积分变换第一章课件1.ppt

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1、一、一、FourierFourier级数级数二、二、FourierFourier积分定理积分定理三、小结三、小结第第3 3页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第3 3页页 一个以一个以T T 为周期的函数为周期的函数f fT T( (t t),),如果在如果在 上满足上满足DirichletDirichlet条件条件, , 即在区间即在区间 上满足上满足: :,22TT ,22T T ,22TT 1. Fourier1. Fourier级数展开级数展开 1) 1) 连续或只有有限个第一类间断点连续或只有有限个第一类间断点; ; 2) 2) 只有有限个极值点只有有限个极值点. . 则在

2、区间则在区间 可以展开成可以展开成FourierFourier级数级数. .第第4 4页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第4 4页页 在在f fT T( (t t) )的连续点处的连续点处, , 级数的三角形式如下级数的三角形式如下: : 其其中中，2T 01( )(cossin)2Tnnnaftantbnt 2.Fourier2.Fourier级数的三角形式级数的三角形式222( )sind1,2,3,（) )TTnTbf tn t tnT 222( )cosd1,2,3, （) )TTnTaftn ttnT 2202( )dTTTafttT 第第5 5页页主页主页上一页上一页下

3、一页下一页退出退出第第5 5页页 01(0)(0)cossin22TTnnnaftftan tbn t t在间断点 处成立： 01(0)(0)cossin22( )TTnnnTftftaan tbn tft 即即2.Fourier2.Fourier级数的三角形式级数的三角形式第第6 6页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第6 6页页1 1) ) 级数复指数表示形式级数复指数表示形式: :在在其其连连续续点点处处，利利用用E Eu ul le er r公公式式：jjjjcos,sinj22 e ee ee ee e01( )(cossin)2Tnnnaftan tbn t jjjj01

4、j222n tn tn tn tnnnaab e ee ee ee e2.Fourier2.Fourier级数的三角形式级数的三角形式第第7 7页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第7 7页页eeeejj01jj222n tn tnnnnnaabab 如如果果令令 ，22001( )d2TTTacfttT 1)1)级数复指数表示形式级数复指数表示形式系数的确定系数的确定第第8 8页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第8 8页页j jj jj je ej je e22221( )d (1,2,3,)21( )d (1,2,3,)2TTTTn tnnnTn tnnnTabcft

5、t nTabcftt nT 221( )d (1, 2, 3,)TTn tnTcftt nT j je e1)1)级数复指数表示形式级数复指数表示形式第第9 9页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第9 9页页若令若令 (n=0, 1, 2, ),01( )nnntttTnnnnnf tcccc j jj jj je ee ee e级数的复指数表示级数的复指数表示2211( )( )dTnnTttTTnftfTT j jj je ee e1) 1) 级数复指数表示形式级数复指数表示形式nn 第第1010页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第1010页页001(0)(0)2TT

6、ftft 在在其其间间断断点点 处处，0tjjjjeeee2211( )dTnnTttTnfTT 1)1)级数复指数表示形式级数复指数表示形式ntnnc j je e第第1111页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第1111页页1)1)级数复指数表示形式级数复指数表示形式2211( )dTnnTttTnfTT j jj je ee e即即001(0)(0)2( )TTTftftft 第第1212页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第1212页页2)2)级数正弦和余弦表示形式级数正弦和余弦表示形式01( )cos()22TnnnaftCn t 01( )sin()2Tnnna

7、ftCn t 级数正弦表示形式级数正弦表示形式: :级数余弦表示形式级数余弦表示形式22,arctannnnnnnaCabb 第第1313页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第1313页页 任何一个非周期函数任何一个非周期函数f f( (t t) )都可以看成是由都可以看成是由某个周期函数某个周期函数f fT T( (t t) )当当T T+ + 时转化而来的时转化而来的. . 作作周期为周期为T T的函数的函数f fT T( (t t) ), ,使其在使其在 之内等于之内等于f(t), 而在而在 之外按周期之外按周期T T延拓到整个数轴上延拓到整个数轴上, ,显然显然, , T T

8、 越大越大, ,f fT T( (t t) )与与f f( (t t) )相等的范围也越大相等的范围也越大, , 这就说明当这就说明当T T+ + 时时 周期函数周期函数f fT T( (t t) )便可转化便可转化为为f f( (t t) ), , 即有即有lim( )( )TTftf t 二、二、FourierFourier积分定理积分定理1)Fourier1)Fourier积分公式积分公式,22TT ,22TT 第第1414页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第1414页页)(tft)(tfTt)(tfTt2/T 2/T)(lim)(tftfTT 非周期函数可以看成是一个周期为

9、无非周期函数可以看成是一个周期为无穷穷大的大的“周期函数周期函数”第第1515页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第1515页页e ee e，22jj1( )( )dTnnTtTTnftfT e ee e22jj1( )lim( )dTnnTtTTnf tfT 令令 ，由由1) Fourier1) Fourier积分公式积分公式第第1616页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第1616页页 当当 取取一一切切整整数数时时所所对对应应的的点点便便均均匀匀分分布布在在整整个个数数轴轴上上 两两个个相相邻邻的的点点的的距距离离为为,nn 或或12,nnnnTT 1. Fourie

10、r1. Fourier积分公式积分公式第第1717页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第1717页页22jj01( )lim( )d2TnnTntTnnf tf e ee e 0nT 则则当当 ，时时，22jj1( )lim( )dTnnTtTTnf tfT eeee1. Fourier1. Fourier积分公式积分公式第第1818页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第1818页页22jj1( )d2TnnTtTnf eeee是是参参数数为为的的函函数数， 当当 固固定定时时，t22jj1()( )d2TnnTtTnTf e ee e ()Tn 记记作作，即即1. Fou

