《2023届高考数学专项练习圆锥曲线与向量的交汇含答案、.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023届高考数学专项练习圆锥曲线与向量的交汇含答案、.pdf（33页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023届高考数学专项练习圆锥曲线与向量的交汇2023届高考数学专项练习圆锥曲线与向量的交汇一、考情分析一、考情分析平面向量与圆锥曲线的交汇是高考命题的一个显著特征,这类试题的常规形式是用向量形式给出某些条件或结论,其难点往往不在向量上,对向量部分只需运用向量基础知识即可实现相应转化.平面向量作为工具可以处理圆锥曲线中的长度、角度、共线、垂直、射影等许多问题,使得这类问题成为高考命题的一个热点,且时常出现在解答题中.二、解题秘籍(一)圆锥曲线中常见的向量条件及求解圆锥曲线与向量问题的策略二、解题秘籍(一)圆锥曲线中常见的向量条件及求解圆锥曲线与向量问题的策略1.设u为直线l的方向向量,若u=1
2、,k,则l斜率为k；若u=m.n(m0),则l斜率为nm；2.A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则A、B、C共线:AB=AC;OC=OA+OB 且+=1;OC=(OA+OB)/(1+)；AB AC.3.A、B、C 是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则 C 为线段 AB 的中点:AC=CB;OC=12(OA+OB).4.在四边形 ABCD 中,若 AB AC=0,则 AB AC;若 AB+AD=AB-AD,则 AB AD;若 AB AC=AD AC,则ACBD.5.圆锥曲线中涉及向量相等,通常利用横坐标或纵坐标相等进行转化,涉及向量共线问题,通项利用非零向量a=x1,y1,
3、b=x2,y2共线x1y2-x2y1=0转化,涉及向量的数量积,通常利用数量积的坐标运算进行转化.6.圆锥曲线中两直线垂直问题,通常转化为两直线的方向向量的数量积为零,这样做可避免讨论直线的斜率是否存在.7.圆锥曲线中涉及数量积问题,通常利用数量积的坐标运算把所给条件转化为关于横(纵)坐标的表达式.【例1】【例1】(2023届黑龙江省鸡西市鸡东县高三上学期月考)(2023届黑龙江省鸡西市鸡东县高三上学期月考)已知两点M 0,-4,N 0,4,动点P在x轴的投影为Q,且PM PN=3PQ 2,记动点P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程.(2)过点F 2 6,0的直线与曲线C在y轴右侧相交于A,B两
4、点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点H,试问ABFH是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由.(二二)把点共线问题转化为向量共线把点共线问题转化为向量共线此类问题通常是把点A,B,C共线转化为AB=BC,或点C在直线AB上.【例【例2 2】(20222022届新疆昌吉教育体系高三上学期诊断届新疆昌吉教育体系高三上学期诊断)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左 右顶点分別为A1,A2,右焦点为F(1,0),且椭圆C的离心率为12,M,N为椭圆C上任意两点,点P的坐标为(4,t)(t0),且满足A1M=1MP,A2N=2NP.(1)求椭圆C的方程；(2)证明：M,F,N三点共
5、线.(三三)利用向量共线求双变量的关系式利用向量共线求双变量的关系式此类问题一般是给出形如b=a,d=c的条件,确定关于,的等式,求解思路是利用两向量相等横坐标与纵坐标分别相等(注意一般情况下横坐标相等与纵坐标相等,使用一个即可,解题时哪一个简单使用哪一个),把,用其他变量(若点的横坐标或纵坐标)表示,再利用题中条件消去其他变量.【例【例3 3】(20232023届甘肃省张掖市高三上学期检测届甘肃省张掖市高三上学期检测)椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1 ab0,过椭圆左焦点F1且垂直于x轴的直线在第二象限与椭圆相交于点 P,椭圆的右焦点为F2,已知tanPF2F1=312,椭圆过点A3,1
6、2(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右焦点F2作直线l交椭圆C于A、B两点,交y轴于M点,若MA=1AF2,MB=2BF2,求证：1+2为定值(四四)利用向量加法的几何意义构造平行四边形利用向量加法的几何意义构造平行四边形若点A,B,C.D满足AB+AD=AC,则四边形ABCD是平行四边形,涉及圆锥曲线中的平行四边形要注意对边长度相等、斜率相等,两对角线中点为同一个点等条件的应用.【例【例4 4】(20232023 届四川省广安市岳池县高三上学期届四川省广安市岳池县高三上学期 1010 月月考月月考)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)经过点M3,12,左焦点F1-3,0
