复变函数与积分变换第一章.ppt

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1、复变函数与积分变换第一章复变函数与积分变换第一章1现在学习的是第1页，共24页u 设设G为一平面点集为一平面点集 1)z0为为G中任意一点。如果存在中任意一点。如果存在z0的一个邻域，该邻域内的所有的一个邻域，该邻域内的所有点都属于点都属于G，那么称，那么称z0为为G的的内点内点。如果。如果G内的每个点都是它的内的每个点都是它的内点，则称内点，则称G为为开集开集.2)平面上不属于平面上不属于G的点的全体称为的点的全体称为G的的余集余集，记作，记作GC，开集的余，开集的余集称为集称为闭集闭集。3)z0是一点，若在是一点，若在z0的任一邻域内既有的任一邻域内既有G的内点又有的内点又有G的外点，则的

2、外点，则称称z0是是G的一个的一个边界点边界点；G的边界点的全体称为的边界点的全体称为G的的边界边界.4)，若在，若在z0的某一邻域内除点的某一邻域内除点z0外不含外不含G的点，则称的点，则称z0是是G的的一个一个孤立点孤立点。G的孤立点一定是的孤立点一定是G的边界点。的边界点。5)如果存在一个以点如果存在一个以点z=0为中心的圆盘包含为中心的圆盘包含G，则称，则称G为为有界集有界集，否，否则称则称G为为无界集无界集。2现在学习的是第2页，共24页【例例1.12】1)开集开集因为对于任意的因为对于任意的z0 G，z0的邻域的邻域 在在G中中.2)闭集闭集因因为为它的余集它的余集是开集是开集.3

3、现在学习的是第3页，共24页1.3.2 1.3.2 区域区域 u当平面点集当平面点集D满足下列两个条件时，则称为一个区域：满足下列两个条件时，则称为一个区域：lD是一个开集；是一个开集；lD是是连连通通的的，即即D中中任任何何两两点点都都可可以以用用完完全属于全属于D的一条折线连接起来的一条折线连接起来.u区域就是区域就是连通开集连通开集。u区域区域D与它的边界一起构成闭区域，记作与它的边界一起构成闭区域，记作 .因此因此 4现在学习的是第4页，共24页【例例1.13】说出下列各式所表示的点集是怎样的图形，并指出哪些说出下列各式所表示的点集是怎样的图形，并指出哪些是区域是区域(1)(2)(3)

4、解：解：(1)设设则则所以所以即即l 表示右半平面，是一个区域表示右半平面，是一个区域.因为因为(2)所以所以即即l表示以表示以-2+i为中心，以为中心，以1为半径的圆周为半径的圆周连同其外部区域连同其外部区域,是一个闭区域是一个闭区域.5现在学习的是第5页，共24页(3)是介于两射线是介于两射线及及之间的一个三角形区域之间的一个三角形区域 6现在学习的是第6页，共24页1.3.3 1.3.3 平面曲线平面曲线 令令 l 平面曲线可以用一对连续的实变函数表示平面曲线可以用一对连续的实变函数表示 曲线的参数方程曲线的参数方程 u 则曲线可以用一个方程表示则曲线可以用一个方程表示 平面曲线的复数表

5、示式平面曲线的复数表示式 u除了参数表示以外，通常还用点除了参数表示以外，通常还用点z所满足的关系式表示曲线所满足的关系式表示曲线.例如例如:表示以表示以z0为中心，以为中心，以a为半径的圆周为半径的圆周.7现在学习的是第7页，共24页u设设C:z=z(t)(atb)为一条连续曲线，为一条连续曲线，z(a)与与z(b)分别称为分别称为C的起点的起点与终点，对于满足与终点，对于满足at1-1 2)得得由由化简得化简得 因此，因此，表示的是椭圆表示的是椭圆 的内部的内部(包含椭包含椭圆圆)，是有界单连通的闭区域，是有界单连通的闭区域.因此，因此，表示的是直线表示的是直线x=-1右边的区域右边的区域

