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1、几何概型几何概型(2)(2)2021/8/8 星期日1知识回顾知识回顾 对于一个随机试验对于一个随机试验,将每一个基本事件理将每一个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一个点被取到的机会都一样该区域中每一个点被取到的机会都一样;而一而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内某个指定区域中的点内某个指定区域中的点,用这种方法处理随机用这种方法处理随机试验试验,称为称为几何概型几何概型(区域可以是线段区域可以是线段,平面图平面图形形,立体图形等立体图形等).).1.概念概念2021/8/8 星
2、期日2知识回顾知识回顾2.2.意义意义 每个事件发生的概率只与构成该事件区每个事件发生的概率只与构成该事件区域的测度成正比例域的测度成正比例.3.3.特征特征（1 1）试验中所有可能出现的基本事件为）试验中所有可能出现的基本事件为无限个无限个;（2 2）每一个基本事件发生的）每一个基本事件发生的可能性都相等可能性都相等.2021/8/8 星期日3知识回顾知识回顾4.4.古典概型与几何概型的区别古典概型与几何概型的区别相同点相同点：每一个基本事件出现的可能性都相等：每一个基本事件出现的可能性都相等.不同点不同点：古典概型中基本事件为有限个：古典概型中基本事件为有限个;几何概型中基本事件为无限个几
3、何概型中基本事件为无限个.2021/8/8 星期日45.5.几何概型中，事件几何概型中，事件A A的概率的计算公式：的概率的计算公式：一般地，在几何区域一般地，在几何区域D D中随机取一点，记事中随机取一点，记事件件“该点落在其内部一个区域该点落在其内部一个区域d d内内”为事件为事件A A，则则知识回顾知识回顾2021/8/8 星期日5基础练习基础练习 1.1.取一根长为取一根长为2020米的绳子米的绳子,拉直后在任意位拉直后在任意位置剪断置剪断,那么剪得两段的长都不少于那么剪得两段的长都不少于4 4米的概率米的概率为为.2.2.在区间在区间0,1000,100内的所有实数中内的所有实数中,
4、随机取一随机取一个实数个实数a,a,则则a a不大于不大于2020的概率是的概率是.3.3.在万平方公里的海域中有平方公里在万平方公里的海域中有平方公里的大陆架贮藏着石油假如在海域中任意一点的大陆架贮藏着石油假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是钻探，钻到油层面的概率是.2021/8/8 星期日6基础练习基础练习 5.5.在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的面的面ABCDABCD内任取内任取一点一点S,S,作四棱锥作四棱锥S-AS-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1,在正方体内随机在正方体内随机取一点取一点M,M,则点则点M M落
5、在四棱锥落在四棱锥S-AS-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1内部的内部的概率是概率是.4.4.如图如图,靶子是由三个半径分别靶子是由三个半径分别为为R,2R,3RR,2R,3R的同心圆组成的同心圆组成,如果向靶如果向靶子随机地掷一个飞镖子随机地掷一个飞镖(命中命中),),命中区命中区域域、的概率分别为的概率分别为P P1 1、P P2 2、P P3 3，则，则P P1 1：P P2 2：P P3 3=.2021/8/8 星期日7典型例题典型例题 1.1.在长为在长为18cm18cm的线段的线段BCBC上任取一点上任取一点P,P,并以线并以线段段BPBP为边长作正方形为边长作正方形,
6、求正方形的面积介于求正方形的面积介于16cm16cm2 2与与225cm225cm2 2之间的概率之间的概率.2021/8/8 星期日8典型例题典型例题 2.2.设有一个正方形网格，其中每个最小正方设有一个正方形网格，其中每个最小正方形的边长都等于现用直径等于形的边长都等于现用直径等于2 2的的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线有公硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线有公共点的概率共点的概率6cm2021/8/8 星期日9典型例题典型例题3.(1)3.(1)在半径为在半径为1 1的圆周上任取两点，连成一条弦的圆周上任取两点，连成一条弦，问其长超过该圆的内接正三角形边长的概率为，问其长超过
