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1、四、四、小结小结一、一、FourierFourier变换的概念变换的概念二、二、单位脉冲函数及其单位脉冲函数及其FourierFourier变换变换三、三、非周期函数的频谱非周期函数的频谱第第3 3页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第3 3页页 1.1.若函数若函数 f(t)满足满足FourierFourier积分定理的条件积分定理的条件,则则在在f(t)的连续点处的连续点处,有有f(t)的的FourierFourier变换变换记作记作:F F(w w)叫做叫做 f(t)的象函数的象函数.一、一、FourierFourier变换的概念变换的概念第第4
2、 4页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第4 4页页F(w w)的的FourierFourier逆变换逆变换记作记作:f(t)叫做叫做 F(w w)的的 象函数象函数F F(w w)和象原函数和象原函数 f(t)构成了一个构成了一个FourierFourier变换对变换对.一、一、FourierFourier变换的概念变换的概念象原函数象原函数.第第5 5页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第5 5页页2.Fourier2.Fourier正弦变换及正弦逆变换正弦变换及正弦逆变换:当当f(t)为奇函数时为奇函数时
3、 ,FourierFourier正弦变换正弦变换一、一、FourierFourier变换的概念变换的概念第第6 6页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第6 6页页FourierFourier正弦逆变换正弦逆变换一、一、FourierFourier变换的概念变换的概念第第7 7页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第7 7页页当当 f(t)为偶函数时为偶函数时 ,FourierFourier余弦变换余弦变换一、一、FourierFourier变换的概念变换的概念第第8 8页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出
4、积分变换积分变换积分变换积分变换第第8 8页页FourierFourier余弦逆变换余弦逆变换一、一、FourierFourier变换的概念变换的概念第第9 9页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第9 9页页第第1010页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1010页页第第1111页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1111页页第第1212页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1212页页第第1313页页主页主页上一页上一页下
5、一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1313页页令令则则第第1414页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1414页页为复平面为复平面s s上的解析函数上的解析函数,取如图的闭曲线取如图的闭曲线由由CauchyCauchy积分定理有积分定理有:实轴实轴虚轴虚轴矩形矩形第第1515页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1515页页当当 时时,有有第第1616页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1616页页同理同理,当当 时时,有有即即第第1717页页主
6、页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1717页页钟形脉冲函数的钟形脉冲函数的FourierFourier变换为变换为第第1818页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1818页页2)2)钟形脉冲函数的积分表达式钟形脉冲函数的积分表达式积分性质积分性质,有有由由利用奇偶函数的利用奇偶函数的第第1919页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1919页页第第2020页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2020页页的正弦变换和余弦变换的正
7、弦变换和余弦变换.由由正弦变换为正弦变换为第第2121页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2121页页余弦变换为余弦变换为第第2222页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2222页页 在原来电流为零的电路中在原来电流为零的电路中,某一瞬时某一瞬时(设为设为t=0)进入一单位电量的脉冲进入一单位电量的脉冲,现在要确定电路上的电现在要确定电路上的电流流i(t t)。以以q(t)表示上述电路中到时刻表示上述电路中到时刻t为止通过导为止通过导体截面的电荷函数体截面的电荷函数,则则二、单位脉冲函数及其二、单位脉冲函数
8、及其FourierFourier变换变换第第2323页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2323页页 由于电流强度是电荷函数对时间的变化率由于电流强度是电荷函数对时间的变化率,即即所以所以,当当t 0时时,i(t)=0；当当t=0时，由于时，由于q(t)是不是不连续的连续的,从而在普通导数意义下从而在普通导数意义下,q(t)在这一点在这一点的导数不存在的导数不存在。二、单位脉冲函数及其二、单位脉冲函数及其FourierFourier变换变换第第2424页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2424页页如果我们
