18m3m2+4-9m23m2+4+18m23m2+4+9=0，所以kQM+kQN为定值，这个定值为0，当直线l与x轴重合时，也有kQM+kQN=0，所以直线QM与直线QN的斜率的和为定值0(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，当直线l的斜率k存在时，设直线方程为y=k(x+1)，联立x24+y23=1，消去y得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0，则x1+x2=-8k23+4k2，x
37、1x2=4k2-123+4k2，因为kQM+kQN=y1x1-4+y2x2-4=k(x1-4)(x2-4)+k(x2+1)(x1-4)(x1-4)(x2-4)=2kx1x2-3k(x1+x2)-8kx1x2-4(x1+x2)+16=k8k2-243+4k2+24k23+4k2-84k2-123+4k2+32k23+4k2+160，当直线l与x轴垂直时，有kOM+kON=0，所以直线QM与直线QN的斜率的和为定值0例例5.5.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32，设直线l过椭圆C的上顶点和右顶点，坐标原点O到直线l的距离为2 55()求椭圆C的方程()过点D(3,0)且斜率
38、不为零的直线l交椭圆C于A，B两点，在x轴的正半轴上是否存在定点Q，使得直线AQ，BQ的斜率之积为非零的常数？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由【解析】解：()设椭圆半焦距为c根据题意得，椭圆离心率e=32，即ca=32，所以ba=a2-c2a=1-e2=12因为直线l过椭圆C的上顶点和右顶点，所以设直线l的方程为xa+yb=1，即bx+ay-ab=0，又由点O到直线l的距离为2 55，得aba2+b2=2 55联立解得a=2，b=1，所以椭圆C的方程为x24+y2=1；()依题意可设直线AB的方程为x=my+3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立x24+y2=1x=my+3
39、，消去x，得(4+m2)y2+6my+5=0所以=36m2-45(4+m2)=16m2-800，所以m25，所以y1+y2=-6m4+m2，y1y2=54+m2，则x1+x2=m(y1+y2)+6=244+m2，x1x2=m2y1y2+3m(y1+y2)+9=36-4m24+m2，假设存在定点Q(t，0)(t0)，使得直线AQ，BQ的斜率之积为非零常数，所以kAQkBQ=y1-0 x1-ty2-0 x2-t=y1y2x1x2-t(x1+x2)+t2=54+m2(t2-4)m2+36-24t+4t24+m2=5(t2-4)m2+36-24t+4t2，要使kAQkBQ为非零常数，当且仅当t2-4=
40、036-24t+4t20，解得t=2(负值舍去)当t=2时，常数为536-48+16=54，所以x轴的正半轴上存在定点Q(2,0)，使得直线AQ，BQ的斜率之积为常数54例例6.6.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22，设直线l过椭圆C的上顶点和右焦点，坐标原点O到直线l的距离为2(1)求椭圆C的方程(2)过点P(8,0)且斜率不为零的直线交椭圆C于M，N两点，在x轴的正半轴上是否存在定点Q，使得直线MQ，NQ的斜率之积为非零的常数？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由【解析】解：(1)设椭圆的半焦距为c，根据题意，得ca=22因为l过椭圆C的上顶点和右顶点，所
41、以l的方程为xc+yb=1，即bx+cy-bc=0又由点O到直线l的距离为2，得bcb2+c2=bca=2，所以b=2 2设a=2k，c=2k，则b2=a2-c2=2k2=8，解得k=2，从而a=4，所以椭圆c的方程为x216+y28=1(2)依题意设直线MN的方程为x=my+8，M(x1，y1)，N(x2，y2)联立方程组x216+y28=1,x=my+8,消去x得(m2+2)y2+16my+48=0，=(16m)2-448(m2+2)=64m2-3840，所以y1+y2=-16mm2+2，y1y2=48m2+2，x1+x2=m(y1+y2)+16=-16m2m2+2+16=32m2+2，x
42、1x2=m2y1y2+8m(y1+y2)+64=-16m2+128m2+2假设存在定点Q(t，0)(t0)，使得直线MQ，NQ的斜率之积为非零常数，则kMQkNQ=y1x1-ty2x2-t=y1y2x1x2-t(x1+x2)+t2=48(t2-16)m2+2t2-32t+128要使kMQkNQ为非零常数，当且仅当t2-16=0，即t=4时成立，此时，kMQkNQ=4832-324+128=32，所以x轴的正半轴上存在定点Q(4,0)，使得直线MQ，NQ的斜率之积为常数32变式变式4.4.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)，四点P11,32，P2(0,1)，P31,22，P4-1,32
43、中恰有三点在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)过点(1,0)且斜率不为0的直线l交椭圆C于B，D两点，在x轴上是否存在定点A，使得直线AB的斜率与直线AD的斜率之积为定值？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由【解析】解：(1)由于P1，P4两点关于y轴对称，故由题设可知C经过P1，P4两点，则图象不经过点P3，故P2在椭圆上，b=11a2+34b2=1，解得a2=4，b2=1，故椭圆C的方程为x24+y2=1，(2)由题设知，直线l不能与x轴重合，故可设直线l的方程为x=my+1(mR)，设B(x1，y1)、D(x2，y2)，A(t,0)，直线AB的斜率为k1，直线AD的斜率为k2，
