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1、关于二元函数的极限关于二元函数的极限与连续与连续现在学习的是第1页，共17页（1）二元函数的定义）二元函数的定义当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数.类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数一、一、多元函数概念多元函数概念现在学习的是第2页，共17页例例 求求 的定义域的定义域224),(yxyxf解解0422yx所求定义域为所求定义域为.4| ),(22yxyxD现在学习的是第3页，共17页例例 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为., 42| ),
2、(222yxyxyxD 现在学习的是第4页，共17页（2）二元函数）二元函数 的图形（几何意义）的图形（几何意义）),(yxfz 设设函函数数),(yxfz 的的定定义义域域为为D，对对于于任任意意取取定定的的DyxP ),(，对对应应的的函函数数值值为为),(yxfz ，这这样样，以以x为为横横坐坐标标、y为为纵纵坐坐标标、z为为竖竖坐坐标标在在空空间间就就确确定定一一点点),(zyxM，当当x取取遍遍D上上一一切切点点时时，得得一一个个空空间间点点集集),(),(| ),(Dyxyxfzzyx ，这这个个点点集集称称为为二二元元函函数数的的图图形形. （如下页图）（如下页图）现在学习的是第
3、5页，共17页二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.现在学习的是第6页，共17页xyzoxyzsin 例如例如,图形如右图图形如右图.2222azyx 例如例如,左图球面左图球面.),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 单值分支单值分支:现在学习的是第7页，共17页二、多元函数的极限二、多元函数的极限现在学习的是第8页，共17页说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法
4、则与一元函数类似01sin)(lim222200 yxyxyx例如：例如：现在学习的是第9页，共17页例例: : 证明证明 不存在不存在 证证26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在现在学习的是第10页，共17页（1） 令令),(yxP沿沿kxy 趋趋向向于于),(000yxP， 若若极极限限值值与与 k有有关关，则则可可断断言言极极限限不不存存在在； （2） 找找两两种种不不同同趋趋近近方方式式，使使),(lim00yxfyyxx存存在在
5、，但但两两者者不不相相等等，此此时时也也可可断断言言),(yxf在在点点),(000yxP处处极极限限不不存存在在确定极限确定极限不存在不存在的方法：（了解）的方法：（了解）现在学习的是第11页，共17页例例 求极限求极限 .)sin(lim20 xxyyx解解yxyxyyx)sin(lim20uuusinlim0 xyu xxyyx)sin(lim20yy2lim212)0( 1sinlim0的整体是所用知识点：uuuu现在学习的是第12页，共17页例5 求极限 .11lim222200yxyxyx解：解：) 11()(lim22222200yxyxyxyx分子有理化约分.11lim2222
6、00yxyxyx21现在学习的是第13页，共17页三、二元函数的连续性三、二元函数的连续性的连续点。称为处连续，则点（在点则称函数：某邻域内有定义，如果的（在点定义：设函数),(),),(),(),(),),(000000000lim00yxfzPyxPyxfzyxfyxfyxPyxfzyyxx现在学习的是第14页，共17页例例6 6 讨论函数讨论函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故
7、函数在(0,0)处不连续处不连续( (称为间断点称为间断点) )现在学习的是第15页，共17页总结：总结：1.二元函数的所有学习上的知识都可以从一二元函数的所有学习上的知识都可以从一元函数推广而来。我们今天就可以用这个思元函数推广而来。我们今天就可以用这个思想来求解二元函数的值、想来求解二元函数的值、定义域定义域、极限极限和和判定连续。判定连续。2.二元函数作为一个新的概念，和以前二元函数作为一个新的概念，和以前的一元函数还是有区别的，比如定义域的一元函数还是有区别的，比如定义域画成图形是一个平面图形，而一元函数画成图形是一个平面图形，而一元函数图形的定义域往往是图形的定义域往往是x轴上的区域。轴上的区域。现在学习的是第16页，共17页感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第17页，共17页