9、形式地计算这个导数如果我们形式地计算这个导数,则得则得 这表明在通常意义下的函数类中找不到一这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示上述电路的电流强度，为了确个函数能够表示上述电路的电流强度，为了确定这种电路上的电流强度定这种电路上的电流强度,必须引进一个新的必须引进一个新的函数函数,这个函数称为这个函数称为 DiracDirac函数函数,简单地记成简单地记成d d-函数、函数、二、单位脉冲函数及其二、单位脉冲函数及其FourierFourier变换变换第第2525页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2525页页对于任何一个无穷可微的函数对
10、于任何一个无穷可微的函数f(t),如果满足如果满足则称则称 的弱极限为的弱极限为d d-函数函数,记为记为d d(t t).).二、单位脉冲函数及其二、单位脉冲函数及其FourierFourier变换变换第第2626页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2626页页表明表明d d-函数可以看函数可以看成一个普通函数序成一个普通函数序列的弱极限列的弱极限.二、单位脉冲函数及其二、单位脉冲函数及其FourierFourier变换变换d d -函数的定义函数的定义:任何任何 ，有，有第第2727页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分
11、变换积分变换第第2727页页 工程上工程上,常将常将d d-函数称为函数称为单位脉冲函数单位脉冲函数.可将可将d d-函数函数用一个长度等于用一个长度等于1 1的有向线的有向线段表示段表示,这个线段的长度表这个线段的长度表示示d d-函数的积分值函数的积分值,称为称为d d-函数的强度函数的强度.二、单位脉冲函数及其二、单位脉冲函数及其FourierFourier变换变换第第2828页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2828页页1.d 1.d-函数的性质函数的性质:证明证明:若若为无穷次可微的函数为无穷次可微的函数,则有则有1)1)筛选筛选性质性质
12、:二、单位脉冲函数及其二、单位脉冲函数及其FourierFourier变换变换第第2929页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2929页页 由于由于 为无穷次可微的函数为无穷次可微的函数,则则f(t)是连是连续函数续函数,由积分中值定理由积分中值定理,有有二、单位脉冲函数及其二、单位脉冲函数及其FourierFourier变换变换第第3030页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第3030页页同理可得同理可得2)d 2)d-函数的导数函数的导数若若 f(t)为无穷次可微的函数为无穷次可微的函数,则有则有同理可得
13、同理可得二、单位脉冲函数及其二、单位脉冲函数及其FourierFourier变换变换第第3131页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第3131页页3)d3)d -函数是偶函数函数是偶函数:证明证明:二、单位脉冲函数及其二、单位脉冲函数及其FourierFourier变换变换第第3232页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第3232页页4)4)d d-函数是单位阶跃函数的导数函数是单位阶跃函数的导数:称为单位阶跃函数、称为单位阶跃函数、5)5)时间尺度变换性质时间尺度变换性质:其中其中 为任意实数为任意实数.二、
14、单位脉冲函数及其二、单位脉冲函数及其FourierFourier变换变换第第3333页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第3333页页6)6)卷积性质卷积性质7)7)乘以时间函数的性质乘以时间函数的性质其中其中 为任意常数为任意常数.为在为在 处连续的任意函数处连续的任意函数.二、单位脉冲函数及其二、单位脉冲函数及其FourierFourier变换变换第第3434页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第3434页页1)1)的的FourierFourier变换对变换对2.d2.d -函数的函数的FourierFou
15、rier变换变换二、单位脉冲函数及其二、单位脉冲函数及其FourierFourier变换变换第第3535页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第3535页页 可见可见,单位脉冲函数单位脉冲函数d d(t)与常数与常数1 1构成了一个构成了一个FourierFourier变换对变换对.2)2)的的FourierFourier变换对变换对二、单位脉冲函数及其二、单位脉冲函数及其FourierFourier变换变换第第3636页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第3636页页 可见可见,与与 构成了一个构成了一个Fou
16、rierFourier变换对变换对.二、单位脉冲函数及其二、单位脉冲函数及其FourierFourier变换变换第第3737页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第3737页页证明单位阶跃函数证明单位阶跃函数的的FourierFourier变换为变换为则则第第3838页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第3838页页第第3939页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第3939页页第第4040页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第40
