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1、第二章第二章极限与连续极限与连续1 在在16 17世纪，随着生产实践和科学技术的发展，世纪，随着生产实践和科学技术的发展，迫切需要解决以下几个问题：寻求曲线的迫切需要解决以下几个问题：寻求曲线的切线切线，确定，确定物体运动的物体运动的速度速度，计算平面曲边图形的，计算平面曲边图形的面积面积和空间中和空间中表面弯曲的立体的表面弯曲的立体的体积体积等等.在这些问题面前，初等数在这些问题面前，初等数学的概念和方法已无能为力，急切要求数学突破研究学的概念和方法已无能为力，急切要求数学突破研究常量的传统，提供能用以描述和处理运动及变化过程常量的传统，提供能用以描述和处理运动及变化过程的新理论和新方法的新
2、理论和新方法变量数学，而微积分作为变量变量数学，而微积分作为变量数学的主体，随之而生数学的主体，随之而生.极限极限的理论和方法是阐述微积分的概念和方法的工的理论和方法是阐述微积分的概念和方法的工具，是整个微积分学的理论基础具，是整个微积分学的理论基础.2本章介绍极限的概念、性质和运算法则，以及与极限本章介绍极限的概念、性质和运算法则，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质。此外还给出了两个极其有用无穷小量的概念和性质。此外还给出了两个极其有用的重要极限。随后，运用极限引入了函数的的重要极限。随后，运用极限引入了
3、函数的连续性连续性概概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述，微积分学中讨论的函数主要是连续函数。数学描述，微积分学中讨论的函数主要是连续函数。3第一节第一节 数列的极限数列的极限割圆术割圆术 我国古代数学家刘徽在九章算术注利我国古代数学家刘徽在九章算术注利用圆内接正多边形计算圆面积的方法用圆内接正多边形计算圆面积的方法-割圆术割圆术，就是极限思想在几何上的应用。就是极限思想在几何上的应用。(一一)数列概念数列概念4 三国时的刘徽提出的三国时的刘徽提出的 的方法的方法.他把圆周分他把圆周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、成三
4、等分、六等分、十二等分、二十四等分、这样这样继续分割下去继续分割下去,所得多边形的周长就无限接近于圆的周长所得多边形的周长就无限接近于圆的周长.“割圆求周割圆求周割圆求周割圆求周”割之弥细，割之弥细，所失弥少，割所失弥少，割之又割，以至之又割，以至于不可割，则于不可割，则与圆合体而无与圆合体而无所失矣所失矣.5“割圆术割圆术”计算圆的面积：计算圆的面积：正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积刘徽首先从圆内接六边形开始割圆，每次边数倍增，刘徽首先从圆内接六边形开始割圆，每次边数倍增，算到算到192边形的面积，得到边形的面积，得到 157/50=3.14
5、，又算又算到到3072边形的面积，得到边形的面积，得到 3927/1250=3.1416，称为称为“徽率徽率”。祖率祖率 约率约率 22/7，密率，密率 355/1133.141592920356数列的定义数列的定义例如例如称为称为无穷数列无穷数列,简称简称数列数列.7(二二)数列极限的定义数列极限的定义1x28问题：当问题：当 n 无限增大时，无限增大时，an 是否无限接近于某一确定是否无限接近于某一确定的数值的数值?如果是，如何确定如果是，如何确定?通过上面图示观察：通过上面图示观察：问题：问题：“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言刻划它刻划它?910如果
6、数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是就说数列是发散发散的的.注意：注意：定义定义总总存在正存在正整整数数 N,不等式不等式记为记为或或如果如果对对于任意于任意给给定的正数定的正数(不不论论它多么小它多么小),),11几何解释：几何解释：其中：其中：12用数列极限的定义证明极限。用数列极限的定义证明极限。例例1证证13例例2证证注：极限的定义只能用来验证某常数是否为某数列注：极限的定义只能用来验证某常数是否为某数列的极限，而不能用来计算极限。的极限，而不能用来计算极限。14(三三)收敛数列的基本性质收敛数列的基本性质性质性质1 1 极限的唯一性极限的唯一性性质性质2 2 有界有界性性定理定理
