《2024接高考数学专项圆锥曲线存在性问题的探究（五大题型）含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024接高考数学专项圆锥曲线存在性问题的探究（五大题型）含答案.pdf（49页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1圆锥曲线存在性问题的探究 目录目录题型一：存在点使向量数量积为定值题型二：存在点使斜率之和或之积为定值题型三：存在点使两角度相等题型四：存在点使等式恒成立题型五：存在点使线段关系式为定值方法技巧总结方法技巧总结解决存在性问题的技巧：解决存在性问题的技巧：(1)特殊值(点)法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立(2)假设法：先假设存在，推证满足条件的结论若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在必考题型归纳必考题型归纳题型一：存在点使向量数量积为定值题型一：存在点使向量数量积为定值1 1(2023甘肃天水高二天水市第一中学
2、校考期末)已知椭圆 E的中心在原点，焦点在 x轴上，椭圆的左顶点坐标为-2,0，离心率为e=221求椭圆E的方程；2过点 1,0作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使MP MQ 为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由2024接高考数学专项圆锥曲线存在性问题的探究（五大题型）含答案22 2(2023山西大同高二统考期末)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a b 0)的一个焦点与抛物线 y2=4 3x 的焦点F重合，且椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形.(1)求椭圆的方程；(2)若过点(1,0)的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E(
3、m,0)，使PE QE 恒为定值?若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由.3 3(2023重庆渝北高二重庆市松树桥中学校校考阶段练习)已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，其左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为2 3.点P在椭圆C上，且满足PF1F2的周长为6.(I)求椭圆C的方程；()过点(-1,0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试问在x轴上是否存在一定点M，使得MA MB 恒为定值？若存在，求出该点M的坐标；若不存在，请说明理由.31(2023全国高三专题练习)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22，椭圆经过点A-1,22.(1)求椭圆C的方程
4、；(2)过点(1,0)作直线l交C于M,N两点，试问：在x轴上是否存在一个定点P，使PM PN 为定值？若存在，求出这个定点P的坐标；若不存在，请说明理由.2(2023辽宁锦州统考模拟预测)已知F1F2为双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点，E的离心率为5,M为E上一点，且 MF2-MF1=2.(1)求E的方程；(2)设点M在坐标轴上，直线l与E交于异于M的AB两点，且点M在以线段AB为直径的圆上，过M作MCAB，垂足为C，是否存在点D，使得 CD为定值？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.43(2023山西大同统考模拟预测)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1
5、 ab0的离心率为22，且直线y=x+b是抛物线C2:y2=4x的一条切线(1)求椭圆C1的方程；(2)过点S 0,-13的动直线L交椭圆C1于A,B两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由4(2023江苏扬州统考模拟预测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左顶点为A，过右焦点F且平行于y轴的弦PQ=AF=3(1)求APQ的内心坐标；(2)是否存在定点D，使过点D的直线l交C于M,N，交PQ于点R，且满足MR ND=MD RN？若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由5题型二：存在点使斜率之和或之