7、.(1)求椭圆C的方程；(2)过点D 0,3作直线l与椭圆C交于A,B两点,点N满足ON=OA+OB(O为原点),求四边形OANB面积的最大值.(五五)把向量的数量积转化为代数式把向量的数量积转化为代数式若圆锥曲线问题有用向量数量积给出的条件,通常是利用向量数量积的坐标运算进行转化.【例【例5 5】(20232023 届广东省荔湾区高三上学期届广东省荔湾区高三上学期 1010 月调研月调研)已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a b 0)的右焦点为F 2,0,O为坐标原点,双曲线C的两条渐近线的夹角为3(1)求双曲线C的方程；(2)过点F作直线l交C于P,Q两点,在x轴上是否存在定点M,使
8、MP MQ 为定值？若存在,求出定点M的坐标及这个定值；若不存在,说明理由(六六)把垂直问题转化为向量的数量积为零把垂直问题转化为向量的数量积为零求解圆锥曲线中的垂直问题,通常可转化为向量的数量积为零,然后利用向量数量积的坐标运算进行转化,这种转化可避免讨论直线的斜率是否存在.【例【例6 6】已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为 F,椭圆C上的点到 F的距离的最大值和最小值分别为2+3 和2-3(1)求椭圆C的标准方程；(2)若圆O:x2+y2=r2的切线l与椭圆C交于A,B两点,是否存在正数r,使得OAOB？若存在,求出r的值；若不存在,请说明理由三、三、跟踪检测跟踪检测
9、1.(20232023 届重庆市第八中学校高三上学期月考届重庆市第八中学校高三上学期月考)已知双曲线 E：x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)一个顶点为A-2,0,直线l过点Q 3,0交双曲线右支于M,N两点,记AMN,AOM,AON的面积分别为S,S1,S2.当l与x轴垂直时,S1的值为152.(1)求双曲线E的标准方程；(2)若l交y轴于点P,PM=MQ,PN=NQ,求证：+为定值；(3)在(2)的条件下,若1625S=S1+mS2,当5b 0)的离心率为32,短轴长为4(1)求椭圆C的方程；(2)若过点P 0,1的直线交椭圆C于A,B两点,求OA OB 的取值范围4.(2023202
10、3届江苏省南通市如皋市高三上学期届江苏省南通市如皋市高三上学期9 9月诊断测试月诊断测试)已知点B、A分别是椭圆:x24+y23=1的左、右顶点,过的右焦点F作直线l交于M,N两点,(1)设直线AM,AN,BM的斜率分别为k1,k2,k3,求k1k2和k2k3的值；(2)若直线AM,AN分别交椭圆的右准线于P,Q两点,证明：以PQ为直径的圆经过定点.5.(20232023 届湖南省部分校高三上学期届湖南省部分校高三上学期 9 9 月月考月月考)已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为62,点A 6,4在C上.(1)求双曲线C的方程.(2)设过点B 1,0的直线l与双曲线C
11、交于D,E两点,问在x轴上是否存在定点P,使得PD PE 为常数？若存在,求出点P的坐标以及该常数的值；若不存在,请说明理由.6.(20232023 届广东省茂名市高三上学期届广东省茂名市高三上学期 9 9 月联考月联考)如图,平面直角坐标系 xOy 中,点 Q 为 x 轴上的一个动点,动点P满足 PO=PQ=32,又点E满足PE=12EQ.(1)求动点E的轨迹的方程；(2)过曲线上的点A x0,y0(x0y00)的直线l与x,y轴的交点分别为M和N,且NA=2AM,过原点O的直线与l平行,且与曲线交于B、D两点,求ABD面积的最大值.7.(20232023 届福建师范大学附属中学高三上学期月
12、考届福建师范大学附属中学高三上学期月考)在平面直角坐标系 xOy 中,设点 P-13,0,Q13,0,点G与P,Q两点的距离之和为43,N为一动点,点N满足向量关系式：GN+GP+GQ=0(1)求点N的轨迹方程C；(2)设C与x轴交于点A,B(A在B的左侧),点M为C上一动点(且不与A,B重合)设直线AM,x轴与直线x=4分别交于点R,S,取E(1,0),连接ER,证明：ER为MES的角平分线8.(20232023届山西省山西大学附属中学校高三上学期届山西省山西大学附属中学校高三上学期9 9月诊断月诊断)如图,椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0),|A1B1|=7,F1是椭圆C的左焦点,A