11、rier1. Fourier积分公式积分公式第第1919页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第1919页页22jj01( )lim( )d2TnnTntTnnf tf e ee e 0( )lim()nTnnnft ()Tn 利利用用，1. Fourier1. Fourier积分公式积分公式第第2020页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第2020页页0,()()nTnnT 当当即即时时jj1()( )d2nntnf 又又e ee e ()dnnf t 则则（ ）= =，( )df t 即即（ ）= =，1. Fourier1. Fourier积分公式积分公式第第2121页

12、页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第2121页页FourierFourier积分公式积分公式1d2tf tf jjjj（ ）= =（ ） edeede 得得1). Fourier1). Fourier积分公式积分公式第第2222页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第2222页页若若 f(t) 在在(-(- , +, + ) )上满足下列条件上满足下列条件: :1) 1) f(t) 在任一有限区间上满足在任一有限区间上满足DirichletDirichlet条件条件; ;2)2)f(t) 在无限区间在无限区间(-(- , +, + ) )上绝对可积上绝对可积. .则有则有（在

13、在绝绝对对可可积积即即收收敛敛）(,)|( )|df tt 2. Fourier2. Fourier积分定理积分定理 一个非周期函数在什么条件下一个非周期函数在什么条件下, ,可以用可以用 FourierFourier积分公式来表示积分公式来表示, ,有下面的收敛定理有下面的收敛定理. .定理定理:第第2323页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第2323页页jj1( )( )dd2tf tf e ee e FourierFourier积分公式的复数形式积分公式的复数形式成成立立. .2. Fourier2. Fourier积分定理积分定理第第2424页页主页主页上一页上一页下一页下

14、一页退出退出第第2424页页 如如果果左左端端的的在在它它的的间间断断点点 处处 应应以以来来代代替替( ),(0)(0).2f ttf tf tjj(0)(0)1( )dd22tf tf tf e ee e 即即2. Fourier2. Fourier积分定理积分定理第第2525页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第2525页页3. Fourier3. Fourier积分公式的三角形式积分公式的三角形式利利用用E Eu ul le er r公公式式，有有jjj()1( )( )dd21( )dd2ttf tff e ee e e e 1( )cos()d2( )sin()ftft

15、j jd dd d第第2626页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第2626页页1( )( )cos()dd2f tft ( )sin(),ft 又又d d 是是 的的奇奇函函数数故故得得01( )( )cos()ddf tft ( )cos(),ft 又又d d 是是 的的偶偶函函数数故故又又得得FourierFourier积分公式的三角形式积分公式的三角形式3. Fourier3. Fourier积分公式的三角形式积分公式的三角形式第第2727页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第2727页页 当当 为奇函数时为奇函数时, ,利用三角函数的和利用三角函数的和差公式差公式

16、, ,有有 fx01( )( )cos()ddf tft 01( )( ) coscosf tft 3. Fourier3. Fourier积分公式的三角形式积分公式的三角形式 sinsinddt 第第2828页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第2828页页 由于由于 为为奇函数奇函数, ,则则 和和 分别是关于分别是关于 的奇函数和偶函数的奇函数和偶函数, ,因此因此( )cosf( )sinf fxFourierFourier正弦积分公式正弦积分公式002( )( )sinsindf tft d d 当当 为偶函数时为偶函数时, ,同理可得同理可得 fx002( )( )cos

17、dcosdf tft FourierFourier余弦积分公式余弦积分公式4. Fourier4. Fourier正弦和余弦积分公式正弦和余弦积分公式第第2929页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第2929页页 特别地特别地, ,如果如果 仅在仅在 上有定上有定义义, ,且满足且满足FourierFourier积分公式存在定理的条件积分公式存在定理的条件, ,我我们可以采用类似于们可以采用类似于FourierFourier级数中奇延拓或者偶级数中奇延拓或者偶延拓的方法延拓的方法, ,得到得到 相应的相应的FourierFourier正弦积分正弦积分展开式或展开式或FourierFo

18、urier余弦积分展开式余弦积分展开式. .( )f t，(0) ( )f t注意注意: :第第3030页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第3030页页jj1( )( )dd2tf tf eeee 1j11cossindd2ttt jeje 11( )0tf t ， 求求函函数数 的的FourierFourier积积分分表表达达式式. .， 其其他他根根据据FourierFourier积积分分公公式式的的复复数数形形式式，有有第第3131页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第3131页页1j01cosddtt e e 1sincossindtt j j 02sincosd

19、1 tt 第第3232页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第3232页页( 10)( 10)122ff f t（ ）为为偶偶函函数数，根根据据FourierFourier余余弦弦积积分分公公式式，012sincosd112（ ）， ， f tttt 当当时时，1t 有有f t（ ）应应以以代代替替. .第第3333页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第3333页页012sincosd1401 ， ， ， tttt 即即第第3434页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第3434页页0t 当当时时，有有DirichletDirichlet积分积分 f t由由上上可可以

20、以看看出出，利利用用的的F Fo ou ur ri ie er r积积分分表表达达式式，可可以以推推证证一一些些广广义义积积分分. .0sind2 第第3535页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第3535页页本节学习了本节学习了接下来学习接下来学习 本节从周期函数本节从周期函数的的FourierFourier级数展开出级数展开出发发,讨论了非周期函数讨论了非周期函数的的FourierFourier积分公式及积分公式及收敛定理收敛定理. FourierFourier变换的变换的定义定义,单位脉冲函数单位脉冲函数的的FourierFourier变换及非变换及非周期函数的频谱周期函数的频谱.三、小结三、小结第第3636页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第3636页页练习练习: : 1,0,taf tta 将函数将函数展开成三角形式的展开成三角形式的Fourier积分积分.