6、积为定值题型二：存在点使斜率之和或之积为定值4 4(2023山东泰安统考模拟预测)已知为 O 坐标原点，A 2,0,B 0,1,C 0,-1,D 2,1，OE=OA,DF=DA,0 0,b 0)的右焦点 F 为圆心作圆，与C的一条渐近线相切于点Q43,2 53(1)求C的方程.(2)在x轴上是否存在定点M，过点M任意作一条不与坐标轴垂直的直线l，当l与C交于A,B两点时，直线AF,BF的斜率之和为定值？若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由.5(2023湖北荆州高二荆州中学校考阶段练习)已知圆C方程为x2+y2-8mx-(6m+2)y+6m+1=0(mR,m0)，椭圆中心在原点，焦点在x轴
7、上.(1)证明圆C恒过一定点M，并求此定点M的坐标；(2)判断直线4x+3y-3=0与圆C的位置关系，并证明你的结论；(3)当m=2时，圆C与椭圆的左准线相切，且椭圆过(1)中的点M，求此时椭圆方程；在x轴上是否存在两定点A，B使得对椭圆上任意一点Q(异于长轴端点)，直线QA，QB的斜率之积为定值？若存在，求出A，B坐标；若不存在，请说明理由.76(2023河北高三校联考阶段练习)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab0的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，实轴长为4.(1)求椭圆C的方程；(2)设过点F1不与x轴重合的直线l与椭圆C相交于E，D两点，试问在x轴上是否存在一个点M，使得直线
8、ME，MD的斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点M的坐标；若不存在，请说明理由.7(2023吉林长春高三长春外国语学校校考开学考试)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的离心率为12，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点，且PF1F2的周长是6.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l经过椭圆的右焦点F2且与C交于不同的两点M，N，试问：在x轴上是否存在点Q，使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.88(2023全国高三专题练习)设椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率是22，过点P 0,1的动直线L于椭圆相交于A,B
9、两点，当直线L平行于x轴时，直线L被椭圆C截得弦长为2 2()求E的方程；()在y上是否存在与点P不同的定点Q，使得直线AQ和BQ的倾斜角互补？若存在，求Q的坐标；若不存在，说明理由题型三：存在点使两角度相等题型三：存在点使两角度相等7 7(2023新疆阿勒泰统考三模)已知椭圆C1:x2a2+y2=1(a1)的左右焦点分别为F1、F2，A,B分别为椭圆C1的上，下顶点，F2到直线AF1的距离为3(1)求椭圆C1的方程；(2)直线x=x0与椭圆C1交于不同的两点C,D，直线AC,AD分别交x轴于P,Q两点问：y轴上是否存在点R，使得ORP+ORQ=2？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由
10、98 8(2023全国高三专题练习)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0经过点A-2,0且两个焦点及短轴两顶点围成四边形的面积为4.(1)求椭圆C的方程和离心率；(2)设P，Q为椭圆C上不同的两个点，直线AP与y轴交于点E，直线AQ与y轴交于点F，且P、O、Q三点共线.其中O为坐标原点.问：x轴上是否存在点M，使得AME=EFM？若存在，求点M的坐标，若不存在，说明理由.9 9(2023四川绵阳模拟预测)已知点A是圆C:x-12+y2=16上的任意一点，点F-1,0，线段AF的垂直平分线交AC于点P(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)若过点G 3,0且斜率不为O的直线l交(1)中轨迹E于
11、M、N两点，O为坐标原点，点B 2,0问：x轴上是否存在定点T，使得MTO=NTB恒成立若存在，请求出点T的坐标，若不存在，请说明理由109(2023陕西西安陕西师大附中校考模拟预测)已知椭圆C:x2a2+y23=1(a0)经过点-1,32，过点T3,0的直线交该椭圆于P，Q两点.(1)求OPQ面积的最大值，并求此时直线PQ的方程；(2)若直线PQ与x轴不垂直，在x轴上是否存在点S s,0使得PST=QST恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由.10(2023四川成都高三四川省成都市新都一中校联考开学考试)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0过点 1,22，且上顶点与右顶点的距离