13、1是椭圆C的左顶点,B1是椭圆C的上顶点,且A1F1=F1O,点P(n,0)(n0)是长轴上的任一定点,过P点的任一直线l交椭圆C于A,B两点.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在定点Q(x0,0),使得QA QB 为定值,若存在,试求出定点Q的坐标,并求出此定值；若不存在,请说明理由.9.(20232023届北京市第四中学高三上学期开学测试届北京市第四中学高三上学期开学测试)已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆C过点 1,32,离心率为32,点A为其右顶点.过点B 1,0作直线l与椭圆C相交于E、F两点,直线AE、AF与直线x=3分别交于点M、N.(1)求椭圆C的方程；(2)求EM FN 的取
14、值范围.10.(20232023届湖北省“宜荆荆恩”高三上学期考试届湖北省“宜荆荆恩”高三上学期考试)已知双曲线C与双曲线x212-y23=1有相同的渐近线,且过点A(2 2,-1).(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知D(2,0),E,F是双曲线C上不同于D的两点,且DE DF=0,DGEF于G,证明：存在定点H,使|GH|为定值.11.(20232023 届四川省达州市开江县高三上学期考试届四川省达州市开江县高三上学期考试)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)，F1、F2为椭圆 C 的左、右焦点,过点F1的任意直线l交椭圆C于A、B两点,且ABF2的周长为8,椭圆C的离心率
15、为12.(1)椭圆C的方程；(2)若P为椭圆C上的任一点,PM、PN为过焦点F1、F2的弦,且PF1=1F1M，PF2=2F2N,求1+2的值.12.(20222022 届上海市普陀区高三一模届上海市普陀区高三一模)已知点 M x,y与定点 F 1,0的距离是点 M 到直线 x-2=0 距离的22倍,设点M的轨迹为曲线,直线l:x+my+1=0 mR R与交于A、B两点,点C是线段AB的中点,P、Q是上关于原点O对称的两点,且PO=OC 0.(1)求曲线的方程；(2)当=3 时,求直线l的方程；(3)当四边形PAQB的面积S=6 时,求的值.13.(20222022届内蒙古赤峰市高三上学期届内
16、蒙古赤峰市高三上学期1111月联考月联考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的焦点恰为椭圆D:x24+y23=1长轴的端点,且C的短轴长为2(1)求椭圆C的方程(2)若直线l与直线y=2x-1平行,且l与C交于A,B两点,M 1,0,求MA MB 的最小值14.(20222022届辽宁省大连市高三上学期期中届辽宁省大连市高三上学期期中)在平面直角坐标系xOy中,点D,E的坐标分别为-2,0,2,0,P是动点,且直线DP与EP的斜率之积等于-14.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)已知直线y=kx+m与椭圆：x24+y2=1相交于A,B两点,与y轴交于点M,若存在m使得OA+3OB=4
17、OM,求m的取值范围.15.(20222022届河北省邢台市“五岳联盟”部分重点学校高三上学期届河北省邢台市“五岳联盟”部分重点学校高三上学期 1212月联考月联考)已知点F1,F2是已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右焦点,点 P 在椭圆上,当 PF1F2=3时,PF1F2面积达到最大,且最大值为3.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过F2的直线与椭圆C交于A,B两点,且两点与左右顶点不重合,若F1M=F1A+F1B,求四边形AMBF1面积的取值范围.16.(20222022届四川省成都市高三上学期期中届四川省成都市高三上学期期中)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0
18、)的左顶点为A,右焦点为F,过点A作斜率为33的直线与C相交于A,B,且以AO为直径的圆过点B,其中O为坐标原点.(1)求椭圆的离心率e；(2)若b=1,过点F作与直线AB平行的直线l,l与椭圆C相交于P,Q两点.求kOPkOQ的值；点M满足2OM=OP,直线MQ与椭圆的另一个交点为N,求NMNQ的值.17.(20222022 届广东省江门市高三上学期届广东省江门市高三上学期 1010 月月考月月考)设 i,j分别是平面直角坐标系中 x,y 轴正方向上的单位向量,若向量a=(x+2)i+yj,b=(x-2)i+yj,且 a+b=8,其中x,yR.(1)求动点M(x,y)的轨迹E的方程；(2)过