17、40页页表明表明 的的FourierFourier逆变换为逆变换为第第4141页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第4141页页若若F F(w w)=2)=2pdpd(w w)时时,由由傅氏傅氏逆变换可得逆变换可得所以所以1 1和和2 2pdpd(w w)也也构成构成傅氏傅氏变换对变换对.同理同理,如如F F(w w)=2)=2pdpd(w-ww-w0 0)第第4242页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第4242页页求正弦函数求正弦函数的的FourierFourier变换变换.根据根据FourierFouri
18、er变换的公式变换的公式,有有第第4343页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第4343页页第第4444页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第4444页页三、非周期函数的频谱三、非周期函数的频谱1.1.周期函数的频谱周期函数的频谱 对于以为周期的非正弦函数，它的第对于以为周期的非正弦函数，它的第次谐波次谐波的振幅为的振幅为第第4545页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第4545页页其中其中在复指数形式中，第次谐波在复指数形式中，第次谐波且且三、非周期函数的频谱三、非周
19、期函数的频谱第第4646页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第4646页页 对于以为周期的非正弦函数，它的第对于以为周期的非正弦函数，它的第次谐波的振幅为次谐波的振幅为各次谐波的振幅随频率变化的分布情况各次谐波的振幅随频率变化的分布情况.频谱图的概念：频谱图的概念：频率和振幅的关系图频率和振幅的关系图.频谱的图形是不连续的，故称为离散频谱频谱的图形是不连续的，故称为离散频谱.表明了一个非正弦周期函数包含了哪些频率分量表明了一个非正弦周期函数包含了哪些频率分量及各分量占的比重及各分量占的比重.三、非周期函数的频谱三、非周期函数的频谱描述了描述了第第474
20、7页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第4747页页离散频谱的性质：离散频谱的性质：频谱图形关于直线对称频谱图形关于直线对称.相交频谱是的奇函数，即相交频谱是的奇函数，即三、非周期函数的频谱三、非周期函数的频谱第第4848页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第4848页页2)2)非周期函数的频谱非周期函数的频谱 非周期函数非周期函数 ,当它满足当它满足FourierFourier积分定理中积分定理中的条件时的条件时,则在则在 的连续点处可表示为的连续点处可表示为其中其中为它的为它的FourierFourier变
21、换变换.三、非周期函数的频谱三、非周期函数的频谱第第4949页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第4949页页 在频谱分析中在频谱分析中,FourierFourier变换变换 称为称为 的的频谱函数频谱函数,而频谱函数的模而频谱函数的模 称为称为 的振的振幅频谱幅频谱.由于由于 是连续变化的是连续变化的,因此称为连续频谱因此称为连续频谱.对一个时间函数作对一个时间函数作 FourierFourier变换变换,就是求就是求这个这个时间函数的频谱函数时间函数的频谱函数.三、非周期函数的频谱三、非周期函数的频谱第第5050页页主页主页上一页上一页下一页下一页
22、退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第5050页页非周期函数信号的频谱性质：非周期函数信号的频谱性质：是的奇函数，即是的奇函数，即随随 的增大而减小的增大而减小.三、非周期函数的频谱三、非周期函数的频谱第第5151页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第5151页页作图中所示单个矩形脉冲的作图中所示单个矩形脉冲的频谱图频谱图.根据上面的讨论根据上面的讨论,单个矩单个矩形脉冲的形脉冲的频谱函数为频谱函数为第第5252页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第5252页页再根据振幅再根据振幅频谱频谱作出作出频谱图频
23、谱图第第5353页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第5353页页作指数衰减函数作指数衰减函数 的的频谱图频谱图.由由得得因此因此第第5454页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第5454页页作出作出频谱图频谱图:第第5555页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第5555页页作单位脉冲函数作单位脉冲函数 的的频谱图频谱图.第第5656页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第5656页页第第5757页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第5757页页本节学习了本节学习了接下来学习接下来学习 Fourier变换的变换的定义定义,单位脉冲函数单位脉冲函数的的Fourier变换及非变换及非周期函数的频谱、周期函数的频谱、四、小结四、小结 Fourier变换的变换的性质、性质、第第5858页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第5858页页Fourier变换的定义是什么变换的定义是什么?存在条件是什么存在条件是什么?思考复习思考复习四、小结四、小结