12、为3(1)求椭圆C的方程；(2)若过点P 3,0的直线l交椭圆C于A,B两点，x轴上是否存在点Q使得PQA+PQB=，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由1111(2023河南信阳高三信阳高中校考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，动点M到点D 2,0的距离等于点M到直线x=1距离的2 倍，记动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)已知直线l：y=12x+t t2与曲线C交于A,B两点，问曲线C上是否存在两点P,Q满足APB=AQB=90，若存在，请求出两点坐标，不存在，请说明理由.题型四：存在点使等式恒成立题型四：存在点使等式恒成立1010(2023福建漳州统考模拟预测)已
13、知 R 是圆 M：x+32+y2=8 上的动点，点 N3,0，直线 NR 与圆M的另一个交点为S，点L在直线MR上，MSNL，动点L的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)若过点P-2,0的直线l与曲线C相交于A，B两点，且A，B都在x轴上方，问：在x轴上是否存在定点Q，使得QAB的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明.121111(2023全国高三专题练习)已知椭圆:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2，过点B 0,b且与直线BF2垂直的直线交x轴负半轴于D，且2F1F2+F2D=0(1)求椭圆的离心率；(2)若过B、D、F2三点的圆恰好与直线l:x-3y-6=
14、0相切，求椭圆的方程；(3)设a=2过椭圆右焦点F2且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆交于P、Q两点，点M是点P关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得M、Q、N三点共线？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由1212(2023福建福州福州三中校考模拟预测)如图，双曲线的中心在原点，焦点到渐近线的距离为3，左、右顶点分别为A、B曲线C是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，且离心率为12的椭圆，设P在第一象限且在双曲线上，直线BP交椭圆于点M，直线AP与椭圆交于另一点N(1)求椭圆及双曲线的标准方程；(2)设MN与x轴交于点T，是否存在点P使得xP=4xT(其中xP，xT为点P，T的横坐
15、标)，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由1312(2023福建福州福州四中校考模拟预测)已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:x24+y23=1的左顶点和右焦点分别为A,F，动点P满足|PA|2+12|PF|2=92，记动点P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)设点Q在E上，过Q作C的两条切线，分别与y轴相交于M,N两点.是否存在点Q，使得 MN等于E的短轴长？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由.13(2023甘肃定西统考模拟预测)已知点M到点F 0,32的距离比它到直线l：y=-2的距离小12，记动点M的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)若过点F的直线交E于A x1,y
16、1，B x2,y2两点，则在x轴的正半轴上是否存在点P，使得PA，PB分别交E于另外两点C，D，且AB=3CD？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由.1414(2023北京海淀中关村中学校考三模)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距为2，长轴长为4.(1)求椭圆E的方程及离心率；(2)过点M-3,0且与x轴不重合的直线l与椭圆E交于不同的两点B、C，点B关于x轴的对称点为B.问：平面内是否存在定点P，使得B恒在直线PC上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.题型五：题型五：存在点使线段关系式为定值存在点使线段关系式为定值1313(2023全国高三专题练习)椭圆E经
17、过两点 1,22，22,32，过点P的动直线l与椭圆相交于A，B两点(1)求椭圆E的方程；(2)若椭圆E的右焦点是P，其右准线与x轴交于点Q，直线AQ的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，求证：k1+k2=0；(3)设点P(t,0)是椭圆E的长轴上某一点(不为长轴顶点及坐标原点)，是否存在与点P不同的定点Q，使得QAQB=PAPB恒成立？只需写出点Q的坐标，无需证明151414(2023福建宁德校考模拟预测)已知双曲线C与双曲线x212-y23=1 有相同的渐近线，且过点A(2 2,-1).(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知点D(2,0)，E，F是双曲线C上不同于D的两点，且DE DF=0，