19、点(3,0)作直线l与轨迹E交于A,B两点,设OP=OA+OB,是否存在直线l,使得四边形OAPB是矩形？若存在,求出直线l的方程；若不存在,试说明理由.18.过双曲线：x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点F1的动直线l与的左支交于A,B两点,设的右焦点为F2.(1)若ABF2是边长为4的正三角形,求此时的标准方程；(2)若存在直线l,使得AF2BF2,求的离心率的取值范围.圆锥曲线与向量的交汇圆锥曲线与向量的交汇一、一、考情分析考情分析平面向量与圆锥曲线的交汇是高考命题的一个显著特征,这类试题的常规形式是用向量形式给出某些条件或结论,其难点往往不在向量上,对向量部分只需运用向量基础知
20、识即可实现相应转化.平面向量作为工具可以处理圆锥曲线中的长度、角度、共线、垂直、射影等许多问题,使得这类问题成为高考命题的一个热点,且时常出现在解答题中.二、二、解题秘籍解题秘籍(一一)圆锥曲线中常见的向量条件及求解圆锥曲线与向量问题的策略圆锥曲线中常见的向量条件及求解圆锥曲线与向量问题的策略1.设u为直线l的方向向量,若u=1,k,则l斜率为k；若u=m.n(m0),则l斜率为nm；2.A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则A、B、C共线:AB=AC;OC=OA+OB 且+=1;OC=(OA+OB)/(1+)；AB AC.3.A、B、C 是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,
21、则 C 为线段 AB 的中点:AC=CB;OC=12(OA+OB).4.在四边形 ABCD 中,若 AB AC=0,则 AB AC;若 AB+AD=AB-AD,则 AB AD;若 AB AC=AD AC,则ACBD.5.圆锥曲线中涉及向量相等,通常利用横坐标或纵坐标相等进行转化,涉及向量共线问题,通项利用非零向量a=x1,y1,b=x2,y2共线x1y2-x2y1=0转化,涉及向量的数量积,通常利用数量积的坐标运算进行转化.6.圆锥曲线中两直线垂直问题,通常转化为两直线的方向向量的数量积为零,这样做可避免讨论直线的斜率是否存在.7.圆锥曲线中涉及数量积问题,通常利用数量积的坐标运算把所给条件转
22、化为关于横(纵)坐标的表达式.【例【例1 1】(20232023届黑龙江省鸡西市鸡东县高三上学期月考届黑龙江省鸡西市鸡东县高三上学期月考)已知两点M 0,-4,N 0,4,动点P在x轴的投影为Q,且PM PN=3PQ 2,记动点P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程.(2)过点F 2 6,0的直线与曲线C在y轴右侧相交于A,B两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点H,试问ABFH是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由.【解析】(1)设P x,y,则Q x,0,PM=-x,-4-y,PN=-x,4-y,PQ=0,-y.因为PM PN=3PQ 2,所以x2+y2-16=3y2,故C的方程为
23、x216-y28=1.(2)由题可知直线AB的斜率一定存在,且不为0,不妨设直线AB的方程为y=k x-2 6,A x1,y1,B x2,y2.联立方程组y=k(x-2 6)x216-y28=1,消去y整理得 1-2k2x2+8 6k2x-48k2-16=0,则=384k4+1-2k2192k2+640 x1+x2=-8 6k21-2k20 x1x2=-48k2-161-2k20,整理得k212.x1+x22=-4 6k21-2k2,y1+y22=-2 6k1-2k2,则线段AB的垂直平分线的方程为y+2 6k1-2k2=-1kx+4 6k21-2k2,令y=0,得x=-6 6k21-2k2,
24、则H-6 6k21-2k2,0,FH=2 6+6 6k21-2k2=2 6 1+k21-2k2.AB=1+k2x1+x22-4x1x2=1+k2-8 6k21-2k22-4-48k2-161-2k2=1+k2384k41-2k22+192k2+641-2k21-2k22=8 1+k21-2k2则ABFH=82 6=2 63.故ABFH是定值,该定值为2 63.(二二)把点共线问题转化为向量共线把点共线问题转化为向量共线此类问题通常是把点A,B,C共线转化为AB=BC,或点C在直线AB上.【例【例2 2】(20222022届新疆昌吉教育体系高三上学期诊断届新疆昌吉教育体系高三上学期诊断)已知椭圆