7、该圆的内接正三角形边长的概率为多少？多少？（2 2）在半径为）在半径为1 1的圆周的一条直径上任取一点，的圆周的一条直径上任取一点，以该点作垂直与直径的弦，问其长超过该圆的内以该点作垂直与直径的弦，问其长超过该圆的内接正三角形边长的概率为多少？接正三角形边长的概率为多少？（3 3）在半径为）在半径为1 1的圆内任取一点，以该点为中点的圆内任取一点，以该点为中点作一条弦，问其长超过该圆的内接正三角形边长作一条弦，问其长超过该圆的内接正三角形边长的概率为多少？的概率为多少？2021/8/8 星期日10典型例题典型例题 4.4.甲甲,乙两人约定于乙两人约定于6 6点到点到7 7点之间在某地会面点之间
8、在某地会面,并并约定先到者应候另一个人一刻钟约定先到者应候另一个人一刻钟,否则即可离去否则即可离去,求这求这两个人能见面的概率两个人能见面的概率.解解:设设x x和和y y分别表示甲分别表示甲,乙两人到达约会地点的时乙两人到达约会地点的时间间,则这两个人能够会面的条件是则这两个人能够会面的条件是|x-y|15.|x-y|15.在平面在平面上建立直角坐标系上建立直角坐标系,则则(x,y)(x,y)的所有基本事件可以看作的所有基本事件可以看作是边长为是边长为6060的正方形的正方形,而可能会面的时间由图中的阴而可能会面的时间由图中的阴影部分表示影部分表示.故故P(A)=(60P(A)=(602 2
9、-45-452 2)/60)/602 2=7/16.=7/16.15151515606060600 0 x xy y变式变式:在长度为在长度为a a的线段上任意的线段上任意取两个点取两个点,求这两个点的距离求这两个点的距离大于大于b(ba)b(ba)的概率的概率.2021/8/8 星期日11课堂练习课堂练习 1.1.某人从甲地去乙地路程为某人从甲地去乙地路程为500m,500m,途中有一途中有一条宽为条宽为xmxm的河的河,该人不小心把一件物品丢在途该人不小心把一件物品丢在途中中,若物品掉在河里就找不到了若物品掉在河里就找不到了,若物品没有掉若物品没有掉在河里就能找到在河里就能找到,已知该物品
10、能找到的概率为已知该物品能找到的概率为0.8,0.8,则这条河宽为则这条河宽为m.m.2.2.在正六边形在正六边形ABCDEFABCDEF中中,以以A A为起点作射线为起点作射线AMAM交正六边形的边于点交正六边形的边于点M,M,求求AMACAMAC的概率的概率.ABCDEF2021/8/8 星期日12课堂练习课堂练习3.3.设任意设任意ABCABC的面积为的面积为S,DS,D为为ABCABC内任一点内任一点,求求使使DBCDBC和和DACDAC的面积都不小于的面积都不小于S/3S/3的概率的概率.ABC2021/8/8 星期日13课堂练习课堂练习 4.4.在一个边长为在一个边长为3cm3cm
11、的正方形内部画一个边长的正方形内部画一个边长为为2cm2cm的正方形，向大正方形内随机投点，求所的正方形，向大正方形内随机投点，求所投的点落入小正方形内的概率投的点落入小正方形内的概率.3cm 在这个问题中，试讨论所投的点落在小在这个问题中，试讨论所投的点落在小正方形上的概率是多少？正方形上的概率是多少？问问(1).若若P(A)=0,则则A是不可能事件是不可能事件.对对吗吗?问问(2).若若P(A)=1,则则A是必然事件是必然事件.对吗对吗?2021/8/8 星期日14课堂小结课堂小结几何概型的意义和特点几何概型的意义和特点;1 1 意义意义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区如果每个事件
12、发生的概率只与构成该事件区 域的测度成正比例域的测度成正比例,则称这概率模型为几何概型则称这概率模型为几何概型.2 2 特点特点:(1)(1)实验中所有可能出现的基本事件有无穷多个实验中所有可能出现的基本事件有无穷多个;(2)(2)每个基本事件发生的概率都相等每个基本事件发生的概率都相等.3 3 古典概型与几何概型的区别古典概型与几何概型的区别 相同点相同点:每一个基本事件发生的概率都相等每一个基本事件发生的概率都相等;不同点不同点:古典概型中基本事件有有限个古典概型中基本事件有有限个,几何概型中基本事件有无限个几何概型中基本事件有无限个.4 4 几何概型的事件几何概型的事件A A的计算公式的
13、计算公式:构成事件构成事件A A的区域测度的区域测度 P(A)=P(A)=试验的全部结果构成的区域测度试验的全部结果构成的区域测度2021/8/8 星期日15课堂小结课堂小结用几何概型解简单事件的概率问题的方法用几何概型解简单事件的概率问题的方法1 1 适当选择观察角度适当选择观察角度,转化为几何概型转化为几何概型,2 2 把基本事件转化为与之对应的区域把基本事件转化为与之对应的区域D,D,3 3 把随机事件把随机事件A A转化为与之对应的区域转化为与之对应的区域d,d,4 4 利用公式计算概率利用公式计算概率.注意：注意：如果事件如果事件A A的区域不好处理的区域不好处理,可以用对立事件来求可以用对立事件来求 (我们将在以后再介绍我们将在以后再介绍)要注意基本事件是等可能的。要注意基本事件是等可能的。2021/8/8 星期日162021/8/8 星期日17