18、DGEF于点G，证明:存在定点H，使 GH为定值.1515(2023四川成都高三校考阶段练习)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab0的离心率为12，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，当直线l与x轴垂直时，AB=3(1)求椭圆C的标准方程；(2)当直线l的斜率为k k0时，在x轴上是否存在一点P(异于点F)，使x轴上任意一点到直线PA与到直线PB的距离相等？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由1615(2023陕西安康陕西省安康中学校考模拟预测)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点A 2,0，B 1,32.直线x=t(不经过点B)与椭圆E交于M,N两点，Q 1,0
19、，直线MQ与椭圆E交于另一点C，点P满足QP NC=0，且P在直线NC上.(1)求E的方程；(2)证明：直线NC过定点，且存在另一个定点R，使 PR为定值.16(2023湖南衡阳高三衡阳市八中校考阶段练习)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1 a0,b0的右焦点，右顶点分别为F，A，B 0,b，AF=1，点M在线段AB上，且满足 BM=3 MA，直线OM的斜率为1，O为坐标原点.(1)求双曲线C的方程.(2)过点F的直线l与双曲线C的右支相交于P，Q两点，在x轴上是否存在与F不同的定点E，使得 EPFQ=EQ FP恒成立？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.1717(2023河北秦皇
20、岛校联考模拟预测)如图，椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别为A，B左、右焦点分别为F1，F2，离心率为22，点M(2,1)在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)已知P，Q是椭圆C上两动点，记直线AP的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，k1=2k2过点B作直线PQ的垂线，垂足为H问：在平面内是否存在定点T，使得 TH为定值，若存在，求出点T的坐标；若不存在，试说明理由18(2023四川遂宁高三射洪中学校考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，设点P的轨迹为曲线C.过点F 1,0的动圆恒与y轴相切，FP为该圆的直径；点P到F 1,0的距离比P到y轴的距离大1.在和中选择一个作为
21、条件:(1)选择条件：求曲线C的方程；(2)在x轴正半轴上是否存在一点M，当过点M的直线l与抛物线C交于Q，R两点时，1MQ+1MR为定值？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.1819(2023四川成都高三树德中学校考开学考试)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的离心率为e=22，且经过点 1,eP为椭圆C在第一象限内部分上的一点(1)若A a,0，B 0,b，求ABP面积的最大值；(2)是否存在点P，使得过点P作圆M:x+12+y2=1的两条切线，分别交y轴于D，E两点，且 DE=143若存在，点求出P的坐标；若不存在，说明理由1圆锥曲线存在性问题的探究 目录目录题型一：存
22、在点使向量数量积为定值题型二：存在点使斜率之和或之积为定值题型三：存在点使两角度相等题型四：存在点使等式恒成立题型五：存在点使线段关系式为定值方法技巧总结方法技巧总结解决存在性问题的技巧：解决存在性问题的技巧：(1)特殊值(点)法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立(2)假设法：先假设存在，推证满足条件的结论若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在必考题型归纳必考题型归纳题型一：存在点使向量数量积为定值题型一：存在点使向量数量积为定值1 1(2023甘肃天水高二天水市第一中学校考期末)已知椭圆 E的中心在原点，焦点在 x
23、轴上，椭圆的左顶点坐标为-2,0，离心率为e=221求椭圆E的方程；2过点 1,0作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使MP MQ 为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由【解析】1设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(ab0)，由已知得a-c=2-1ca=22，解得：a=2c=1，所以b2=a2-c2=1所以椭圆E的方程为x22+y2=12假设存在符合条件的点M m,0，设P x1,y1，Q x2,y2，则MP=x1-m,y1，MQ=x2-m,y2，MP MQ=x1-mx2-m+y1y2=x1x2-m x1+x2+m2+y1y2，当直线l的斜率存在