25、C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左 右顶点分別为A1,A2,右焦点为F(1,0),且椭圆C的离心率为12,M,N为椭圆C上任意两点,点P的坐标为(4,t)(t0),且满足A1M=1MP,A2N=2NP.(1)求椭圆C的方程；(2)证明：M,F,N三点共线.【解析】(1)椭圆C的右焦点为F(1,0),且离心率为12,a=2,c=1,则b2=a2-c2=3,椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)由(1)知,A1,A2的坐标分别为(-2,0),(2,0),设M x1,y1,N x2,y2,A1M=(x1+2,y1),A1P=(6,t),A2N=(x2-2,y2),A2P=(2,t),A1M=
26、1MP,A2N=2NP,A1,M,P三点共线,A2,N,P三点共线,即6y1=t x1+22y2=t x2-2,整理得3y1y2=x1+2x2-2,两边平方得9y21y22=x1+22x2-22,又M,N在椭圆上,则y21=3-34x21y22=3-34x22,代入并化简得2x1x2-5 x1+x2+8=0,又FM=(x1-1,y1),FN=(x2-1,y2),要证M,F,N三点共线,只需证y2x1-1=y1x2-1,即y1y2=x1-1x2-1,只需证x1+23 x2-2=x1-1x2-1,整理得2x1x2-5 x1+x2+8=0,M,F,N三点共线.(三三)利用向量共线求双变量的关系式利用
27、向量共线求双变量的关系式此类问题一般是给出形如b=a,d=c的条件,确定关于,的等式,求解思路是利用两向量相等横坐标与纵坐标分别相等(注意一般情况下横坐标相等与纵坐标相等,使用一个即可,解题时哪一个简单使用哪一个),把,用其他变量(若点的横坐标或纵坐标)表示,再利用题中条件消去其他变量.【例【例3 3】(20232023届甘肃省张掖市高三上学期检测届甘肃省张掖市高三上学期检测)椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1 ab0,过椭圆左焦点F1且垂直于x轴的直线在第二象限与椭圆相交于点 P,椭圆的右焦点为F2,已知tanPF2F1=312,椭圆过点A3,12(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的
28、右焦点F2作直线l交椭圆C于A、B两点,交y轴于M点,若MA=1AF2,MB=2BF2,求证：1+2为定值【解析】(1)依题可知：PF1=b2a,tanPF2F1=b2a2c=a2-c22ac=312,所以12a2-12c2=2 3ac,即6ca2+3ca-6=0,解得ca=32又椭圆C过点A3,12,则3a2+14b2=1联立a2=b2+c2ca=323a2+14b2=1可得a=2b=1c=3,椭圆C的标准方程为x24+y2=1(2)设点A x1,y1、B x2,y2,F3,0,由题意可知,直线l的斜率存在,可设直线l的方程为y=k x-3,联立y=k x-3x24+y2=1,可得 4k2+
29、1x2-8 3k2x+12k2-4=0,由于点F2在椭圆C的内部,直线l与椭圆C必有两个交点,由韦达定理可得x1+x2=8 3k24k2+1,x1x2=12k2-44k2+1,MA=1AF2,MB=2BF2,M 0,y0,得 x1,y1-y0=13-x1,-y1,x2,y2-y0=23-x2,-y2,1=x13-x1,2=x23-x2,1+2=x13-x1+x23-x2=3 x1+x2-2x1x23-3 x1+x2+x1x2=24k2-2 12k2-44k2+13+12k2-4-24k24k2+1=-8(四四)利用向量加法的几何意义构造平行四边形利用向量加法的几何意义构造平行四边形若点A,B,
30、C.D满足AB+AD=AC,则四边形ABCD是平行四边形,涉及圆锥曲线中的平行四边形要注意对边长度相等、斜率相等,两对角线中点为同一个点等条件的应用.【例【例4 4】(20232023 届四川省广安市岳池县高三上学期届四川省广安市岳池县高三上学期 1010 月月考月月考)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)经过点M3,12,左焦点F1-3,0.(1)求椭圆C的方程；(2)过点D 0,3作直线l与椭圆C交于A,B两点,点N满足ON=OA+OB(O为原点),求四边形OANB面积的最大值.【解析】(1)设椭圆的焦距为2c,则c=3,又因为椭圆经过点M3,12,所以3a2+14b2=1,
31、又a2-b2=32c2=3,a2=4,b2=1,所以椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)因为ON=OA+OB,所以四边形OANB为平行四边形,当直线l的斜率不存在时,显然不符合题意；当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+3,l与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,由y=kx+3x24+y2=1(1+4k2)x2+24kx+32=0.由=242k2-128(1+4k2)0k22.x1+x2=-24k1+4k2,x1x2=321+4k2,SOAB=12|OD|x1-x2|=32|x1-x2|,SOANB=2SOAB=3|x1-x2|=3(x1+x2)2-4x1x2=3-24