6、(不不含直线含直线x=-1)，是无界单连通区域，是无界单连通区域.10现在学习的是第10页，共24页3)可写成可写成 化简得化简得 即即 因此，因此，表示的是以表示的是以(2,-1)为圆心，为圆心，3为为半径的圆周及其内部，这是一个有界单连通闭区域半径的圆周及其内部，这是一个有界单连通闭区域.11现在学习的是第11页，共24页【例例1.15】求满足关系式求满足关系式 ()的点的点 的集合的集合G。若。若G为一区域，则指明它是为一区域，则指明它是单连通域还是多连通域单连通域还是多连通域 解解:由由，可知可知，于是所给的关系式于是所给的关系式 变为变为 即即 l是一个单连通域是一个单连通域 12现

7、在学习的是第12页，共24页1.4 1.4 无穷大与复球面无穷大与复球面 1.4.1 1.4.1 无穷远点无穷远点 u无穷大无穷大记为记为，由下式来定义，由下式来定义 u 无穷大无穷大和和有限数有限数的四则运算定义为的四则运算定义为，(加法加法)(减法减法)(乘法乘法)(除法除法)()()()()注意注意:，都无意义都无意义.13现在学习的是第13页，共24页u复数复数的模的模规定为规定为+，即，即 ，而实部、虚部和辐角均没有意，而实部、虚部和辐角均没有意义义.u其它的每一个复数其它的每一个复数z，都有，都有 ，相比较而言称，相比较而言称z为有限复数为有限复数.u在复平面上没有一点与在复平面上

8、没有一点与相对应，但可设想复平面上有一相对应，但可设想复平面上有一理想点与它对应，此点称为理想点与它对应，此点称为无穷远点无穷远点.u复平面加上无穷远点称为复平面加上无穷远点称为扩充复平面扩充复平面.n包括无穷远点自身在内且满足包括无穷远点自身在内且满足 (实数实数M0)的所有点的集合，的所有点的集合，称为称为无穷远点的邻域无穷远点的邻域.n不包括无穷远点自身在内，仅满足不包括无穷远点自身在内，仅满足 的所有点的集合，的所有点的集合，称为称为无穷远的去心邻域无穷远的去心邻域.表示为表示为包括无穷远点自身在内的圆周包括无穷远点自身在内的圆周 的外部的外部.14现在学习的是第14页，共24页1.4

9、.2 1.4.2 复球面复球面 u可用球面上的点来表示复数可用球面上的点来表示复数 15现在学习的是第15页，共24页1.5 1.5 复变函数复变函数 1.5.1 1.5.1 复变函数的定义复变函数的定义 定义定义 设设G是一个复数是一个复数z=x+iy的集合。如果有一个确定的法则存的集合。如果有一个确定的法则存在，按照这一法则，对于集合在，按照这一法则，对于集合G中的每一个复数中的每一个复数z，就有，就有一个或几个复数一个或几个复数w=u+iv与之对应，那么称复变数与之对应，那么称复变数w是复变是复变数数z的函数的函数(简称复变函数简称复变函数)，记作，记作 l如果对每个如果对每个z G，有

10、唯一的，有唯一的w同它对应，则称同它对应，则称w=f(z)为为单值函单值函数数.否则称为否则称为多值函数多值函数.l集合集合G称为称为f(z)的的定义集合定义集合，即，即定义域定义域；对应于；对应于G中所有中所有z的一的一切切w值所成的集合值所成的集合G*，称为，称为函数值集合函数值集合，也称为，也称为值域值域.16现在学习的是第16页，共24页u设设z=x+iy，则，则w=f(z)可以写成可以写成 其中其中u(x,y)与与v(x,y)为实值函数为实值函数 n一个复变函数就相当于一对二元实变函数一个复变函数就相当于一对二元实变函数.【例例1.16】将定义在全平面除去坐标原点的区域上的一对二元将