24、时，设直线l的方程为y=k x-1，由y=k x-1x22+y2=1，得：2k2+1x2-4k2x+2k2-2=0，x1+x2=4k22k2+1，x1x2=2k2-22k2+1，y1y2=k2-x1+x2+x1x2+1=-k22k2+1，2MP MQ=2m2-4m+1k2+m2-22k2+1，对于任意的k值，上式为定值，故2m2-4m+1=2 m2-2，解得：m=54，此时，MP MQ=-716为定值；当直线l的斜率不存在时，直线l：x=1，x1x2=1，x1+x2=2，y1y2=-12，由m=54，得MP MQ=1-254+2516-12=-716为定值，综合知，符合条件的点M存在，其坐标为
25、54,02 2(2023山西大同高二统考期末)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a b 0)的一个焦点与抛物线 y2=4 3x 的焦点F重合，且椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形.(1)求椭圆的方程；(2)若过点(1,0)的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E(m,0)，使PE QE 恒为定值?若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)由题意知抛物线的焦点为F(3,0)，所以c=a2-b2=3，因为椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形，所以b=3 33=1，可求得a=2.故椭圆的方程为x24+y2=1.(2)假设存在满足条件的点E(m,0)，当直线l的斜
26、率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y=k(x-1)，由x24+y2=1y=k(x-1)得 4k2+1x2-8k2x+4k2-4=0，设P x1,y1,Q x2,y2，所以0,x1+x2=8k24k2+1,x1x2=4k2-44k2+1，则PE QE=m-x1m-x2+y1y2=m2-m x1+x2+x1x2+y1y2=m2-8k2m4k2+1+4k2-44k2+1+k24k2-44k2+1-8k24k2+1+1=4m2-8m+1k2+m2-44k2+1=4m2-8m+1k2+14+m2-4-144m2-8m+14k2+1=144m2-8m+1+2m-1744k2+1，3要使PE QE 为定值
27、，令2m-174=0，即m=178，此时PE QE=3364.当直线的斜率不存在时，不妨取P 1,32,Q 1,-32，由E178,0，可得PE=98,-32,QE=98,32，所以PE QE=8164-34=3364.综上所述，存在点E178,0，使PE QE 为定值3364.3 3(2023重庆渝北高二重庆市松树桥中学校校考阶段练习)已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，其左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为2 3.点P在椭圆C上，且满足PF1F2的周长为6.(I)求椭圆C的方程；()过点(-1,0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试问在x轴上是否存在一定点M，使得MA MB
28、 恒为定值？若存在，求出该点M的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】()2b=2 32a+2c=6a2=b2+c2a2=4b2=3所以椭圆的方程为x24+y23=1()假设存在这样的定点M x0,0，设A x1,y1,B x2,y2，AB直线方程为x=my-1则MA MB=x1-x0,y1 x2-x0,y2=my1-1-x0,y1 my2-1-x0,y2=m2+1y1y2-m 1+x0y1+y2+1+x02联立x=my-13x2+4y2=12消去x得 3m2+4y2-6my-9=0y1+y2=6m3m2+4,y1y2=-93m2+4MA MB=-5+2x03m2+4+11+8x03m2+4=x
29、02-4+11+8x03m2+4令11+8x0=0即x0=-118，MA MB=-13564当ABy轴时，令A-2,0,B 2,0,M-118,0,仍有MA MB=-13564所以存在这样的定点M-118,0，使得MA MB=-135641(2023全国高三专题练习)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22，椭圆经过点A-1,22.(1)求椭圆C的方程；(2)过点(1,0)作直线l交C于M,N两点，试问：在x轴上是否存在一个定点P，使PM PN 为定值？若存在，求出这个定点P的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】(1)由题意ca=22，a2=b2+c2，1a2+12b2=1，