44、由x2+4y2=4x=my+1，得(m2+4)y2+2my-3=0，则=16m2+480则y1+y2=-2mm2+4，y1y2=-3m2+4，k1k2=y1y2(x1-t)(x2-t)=y1y2m2y1y2+m(1-t)(y1+y2)+(1-t)2=-3(t2-4)m2+4(t-1)2，当t2-4=0时，即t=2时，k1k2为定值，k1k2=-34或-112，此时A点的坐标为(2,0)变式变式5.5.设椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率是22，过点P(0,1)的动直线L于椭圆相交于A，B两点，当直线L平行于x轴时，直线L被椭圆C截得弦长为2 2()求C的方程；()在y上是否存在与
45、点P不同的定点Q，使得直线AQ和BQ的倾斜角互补？若存在，求Q的坐标；若不存在，说明理由【解析】解()由已知可得，椭圆经过点(2,1)，因此，解得a=2,b=2，所以椭圆E方程为x24+y22=1；()设Q点的坐标为(0,y0)，当直线l与x轴垂直时，直线AQ与BQ的倾斜角均为90，满足题意，此时y0R，且y01；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx+1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立y=kx+1x24+y22=1，得(1+2k2)x2+4kx-2=0，其判别式0，x1+x2=-4k21+2k2，x1x2=-21+2k2，直线AQ和直线BQ的倾斜角互补，kAQ+kBQ=0
46、，y1-y0 x1+y2-y0 x2=0，即kx1+1-y0 x1+kx2-y0 x2=0，整理得2kx1x2+(1-y0)(x1+x2)=0，把x1+x2=-4k21+2k2，x1x2=-21+2k2代入得k(y0-2)=0，kR，y0=2，即Q(0,2)，综上所述存在与点P不同的定点Q(0,2)满足题意题型三：存在点使两角度相等题型三：存在点使两角度相等例例7.7.已知 F1(-2,0)，F2(2,0)是椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的两个焦点，M 是椭圆 C 上一点，当 MF1F1F2时，有|MF2|=3|MF1|(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过椭圆右焦点F2的动直线
47、l与椭圆交于A，B两点，试问在x轴上是否存在与F2不重合的定点T，使得ATF2=BTF2恒成立？若存在，求出定点T的坐标，若不存在，请说明理由【解析】解：(1)由题意，c=2故a2=b2+4可设点M坐标为(-2,yM)，则4a2+y2Mb2=1，解得|yM|=2b2a，即|MF1|=2b2a2a=|MF2|+|MF1|=4|MF1|=42b2a，解得a2=4b2a2=8，b2=4椭圆C的标准方程为x28+y24=1(2)由题意，假设存在与F2不重合的定点T，使得ATF2=BTF2恒成立，设T(xT，0)，且xT2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则kTA=y1x1-xT，kTB=y2x2-
48、xTATF2=BTF2，kTA+kTB=0，即y1x1-xT+y2x2-xT=0整理，得xT=x1y2+x2y1y1+y2设直线l:x=my+2联立x=my+2x28+y24=1，消去x，整理得(m2+2)y2+4my-4=0y1+y2=-4mm2+2，y1y2=-4m2+2x1y2+x2y1=(my1+2)y2+(my2+2)y1=2my1y2+2(y1+y2)xT=x1y2+x2y1y1+y2=2my1y2+2(y1+y2)y1+y2=2my1y2y1+y2+2=2m-4m2+2-4mm2+2+2=2m1m+2=4存在与F2不重合的定点T，使得ATF2=BTF2恒成立，且点T坐标为(4,0
49、)例例8.8.在平面直角坐标系xOy内，椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)，离心率为22，右焦点F到右准线的距离为2，直线l过右焦点F且与椭圆E交于A、B两点(1)求椭圆E的标准方程；(2)若直线l与x轴垂直，C为椭圆E上的动点，求CA2+CB2的取值范围；(3)若动直线l与x轴不重合，在x轴上是否存在定点P，使得PF始终平分APB？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【解析】解：(1)由题意得：e=ca=22a2c-c=2 ，得a=2 2，c=2，(2分)a2=b2+c2，b2=4，椭圆的标准方程为：x28+y24=1(4分)(2)当直线AB与x轴垂直时，A(2,2)，B(2
50、,-2)，设点C(x0，y0)，则CA2+CB2=(x0-2)2+(y0-2)2+(x0-2)2+(y0+2)2=2x20+2y20-8x0+12，又点C在椭圆上，x028+y024=1，消去y0得CA2+CB2=x02-8x0+20，x0-2 2,2 2，CA2+CB2得取值范围为28-16 2，28+16 2(8分)(3)假设在x轴上存在点P满足题意，不妨设P(t,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线AB的方程为：x=my+2，联列x28+y24=1，消去x得(m2+2)y2+4my-4=0，则y1+y2=-4mm2+2，y1y2=-4m2+2，(12分)由PF平分APB知：