32、k1+4k22-4321+4k2=3242k2-128(1+4k2)(1+4k2)2=24k2-2(1+4k2)2,令k2-2=t,则k2=t+2(由上式知t0),SOANB=24t(4t+9)2=24172+16t+81t241144=2,当且仅当t=94,即k2=1742时取等号.当k=172时,平行四边形OANB的面积最大值为2.(五五)把向量的数量积转化为代数式把向量的数量积转化为代数式若圆锥曲线问题有用向量数量积给出的条件,通常是利用向量数量积的坐标运算进行转化.【例【例5 5】(20232023 届广东省荔湾区高三上学期届广东省荔湾区高三上学期 1010 月调研月调研)已知双曲线
33、C:x2a2-y2b2=1(a b 0)的右焦点为F 2,0,O为坐标原点,双曲线C的两条渐近线的夹角为3(1)求双曲线C的方程；(2)过点F作直线l交C于P,Q两点,在x轴上是否存在定点M,使MP MQ 为定值？若存在,求出定点M的坐标及这个定值；若不存在,说明理由【解析】(1)双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线为y=bax,又ab0,0bab0)的右焦点为 F,椭圆C上的点到 F的距离的最大值和最小值分别为2+3 和2-3(1)求椭圆C的标准方程；(2)若圆O:x2+y2=r2的切线l与椭圆C交于A,B两点,是否存在正数r,使得OAOB？若存在,求出r的值；若不存在,请说明理由【解析】(
34、1)由题意可得,a+c=2+3a-c=2-3,解得a=2,c=3,则b2=4-3=1,所以椭圆方程为x24+y2=1；(2)假设存在正数r,使得OAOB,即使得OA OB=0,当直线l的斜率不存在时,设直线l的方程为x=t,可得A t,4-t22,B t,-4-t22,因为OA OB=0,则有t2-4-t24=0,解得t=2 55,又直线l为圆O:x2+y2=r2的切线,所以r=2 55；当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m(m0),A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=kx+mx24+y2=1,可得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,则=64k2m2-16(
35、1+4k2)(m2-1)=16(4k2-m2+1)0,所以4k2-m2+10,且x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4(m2-1)1+4k2,所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=kx1x2+km(x1+x2)+m2,因为OA OB=0,则y1y2x1x2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2x1x2=-1,所以(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,整理可得4k2+4=5m2,则m21+k2=45,所以|m|1+k2=2 55,因为直线l为圆O:x2+y2=r2的切线,故原点(0,0)到y=kx+m的距离为r=|m|1+k2=2 55,所以存在正数r=2 55,使得
36、OAOB三、三、跟踪检测跟踪检测1.(20232023 届重庆市第八中学校高三上学期月考届重庆市第八中学校高三上学期月考)已知双曲线 E：x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)一个顶点为A-2,0,直线l过点Q 3,0交双曲线右支于M,N两点,记AMN,AOM,AON的面积分别为S,S1,S2.当l与x轴垂直时,S1的值为152.(1)求双曲线E的标准方程；(2)若l交y轴于点P,PM=MQ,PN=NQ,求证：+为定值；(3)在(2)的条件下,若1625S=S1+mS2,当58时,求实数m的取值范围.【解析】(1)由题意得a=2,OA=2,则当l与x轴垂直时,不妨设M 3,y1,由S1=12
37、OA y1=152,得 y1=152,将M 3,y1代入方程x24-y2b2=1,得94-154b2=1,解得b2=3,所以双曲线E的方程为x24-y23=1(2)设M x1,y1,N x2,y2,P 0,y0,由PM=MQ 与Q 3,0,得 x1,y1-y0=3-x1,-y1,即x1=31+,y1=y01+,将M31+,y01+代入E的方程得：31+24-y01+23=1,整理得：152-24-4y20-12=0,同理由PN=NQ 可得152-24-4y20-12=0由知,是方程15x2-24x-4y20-12=0的两个不等实根由韦达定理知+=2415=85,所以+为定值(3)又1625S=