30、得a2=2,b2=1，所以椭圆C的方程为x22+y2=1.(2)当l的斜率存在时，设l:y=k x-1，M x1,y1，N x2,y2，P t,0，则4联立方程组y=kx-kx2+2y2=2 消去y得，2k2+1x2-4k2x+2k2-2=0.x1+x2=4k22k2+1，x1x2=2k2-22k2+1.PM PN=x1-t,y1 x2-t,y2=x1-tx2-t+y1y2=x1-tx2-t+k2x1-1x2-1=k2+1x1x2-k2+tx1+x2+k2+t2=k2+12k2-22k2+1-k2+t4k22k2+1+k2+t2=k22t2-4t+1+t2-22k2+1为定值.2t2-4t+1
31、t2-2=21，解得t=54.此时PM PN 的值为-716.当l的斜率不存在时，l的方程为x=1，解得M 1,22，N 1,-22.又t=54，则P54,0.PM PN=-14,22-14,-22=-716，此时也满足条件.综上所述，在x轴上存在定点P54,0，使PM PN 为定值.2(2023辽宁锦州统考模拟预测)已知F1F2为双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点，E的离心率为5,M为E上一点，且 MF2-MF1=2.(1)求E的方程；(2)设点M在坐标轴上，直线l与E交于异于M的AB两点，且点M在以线段AB为直径的圆上，过M作MCAB，垂足为C，是否存在点D，使得
32、CD为定值？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】(1)因为双曲线的离心率为5，所以e=ca=5，即c=5a，又 MF2-MF1=2，所以2a=2，则a=1，所以c=5，因为b2=c2-a2，所以b=c2-a2=(5)2-12=2，故双曲线E的方程为x2-y24=1.(2)因为M点满足 MF2-MF1=20，所以点M在双曲线x2-y24=1的左支上，又因为点M在坐标轴上，则M(-1,0)，设A(x1,y1),B(x2,y2)，当AB的斜率存在时，设AB的方程为y=kx+m，联立方程x2-y24=1y=kx+m，整理得(4-k2)x2-2kmx-(m2+4)=0,则4-k20，=
33、(-2km)2-4(4-k2)-(m2+4)0,即m2+4-k20,x1+x2=2km4-k2,x1+x2=-m2+44-k2，因为M在以线段AB为直径的圆上，所以MAMB，则MA MB=0，又MA=(x1+1,y1)，MB=(x2+1,y2)，则MA MB=(x1+1)(x2+1)+y1y2=(x1+1)(x2+1)+(kx1+m)(kx2+m)=0，所以(k2+1)x1x2+(km+1)(x1+x2)+m2+1=0，即(k2+1)-m2+44-k2+(km+1)2km4-k2+m2+1=0，整理得3m2+2km-5k2=0，即(m-k)(3m+5k)=0，解得m=k或m=-5k3，经检验均
34、满足m2+4-k20，当m=k时，直线AB的方程为y=k(x+1)，则直线AB过点M，不合题意，舍去；5当m=-5k3时，直线AB的方程为y=k x-53，则直线AB恒过定点Q53,0，符合题意.当AB的斜率不存在时，A(x1,y1),B(x1,-y1)，MA=(x1+1,y1)，MB=(x1+1,-y1)，MA MB=(x1+1)2-y12=0，又x21-y214=1，解得x1=-1(舍去)或x1=53，所以直线AB方程为x=53，则直线AB恒过定点Q53,0.综上，直线AB恒过定点Q53,0.因为MCAB，所以MCQ是以MQ为斜边的直角三角形，即点C在以MQ为直径的圆上，则点D为该圆的圆心
35、即斜边MQ的中点，又M(-1,0)，Q53,0，所以D13,0，CD为该圆的半径，即|CD|=12|MQ|=43，故存在点D13,0，使得|CD|为定值43.3(2023山西大同统考模拟预测)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1 ab0的离心率为22，且直线y=x+b是抛物线C2:y2=4x的一条切线(1)求椭圆C1的方程；(2)过点S 0,-13的动直线L交椭圆C1于A,B两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由【解析】(1)由y=x+by2=4x 得x2+2b-4x+b2=0直线y=x+b是抛物线C2:y2=
36、4x的一条切线所以=0b=1e=ca=22a=2，所以椭圆C1:x22+y2=1(2)当直线L与x轴平行时，以AB为直径的圆方程为x2+y+132=432当直线L与y轴重合时，以AB为直径的圆方程为x2+y2=1所以两圆的交点为点 0,1猜想：所求的点T为点 0,1证明如下当直线L与x轴垂直时，以AB为直径的圆过点 0,1当直线L与x轴不垂直时，可设直线L为：y=kx-13由y=kx-13x22+y2=1 得 18k2+9x2-12kx-16=0，设A x1,y1，B x2,y2则x1+x2=12k18k2+9x1x2=-1618k2+9 则TA TB=x1,y1-1 x2,y2-1=x1x2
