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1、 实验二实验二 极限与连续极限与连续1.1.通过计算与作图，加深对数列极限及函数极通过计算与作图，加深对数列极限及函数极限概念的理解。限概念的理解。2.2.掌握用掌握用MATLABMATLAB计算极限的方法。计算极限的方法。3.3.深入理解函数的连续与间断。深入理解函数的连续与间断。实验目的实验目的 syms xlimit(f,x,a)：计算当变量计算当变量计算当变量计算当变量x x x x趋近于常数趋近于常数趋近于常数趋近于常数a a a a时，函数时，函数时，函数时，函数f f f f的极限值。的极限值。的极限值。的极限值。limit(f,x,a,right)：求函数求函数求函数求函数f
2、f的极限值。的极限值。的极限值。的极限值。rightright表示变量表示变量表示变量表示变量x x从右边趋近于从右边趋近于从右边趋近于从右边趋近于a a。limit(f,x,a,left)：求函数求函数求函数求函数f f的极限值。的极限值。的极限值。的极限值。leftleft表示变表示变表示变表示变量量量量x x从左边趋近于从左边趋近于从左边趋近于从左边趋近于a a。limit(f,x,+inf)：计算当变量计算当变量计算当变量计算当变量x x趋于正无穷大时，函数趋于正无穷大时，函数趋于正无穷大时，函数趋于正无穷大时，函数f f的极的极的极的极限值。限值。限值。限值。limit(f,x,-i
3、nf)：计算当变量计算当变量计算当变量计算当变量x x趋于负无穷大时，函数趋于负无穷大时，函数趋于负无穷大时，函数趋于负无穷大时，函数f f的极限值。的极限值。的极限值。的极限值。limit调用格式 n=1:100;n=1:100;xn=n./(n+1);xn=n./(n+1);plot(n,xn,plot(n,xn,rd)rd)sums nsums n limit(n/(n+1),n,inf)limit(n/(n+1),n,inf)输出为输出为 ans=ans=1 1例例1.1.观察数列观察数列 ,n ,n时的极限。时的极限。例例2.2.求求arctanxarctanx当当 和和 时的极限，
4、求时的极限，求arctan1/xarctan1/x当当 时的左、右极限。时的左、右极限。syms xsyms xlimit(atan(x),x,+inf)limit(atan(x),x,+inf)limit(atan(x),x,-inf)limit(atan(x),x,-inf)limit(atan(1/x),x,0,right)limit(atan(1/x),x,0,right)limit(atan(1/x),x,0,left)limit(atan(1/x),x,0,left)ezplot(ezplot(atan(x)atan(x),-50,50),-50,50)输出为输出为1/2*pi,-
5、1/2*pi,1/2*pi,-1/2*pi1/2*pi,-1/2*pi,1/2*pi,-1/2*pi syms x limit(sin(x)/x,x,0)ezplot(sin(x)/x,-pi,pi)输出为ans=1 例例例例3 3 3 3计算计算计算计算x=1:20:1000;y=(1+1./x).x;plot(x,y)syms x limit(1+1/x)x,x,+inf)输出为输出为ans=ans=exp(1)exp(1)ezplot(1+1/x)x,1,1000)例例4.4.考察考察f(x)=(1+1/x)f(x)=(1+1/x)x x,当当x+x+时的变化趋势。时的变化趋势。x+x+
6、时，函数值与某常数无限接近，这个常时，函数值与某常数无限接近，这个常数就是数就是e e例例5 5研究函数的研究函数的 连续性并画出连续性并画出syms xsyms xlimit(x3+3*x2-x-3)/(x2+x-6),x,-3)limit(x3+3*x2-x-3)/(x2+x-6),x,-3)limit(x3+3*x2-x-3)/(x2+x-6),x,2)limit(x3+3*x2-x-3)/(x2+x-6),x,2)fplot(x3+3*x2-x-3)/(x2+x-6),-4,5)fplot(x3+3*x2-x-3)/(x2+x-6),-4,5)输出为输出为输出为输出为ans=ans=-
7、8/5 -8/5 ans=ans=NaN NaN 函数的图形。函数的图形。由图可知：由图可知：由图可知：由图可知：x=-3x=-3x=-3x=-3是函数的可去间断点，是函数的可去间断点，是函数的可去间断点，是函数的可去间断点，x=2x=2x=2x=2是是是是函数的无穷间断点。函数的无穷间断点。函数的无穷间断点。函数的无穷间断点。输出为输出为输出为输出为ans=NaN例例6 6研究函数研究函数 连续性并画出连续性并画出函数的图形。函数的图形。syms xsyms xlimit(exp(1/x)-1)/(exp(1/x)+1),x,0)limit(exp(1/x)-1)/(exp(1/x)+1),
8、x,0)ezplot(exp(1/x)-1)/(exp(1/x)+1),-2,2)ezplot(exp(1/x)-1)/(exp(1/x)+1),-2,2)图中可看出，图中可看出，图中可看出，图中可看出，x=0 x=0 x=0 x=0为跳跃间断点。为跳跃间断点。为跳跃间断点。为跳跃间断点。例例7.7.分析函数分析函数f(x)=f(x)=，当，当x0 x0时的变化时的变化趋势。趋势。syms x limit(sin(1/x),x,0)输出为输出为输出为输出为ans=ans=-1.1 -1.1 即极限值在即极限值在即极限值在即极限值在-1-1-1-1，1 1 1 1之间，而极限如果存在则之间，而极
9、限如果存在则之间，而极限如果存在则之间，而极限如果存在则必唯一，故极限不存在。必唯一，故极限不存在。必唯一，故极限不存在。必唯一，故极限不存在。x0 x0时，时，在在-1-1与与1 1之间无限次振荡，极限不存在之间无限次振荡，极限不存在ezplot(sin(1/x),-1,1)ezplot(sin(1/x),-1,1)例例8.8.分析函数分析函数f(x)=x ,x0f(x)=x ,x0时的变化趋势。时的变化趋势。syms x syms x limit(x*sin(1/x),x,0)limit(x*sin(1/x),x,0)输出为输出为输出为输出为ans=ans=0 0ezplot(x*sin(1/x),-1,1)ezplot(x*sin(1/x),-1,1)有界量乘以无穷小是无穷小。有界量乘以无穷小是无穷小。