11、定义在全平面除去坐标原点的区域上的一对二元实变函数化为一个复变函数实变函数化为一个复变函数 ，()解：解：记记，则则 将将，代入上式代入上式 经整理后得经整理后得(z0)17现在学习的是第17页，共24页1.5.2 1.5.2 复变函数的极限与连续性复变函数的极限与连续性 1.1.函数的极限函数的极限定义定义 设函数设函数w=f(z)在在z0的去心邻域的去心邻域 内有定义，若有确内有定义，若有确定的复数定的复数A(A)存在，对于任意给定的存在，对于任意给定的 0,总存在一个正数总存在一个正数，使得对满足，使得对满足 (0 )的一切的一切z，都有，都有 则称则称A为函数为函数f(z)当当z趋于趋

12、于z0时的时的极限极限。(当当 时时)或或记作记作18现在学习的是第18页，共24页注意注意：定义中定义中z趋于趋于z0的方式是任意的的方式是任意的.即即:无论无论z从什么方向从什么方向,以何种以何种方式趋向于方式趋向于z0，f(z)都要趋向于同一个常数都要趋向于同一个常数A.定理一定理一 设函数设函数 则则,的的充要条件充要条件是是 ,u关于含关于含的极限可作如下定义的极限可作如下定义(为有限复数为有限复数)（定理的证明略）（定理的证明略）19现在学习的是第19页，共24页定理二定理二 如果如果 ,那么那么 1)2)3)20现在学习的是第20页，共24页【例例1.17】证明函数证明函数 当当

13、 时的极限不存在时的极限不存在 证证 令令 则则 由此得由此得 令令z沿直线沿直线y=kx趋于零，则有趋于零，则有 显然，它随显然，它随k的不同而不同，所以的不同而不同，所以 不存在不存在 虽然虽然 ，但根据定理一，但根据定理一，不存在不存在 21现在学习的是第21页，共24页【例例1.18】问函数问函数 在在z=0有无极限？有无极限？解：解：f(z)的定义域是全平面除去的定义域是全平面除去z=0的区域的区域 当当z0时，设时，设 ，则，则 考虑从考虑从z=0出发方向角为出发方向角为 0的射线的射线l 0，有，有 显然，对于不同的显然，对于不同的 0，上述极限不同，上述极限不同.所以，在所以，

14、在z=0，f(z)不存在极限不存在极限.22现在学习的是第22页，共24页2.2.函数的连续性函数的连续性 定义定义 如果如果 成立，则称成立，则称f(z)在在z0处连续处连续.如果如果f(z)在区域在区域D中的每一点连续，则称中的每一点连续，则称f(z)在区域在区域D内连续内连续.定理三定理三 函数函数 在在 处处连续的充要条件连续的充要条件是是 与与 在在 处处连续连续.例如例如:函数函数 在复平面内除原点外处处连续在复平面内除原点外处处连续.因为因为 除原点外是处处连续的，除原点外是处处连续的，而而 在复平面内是处处连续的在复平面内是处处连续的.l由定理二和定理三，还可推得下面的定理四由

15、定理二和定理三，还可推得下面的定理四.23现在学习的是第23页，共24页定理四定理四 u在在z0连续的两个函数连续的两个函数f(z)与与g(z)的和、差、积、商的和、差、积、商(分母在分母在z0不不为零为零)在在z0处仍连续；处仍连续；u如果如果h=g(z)在在z0连续，函数连续，函数w=f(h)在在h0=g(z0)连续，那么复合连续，那么复合函数函数w=f g(z)在在z0处连续处连续.n有理整函数有理整函数(多项式多项式)(n为正整数为正整数)可推得可推得对复平面上所有对复平面上所有z都是连续的都是连续的.n 有理分式函数有理分式函数 除分母为除分母为0的点外在复平面上也处处连续的点外在复平面上也处处连续.24现在学习的是第24页，共24页