38、S1+mS2,即162512 AQ y1-y2=122 y1+m122 y2,整理得：85y1-y2=y1+m y2,又y1y20,不妨设y20b0),由已知得b=1,c=1,所以a=2,椭圆的方程为y22+x2=1,当直线l与x轴垂直时与题意不符,设直线l的方程为y=kx+1,C x1,y1,D x2,y2,将直线l的方程代入椭圆的方程化简得 k2+2x2+2kx-1=0,则x1+x2=-2kk2+2,x1x2=-1k2+2,CD=1+k2x1+x22-4x1x2=1+k2-2kk2+22+41k2+2=2 2(k2+1)k2+2=3 22,解得k=2.直线l的方程为y=2x+1；(2)当l
39、x轴时,ACBD,不符合题意,当l与x轴不垂直时,设l：y=kx+t,则P-tk,0,设C x1,y1,D x2,y2,联立方程组y=kx+tx2+y22=1 得 2+k2x2+2ktx+t2-2=0,x1+x2=-2kt2+k2,x1x2=t2-22+k2,又直线AD：y=y2x2+1(x+1),直线BC：y=y1x1-1(x-1),由y=y2x2+1(x+1)y=y1x1-1(x-1)可得y2x2+1(x+1)=y1x1-1(x-1),即kx2+tx2+1(x+1)=kx1+tx1-1(x-1),kx2+tx1-1(x+1)=kx1+tx2+1(x-1),kx1x2-kx2+tx1-tx+
40、1=kx1x2+kx1+tx2+tx-1,k x1+x2+t x2-x1+2tx=2kx1x2-k x2-x1+t x1+x2,k-2kt2+k2+t x2-x1+2t x=2kt2-22+k2-k x2-x1+t-2kt2+k2,4t2+k2+t x2-x1 x=-4k2+k2-k x2-x1,即t42+k2+x2-x1 x=-k42+k2+x2-x1 ,得x=-kt,Q点坐标为Q-kt,yQ,OP OQ=-tk,0-kt,yQ=-tk-kt+0yQ=1,所以OP OQ=1为定值.3.(20232023 届四川省成都市郫都区高三上学期检测届四川省成都市郫都区高三上学期检测)已知椭圆 C:x2
41、a2+y2b2=1(ab 0)的离心率为32,短轴长为4(1)求椭圆C的方程；(2)若过点P 0,1的直线交椭圆C于A,B两点,求OA OB 的取值范围【解析】(1)e=ca=32,2b=4,b=2,又a2=b2+c2,即a2=4+34a2,解得：a=4,c=2 3,椭圆的标准方程为x216+y24=1；(2)当直线AB的斜率不存在时,AB:x=0,不妨设A 0,2,B 0,-2,则OA OB=-4当直线AB的斜率存在时,设AB：y=kx+1,A x1,y1,B x2,y2,由x216+y24=1y=kx+1 得 4k2+1x2+8kx-12=0,=64k2+48 4k2+10恒成立,故x1+
42、x2=-8k4k2+1,x1x2=-124k2+1,OA OB=x1x2+y1y2=x1x2+kx1+1kx2+1=k2+1x1x2+k x1+x2+1=k2+1-124k2+1-8k24k2+1+1=-12k2-12-8k2+4k2+14k2+1=-16k2-114k2+1=-4-74k2+1-11,-4,综上：OA OB -11,-4,故OA OB 的取值范围为-11,-44.(20232023届江苏省南通市如皋市高三上学期届江苏省南通市如皋市高三上学期9 9月诊断测试月诊断测试)已知点B、A分别是椭圆:x24+y23=1的左、右顶点,过的右焦点F作直线l交于M,N两点,(1)设直线AM,
43、AN,BM的斜率分别为k1,k2,k3,求k1k2和k2k3的值；(2)若直线AM,AN分别交椭圆的右准线于P,Q两点,证明：以PQ为直径的圆经过定点.【解析】(1)由已知F(1,0),A(2,0),B(-2,0),直线l的斜率不存在时,方程为x=1,不妨设M 1,32,N 1,-32,k1=321-2=-32,同理k2=32,k3=321-(-2)=12,k1k2=-94,k2k3=3,直线l斜率存在时,设直线方程为y=k(x-1),设M(x1,y1),N(x2,y2),由x24+y23=1y=k(x-1),得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,x1+x2=8k23+4k2,x1