37、+y1-1y2-1=x1x2+kx1-13-1kx2-13-16=x1x2-43x1+x2+169=1+k2-1618k2+9-4312k18k2+9+169=0所以TA TB，即以AB为直径的圆过点 0,1所以存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T4(2023江苏扬州统考模拟预测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左顶点为A，过右焦点F且平行于y轴的弦PQ=AF=3(1)求APQ的内心坐标；(2)是否存在定点D，使过点D的直线l交C于M,N，交PQ于点R，且满足MR ND=MD RN？若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由【解析】(1)a2=b2+c2,2b2a=a
38、+c=3a=2,b=3,c=1椭圆C的标准方程为x24+y23=1，不妨取P 1,32,Q 1,-32,A(-2,0)，则AP=3 52,PF=32；因为APQ中，AP=AQ，所以APQ的内心在x轴，设直线PT平分APQ，交x轴于T，则T为APQ的内心，且ATTF=APPF=5=AT3-AT，所以AT=3 55+1，则T7-3 54,0；(2)椭圆和弦PQ均关于x轴上下对称若存在定点D，则点D必在x轴上设D(t,0)当直线l斜率存在时，设方程为y=k(x-t),M x1,y1,N x2,y2，直线方程与椭圆方程联立y=k(x-t)x24+y23=1，消去y得 4k2+3x2-8k2tx+4 k
39、2t2-3=0，则=48 k2+3-k2t20,x1+x2=8k2t4k2+3,x1x2=4 k2t2-34k2+3点R的横坐标为1，M、R、N、D均在直线l上，MR ND=MD RN 1+k21-x1t-x2=1+k2t-x1x2-12t-(1+t)x1+x2+2x1x2=02t-(1+t)8k2t4k2+3+24 k2t2-34k2+3=0，整理得t=4，因为点D在椭圆外，则直线l的斜率必存在存在定点D(4,0)满足题意题型二：存在点使斜率之和或之积为定值题型二：存在点使斜率之和或之积为定值4 4(2023山东泰安统考模拟预测)已知为 O 坐标原点，A 2,0,B 0,1,C 0,-1,D
40、 2,1，OE=OA,DF=DA,00即-5 m0，kQM+kQN=2kQE，n-y14-x1+n-y24-x2=2n4-t14-x1+14-x2-24-tn+-y14-x1+-y24-x2=0，对任意n成立，所以14-x1+14-x2=24-t，-y14-x1+-y24-x2=0，由-y14-x1+-y24-x2=0得，-4(y1+y2)+y1(my2+t)+y2(my1+t)=(t-4)(y1+y2)+2my1y2=0，所以(t-4)(-6tm)+2m(3t2-12)=0，24mt-24m=0对任意m成立，t=1，经检验，符合题意，所以，存在E(1，0)满足题意.6 6(2023吉林吉林省
41、实验校考模拟预测)以双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的右焦点 F 为圆心作圆，与C的一条渐近线相切于点Q43,2 53(1)求C的方程.(2)在x轴上是否存在定点M，过点M任意作一条不与坐标轴垂直的直线l，当l与C交于A,B两点时，直线AF,BF的斜率之和为定值？若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由.【解析】(1)双曲线C的渐近线方程为y=bax，圆F与直线y=bax切于点Q43,2 53，所以代入得ba=52，设F c,0(c0)，直线FQ有斜率kFQ，则kFQba=-1，即2 5343-cba=-1，又c2=a2+b2由解得c=3,a=2,b=5，所以双曲线C的方
42、程为x24-y25=1.(2)假设存在满足条件的定点M t,0，因为直线l不与坐标轴垂直，故设l的方程为x=my+t m0,A x1,y1,B x2,y2.9由x=my+t,x24-y25=1,消去x整理得 5m2-4y2+10mty+5t2-20=0，则5m2-40,0,即m2 55,5m2+t2-40,*且y1+y2=-10mt5m2-4,y1y2=5t2-205m2-4.因为F 3,0，所以直线AF,BF的斜率为kAF=y1x1-3,kBF=y2x2-3.设kAF+kBF=(为定值)，即y1x1-3+y2x2-3=，即y1x2-3+y2x1-3=x1-3x2-3，即y1my2+t-3+y
43、2my1+t-3=my1+t-3my2+t-3，整理得 2m-m2y1y2+1-mt-3y1+y2-(t-3)2=0，所以 2m-m25t2-205m2-4-1-mt-310mt5m2-4-(t-3)2=0，所以 5t2-30t+20m2+10 3t-4m=5(t-3)2m2-4(t-3)2.因为t,为定值，且上式对任意m恒成立，所以 5t2-30t+20=5(t-3)2,10 3t-4=0,-4(t-3)2=0,解得t=43,=0.将t=43代入*式解得m23且m2 55.综上，存在满足条件的定点M43,0.5(2023湖北荆州高二荆州中学校考阶段练习)已知圆C方程为x2+y2-8mx-(6
44、m+2)y+6m+1=0(mR,m0)，椭圆中心在原点，焦点在x轴上.(1)证明圆C恒过一定点M，并求此定点M的坐标；(2)判断直线4x+3y-3=0与圆C的位置关系，并证明你的结论；(3)当m=2时，圆C与椭圆的左准线相切，且椭圆过(1)中的点M，求此时椭圆方程；在x轴上是否存在两定点A，B使得对椭圆上任意一点Q(异于长轴端点)，直线QA，QB的斜率之积为定值？若存在，求出A，B坐标；若不存在，请说明理由.【解析】(1)圆C的方程可化为：x2+y2-2y+1-m(8x+6y-6)=0，由x2+y2-2y+1=08x+6y-6=0，解得x=0y=1，所以圆C过定点M(0,1).(2)圆C的方程
