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1、一一、微分、积分方程的微分、积分方程的FourierFourier变换解法变换解法二二、偏微分方程的偏微分方程的FourierFourier变换解法变换解法三三、小结小结第第3 3页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第3 3页页一、微分、积分方程的一、微分、积分方程的FourierFourier变换解法变换解法象原函数象原函数(方程的解)(方程的解)象函数象函数象函数的象函数的代数方程代数方程微分、积微分、积分方程分方程解代数方程解代数方程取取FourierFourier变换变换取取FourierFourier逆变换逆变换第第4 4页页主页主页上一页上
2、一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第4 4页页因为该积分方程可以改写为因为该积分方程可以改写为求积分方程求积分方程第第5 5页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第5 5页页变换变换,有有第第6 6页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第6 6页页数数变换变换设设对方程的两端取对方程的两端取FourierFourier变换变换,由卷积定理得由卷积定理得求积分方程求积分方程第第7 7页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第7 7页页取取FourierFo
3、urier逆变换逆变换,求得积分方程的解求得积分方程的解第第8 8页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第8 8页页求常系数非齐次线性微分方程求常系数非齐次线性微分方程的解的解,为已知函数为已知函数.设设 利用利用FourierFourier变换的性质变换的性质,对方程的两端取对方程的两端取FourierFourier变换变换,得得第第9 9页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第9 9页页第第1010页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1010页页构成一个构成一个Fou
4、rierFourier变换对变换对.由卷积定理得由卷积定理得 第第1111页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1111页页求微分积分方程求微分积分方程均为常数均为常数.设设 利用利用FourierFourier变换的性质变换的性质,对方程的两端取对方程的两端取FourierFourier变换变换,得得第第1212页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1212页页取取FourierFourier逆变换逆变换,得得第第1313页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1313
5、页页二、偏微分方程的二、偏微分方程的FourierFourier变换解法变换解法为了叙述方便为了叙述方便 ,规定规定:1)1)对对 及其偏导数及其偏导数 作为作为 的的一元函数取一元函数取FourierFourier变换时变换时,都满足都满足FourierFourier变换中变换中微分性质的条件微分性质的条件;2)2)关于关于t t取取FourierFourier变换时变换时,允许导允许导数运算与积分运算交换次序数运算与积分运算交换次序.第第1414页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1414页页利用利用FourierFourier变换求解定解问题变
6、换求解定解问题:第第1515页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1515页页对方程及初始条件取对方程及初始条件取FourierFourier变换变换,有有第第1616页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1616页页问题转化为求解常微分方程的初值问题问题转化为求解常微分方程的初值问题:第第1717页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1717页页得方程的通解为得方程的通解为由方程的初始条件得由方程的初始条件得第第1818页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分
7、变换积分变换积分变换积分变换第第1818页页常微分方程的初值问题的解为常微分方程的初值问题的解为第第1919页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1919页页 对上述解取对上述解取FourierFourier逆变换逆变换,求得原定解问题求得原定解问题的解的解:第第2020页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2020页页第第2121页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2121页页 利用利用FourierFourier变换求解定解问题变换求解定解问题:对方程及初始条件取
8、对方程及初始条件取FourierFourier变换变换,有有第第2222页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2222页页问题转化为求解常微分方程的初值问题问题转化为求解常微分方程的初值问题:第第2323页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2323页页得方程的通解为得方程的通解为 对上述解取对上述解取FourierFourier逆变换逆变换,第第2424页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2424页页根据卷积性质根据卷积性质,求得原定解问题的解求得原定解问题的解:第
9、第2525页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2525页页第第2626页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2626页页利用利用FourierFourier变换求解定解问题变换求解定解问题:第第2727页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2727页页对方程及边界条件取对方程及边界条件取FourierFourier变换,有变换,有第第2828页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2828页页问题转化为求解常微分方程的边值问题问
10、题转化为求解常微分方程的边值问题:第第2929页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2929页页得方程的通解为得方程的通解为代入边界条件得代入边界条件得边值问题的解为边值问题的解为第第3030页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第3030页页对上式取对上式取FourierFourier逆变换逆变换,得得根据卷积性质根据卷积性质,求得原定解问题的解求得原定解问题的解:第第3131页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第3131页页 第第3232页页主页主页上一页上一页下一页
11、下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第3232页页求解定解问题求解定解问题:第第3333页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第3333页页对方程及初始条件取对方程及初始条件取FourierFourier变换,有变换,有第第3434页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第3434页页问题转化为求解常微分方程的初值问题问题转化为求解常微分方程的初值问题:第第3535页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第3535页页得方程的通解为得方程的通解为 对上式取对上式取Fo
12、urierFourier正弦逆变换正弦逆变换,得得因此因此,原定解问题的解为原定解问题的解为第第3636页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第3636页页第第3737页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第3737页页第第3838页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第3838页页三、三、小结小结总结总结FourierFourier变换解数理方程的优缺点变换解数理方程的优缺点.深入阅读深入阅读:数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 (第三版第三版),东南大东南大学学,高等教育出版社高等教育出版社