44、x2=4k2-123+4k2,k1=y1x1-2,k2=y2x2-2,k3=y1x1+2,k1k2=y1y2(x1-2)(x2-2)=k2(x1-1)(x2-1)(x1-2)(x2-2)=k2(x1x2-x1-x2+1)x1x2-2(x1+x2)+4=k24k2-123+4k2-8k23+4k2+14k2-123+4k2-16k23+4k2+4=k2(4k2-12-8k2+3+4k2)4k2-12-16k2+12+16k2=-94,k2k3=y2(x1+2)y1(x2-2)=k(x2-1)(x1+2)k(x1-1)(x2-2)=x1x2-x1+2x2-2x1x2-2x1-x2+2因为2x1x2
45、-5(x1+x2)+8=2(4k2-12)3+4k2-40k23+4k2+8=0,所以x1x2-x1+2x2-2=3(x1x2-2x1-x2+2),所以k2k3=3,综上,k1k2=-94,k2k3=3；(2)由已知a=2,b=3,c=1,右准线方程为x=a2c=4,由(1)知直线AM方程为y=y1x1-2(x-2),令x=4得yP=2y1x1-2=2k1,同理yQ=2y2x2-2=2k2,由椭圆的对称性知,以PQ为直径的圆有一个圆心x轴上方的圆,则必定也有一个与之关于x轴对称的圆,这两个圆的交点在x轴上,以PQ为直径的圆经过定点,这个定点必在x轴上,设定点为G(t,0),则GP GQ=0,由
46、(1)得GP GQ=(4-t,2k1)(4-t,2k2)=(4-t)2+4k1k2=(4-t)2-9=0,t=7或t=1,所以以PQ为直径的圆经过定点(1,0),(7,0)5.(20232023 届湖南省部分校高三上学期届湖南省部分校高三上学期 9 9 月月考月月考)已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为62,点A 6,4在C上.(1)求双曲线C的方程.(2)设过点B 1,0的直线l与双曲线C交于D,E两点,问在x轴上是否存在定点P,使得PD PE 为常数？若存在,求出点P的坐标以及该常数的值；若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为双曲线C的离心率为62,所以622=
47、1+b2a2,化简得a2=2b2.将点A 6,4的坐标代入x22b2-y2b2=1,可得18b2-16b2=1,解得b2=2,所以C的方程为x24-y22=1.(2)设D x1,y1,E x2,y2,直线l的方程为y=k(x-1),联立方程组y=k x-1,x24-y22=1,消去y得(1-2k2)x2+4k2x-2k2-4=0,由题可知1-2k20且0,即k2|PQ|=23,可得点G的轨迹是以P，Q为焦点且长轴长为43的椭圆,其轨迹方程为94x2+3y2=1,由GN+GP+GQ=0,可得x=x3，y=y3,代入点G的轨迹方程,可得：94x32+3y32=1,所以点N的轨迹方程C：x24+y2
48、3=1；(2)设点M(x0，y0),则ME:y=y0 x0-1(x-1),即y0 x-(x0-1)y-y0=0,MA:y=y0 x0+2(x+2),令x=4,得y=6y0 x0+2,R 4，6y0 x0+2,则点R到直线ME的距离为：d=4y0-6y0(x0-1)x0+2-y0y20+(x0-1)2=|3y0(4-x0)|(x0+2)y20+(x0-1)2=(12-3x0)|y0|(x0+2)y20+(x0-1)2,要证ER为MES的角平分线,只需证d=|RS|,又|RS|=|yR|=6|y0|x0+2,y00,所以d=|RS|,当且仅当4-x0y20+(x0-1)2=2,即(4-x0)2=4
49、y20+(x0-1)2时,又(x0，y0)在C上,则x204+y203=1,即4y20=12-3x20,代入上式可得16-8x0+x20=12-3x20+4x20-8x0+4恒成立,ER为MES的角平分线8.(20232023届山西省山西大学附属中学校高三上学期届山西省山西大学附属中学校高三上学期9 9月诊断月诊断)如图,椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0),|A1B1|=7,F1是椭圆C的左焦点,A1是椭圆C的左顶点,B1是椭圆C的上顶点,且A1F1=F1O,点P(n,0)(n0)是长轴上的任一定点,过P点的任一直线l交椭圆C于A,B两点.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在定点Q(x0
50、,0),使得QA QB 为定值,若存在,试求出定点Q的坐标,并求出此定值；若不存在,请说明理由.【解析】(1)由已知知a2+b2=7a-c=ca2=b2+c2,解得a=2b=3c=1,所以椭圆方程为x24+y23=1；(2)假设存在Q(x0,0)满足题意,设A(x1,y1),B(x2,y2),QA=(x1-x0,y1),QB=(x2-x0,y2),当直线l与x轴不垂直时,设l：y=k(x-n),代入x24+y23=1并整理得(4k2+3)x2-8k2nx+4k2n2-12=0 x1+x2=8k2n4k2+3,x1x2=4k2n2-124k2+3QA QB=(x1-x0)(x2-x0)+y1y2