45、可化为：(x-4m)2+y-(3m+1)2=25m2，圆心到直线l的距离为d=|44m+3(3m+1)-3|42+32=25|m|5=5|m|=r，所以直线与圆C相切.(3)当m=2时，圆C方程为 x-82+y-72=100，圆心为 8,7，半径为10，与直线x=8-10，即x=-2相切，所以椭圆的左准线为x=-2，10又椭圆过点M(0,1)，则b=1，所以a2c=2b=1，解得a=2b=1，所以椭圆方程为x22+y2=1.在椭圆上任取一点Q x,y(y0)，设定点A s,0，B t,0，则kQAkQB=yx-syx-t=1-x22(x-s)(x-t)=k对x(-2,2)恒成立，所以-12x2
46、+1=kx2-k(s+t)x+kst对x(-2,2)恒成立，所以k=-12k(s+t)=0kst=1 ，故k=-12s=2t=-2 或k=-12s=-2t=2 ，所以A-2,0，B2,0或者A2,0，B-2,0.6(2023河北高三校联考阶段练习)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab0的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，实轴长为4.(1)求椭圆C的方程；(2)设过点F1不与x轴重合的直线l与椭圆C相交于E，D两点，试问在x轴上是否存在一个点M，使得直线ME，MD的斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点M的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】(1)因为焦距为2，长轴长为4，即2c=2，
47、2a=4，解得c=1，a=2，所以b2=a2-c2=3，所以椭圆C的方程为x24+y23=1(2)由(1)知F1(-1,0)，设点E(x1，y1)，D(x2，y2)，M(m,0)，因为直线l不与x轴重合，所以设直线l的方程为x=ny-1，联立x=ny-1x24+y23=1，得(3n2+4)y2-6ny-9=0，所以=(-6n)2+36(3n2+4)0，所以y1+y2=6n3n2+4，y1y2=-93n2+4，又x1x2=(ny1-1)(ny2-1)=n2y1y2-n(y1+y2)+1=-9n23n2+4-6n23n2+4+1=-12n2-43n2+4，x1+x2=n(y1+y2)-2=6n23
48、n2+4-2=-83n2+4直线ME，MD的斜率分别为kME=y1x1-m，kMD=y2x2-m，所以kMEkMD=y1x1-my2x2-m=y1y2(x1-m)(x2-m)=y1y2y1y2-m(x1+x2)+m2=-93n2+4-12n2-43n2+4-m-83n2+4+m2=-9-12n2+4+8m+3m2n2+4m211=-9(3m2-12)n2+4(m+1)2，要使得直线ME，MD的斜率之积恒为定值，直线3m2-12=0，解得m=2，当m=2时，存在点M(2,0)，使得kMEkMD=-9(3m2-12)n2+4(m+1)2=-936=-14，当m=-2时，存在点M(-2,0)，使得k
49、MEkMD=-9(3m2-12)n2+4(m+1)2=-94，综上，在x轴上存在点M，使得ME，MD的斜率之积恒为定值，当点M的坐标为(2,0)时，直线ME，MD的斜率之积为定值-14，当点M的坐标为(-2,0)时，直线ME，MD的斜率之积为定值-947(2023吉林长春高三长春外国语学校校考开学考试)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的离心率为12，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点，且PF1F2的周长是6.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l经过椭圆的右焦点F2且与C交于不同的两点M，N，试问：在x轴上是否存在点Q，使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值？若存在，请求
50、出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】(1)由椭圆的定义知PF1F2的周长为2a+2c，所以2a+2c=6，又因为椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的离心率e=ca=12，所以a=2c，联立解得a=2，c=1，所以b=a2-c2=3，所求椭圆方程为x24+y23=1.(2)若存在满足条件的点Q t,0.当直线l的斜率k存在时，设y=k x-1，联立x24+y23=1，消y得 3+4k2x2-8k2x+4k2-12=0.设M x1,y1，N x2,y2，则x1+x2=8k23+4k2，x1x2=4k2-123+4k2x，kQM+kQN=y1x1-t+y2x2-t=k x1-1x2-t+