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1、一、第一型曲面积分一、第一型曲面积分.实例实例分割分割取近似取近似求和求和取极限取极限设在三维空间设在三维空间 中有光滑中有光滑或者逐片光滑的曲面或者逐片光滑的曲面S,S,函数函数 在曲面在曲面S S上有定义。首先，用上有定义。首先，用曲面曲面S S上的曲线网，将曲面上的曲线网，将曲面S S随意分成随意分成n n个个小曲面：小曲面：将此分法表为将此分法表为T T，设第，设第k k个小曲面个小曲面 的面积是的面积是在第在第k k个小曲面个小曲面 上任取一点上任取一点作和作和称为函数称为函数 在曲面在曲面S S的积分和。令的积分和。令2.2.定义定义 设函数设函数 在光滑曲面或逐片光在光滑曲面或逐
2、片光则称则称L L是函数是函数 在曲面在曲面S S的的第一型曲面第一型曲面其中是曲面其中是曲面S S的的面积微元面积微元。滑曲面滑曲面S有定义。有定义。若当若当 时，函数时，函数在曲面在曲面S的积分和存在极限的积分和存在极限L L，即，即积分积分，记为，记为3.3.第一型曲面积分的性质第一型曲面积分的性质4.4.第一型曲面积分的几何意义第一型曲面积分的几何意义空间曲面空间曲面S S的面积的面积:定理定理1 1 若曲面块若曲面块S:S:是光滑或者逐片光滑的，其中是光滑或者逐片光滑的，其中D D是有是有其中其中界闭区域。函数界闭区域。函数 在曲面在曲面S S连续，则函数连续，则函数在在S S的第一
3、型曲面积分存在，且的第一型曲面积分存在，且5 5、曲面积分的计算法、曲面积分的计算法则则依据曲面的不同状况分为以下三种：依据曲面的不同状况分为以下三种：(1).(1).其它情形曲面积分的计算法其它情形曲面积分的计算法设设S S在在 面的投影区域为面的投影区域为 ,(3).(3).(2).(2).设设S S在在 面的投影区域为面的投影区域为 ,则则设设 S S 在在 面的投影区域为面的投影区域为 ,则则例例 计算曲面积分计算曲面积分 其中其中S S是球面是球面解解被平面被平面 所截的顶部所截的顶部例例计算曲面积分其中曲面计算曲面积分其中曲面S S是螺旋面是螺旋面的一部分的一部分例例 计算下列第一型曲面积分计算下列第一型曲面积分.其中其中S S是上半球面是上半球面其中其中S S为立体为立体的边界曲面的边界曲面其中其中S为柱面为柱面被平面被平面 所截取的部分所截取的部分例例解解投影域投影域 积分曲面积分曲面 解解 依依对称性对称性知知例例抛物面抛物面有有被积函数被积函数为第一卦限部分曲面为第一卦限部分曲面.投影域：投影域：