7、2 2 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界。注注1 1 有界性是数列收敛的必要条件，不是充分条件。有界性是数列收敛的必要条件，不是充分条件。注注2 2 无界数列必定发散无界数列必定发散。有界数列不一定收敛有界数列不一定收敛.15性质性质3 3 收敛数列的保号性收敛数列的保号性定理定理3 316第二节第二节17(一一)自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限xy18通过上面图示观察通过上面图示观察:问题问题:如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”？19例例1证证20几何解释几何解释:2122例例3解解例例2解解xy23例如例如有两条水平渐近线：有两条水
8、平渐近线：xy24水平渐近线水平渐近线:水平渐近线水平渐近线:25(二二)自变量趋于有限点处时函数的极限自变量趋于有限点处时函数的极限263.几何解释几何解释:说明：说明：27例例4证证例例5证证28证证得证。得证。例例629证证得证。得证。例例730(三三)左极限与右极限左极限与右极限左极限：左极限：31左极限：左极限：右极限：右极限：32解解左右极限存在且相等左右极限存在且相等,例例833例例9 设设解解3435(四四)函数极限的性质函数极限的性质性质性质1 1 函数极限的唯一性函数极限的唯一性性质性质2 2 有极限函数的局部有界性有极限函数的局部有界性36推论推论1性质性质3 3 有极限
9、函数的局部保号性有极限函数的局部保号性注意注意推论推论2定理定理37第四节第四节 无穷大量和无穷小量无穷大量和无穷小量(一一)无穷大量无穷大量绝对值无限增大的变量绝对值无限增大的变量叫无穷大量。叫无穷大量。xoy38精确定义：精确定义：1、无穷大量是一个变量，不可与绝对值很大很、无穷大量是一个变量，不可与绝对值很大很大的数混为一谈；大的数混为一谈；2、称函数是无穷大量，必须指明其自变量的变化趋势。、称函数是无穷大量，必须指明其自变量的变化趋势。注：注：39证证 得证得证.xoy例例140例例2有两条竖直渐近线：有两条竖直渐近线：解解所以有水平渐近线：所以有水平渐近线：无穷大量与无界变量的关系无
10、穷大量与无界变量的关系(1)无穷大量显然是无界变量；无穷大量显然是无界变量；(2)但无界变量不一定是无穷大量。但无界变量不一定是无穷大量。例如数列例如数列再如，再如，但它并不是无穷大量。但它并不是无穷大量。42(二二)无穷小量无穷小量定义定义 以零为极限的函数以零为极限的函数(或数列或数列)称为称为无穷小量无穷小量。例如例如,43注：注：1.无穷小量是变量，不能与绝对值很小的数混为一谈无穷小量是变量，不能与绝对值很小的数混为一谈;3.称一个函数是无穷小量，必须指明自变量的变化趋势。称一个函数是无穷小量，必须指明自变量的变化趋势。2.零是唯一可以作为无穷小量的数；零是唯一可以作为无穷小量的数；4
11、4无穷小量和极限的关系：无穷小量和极限的关系：证略证略.定理表明：定理表明：极限概念可以用无穷小量概念来描述极限概念可以用无穷小量概念来描述.定理定理45定理定理 无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量。无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量。证证于是有于是有 46例例3解解无穷小与有界变量之积仍是无穷小。无穷小与有界变量之积仍是无穷小。47(三三)无穷小量与无穷大量的关系无穷小量与无穷大量的关系意义意义 关于无穷大量的讨论关于无穷大量的讨论,都可归结为关于无穷小量的都可归结为关于无穷小量的讨论。讨论。例例448例例5 5解解49(四四)无穷小量的阶无穷小量的阶比值极限不同比值极限不同,反映了两者趋向
12、于零的反映了两者趋向于零的“快慢快慢”程度不同。程度不同。观观察察各各极极限限50定义定义：设设和和是某一极限过程中的无穷小量是某一极限过程中的无穷小量，51例例6证证52例例7证证可推广：可推广：定义定义例例8解解54例例9解解55第五节第五节 极限的运算法则极限的运算法则证略证略定理定理56说明：说明：1.有两层意思：有两层意思：(1)在在limf(x)和和limg(x)都存在的前提下，都存在的前提下，limf(x)+g(x)也存在；也存在；(2)limf(x)+g(x)的数值等于的数值等于limf(x)+lim g(x).2.limf(x)+g(x)存在存在,不能倒推出不能倒推出limf
13、(x)和和 lim g(x)存在存在.3.若若limf(x)存在，而存在，而 lim g(x)不存在，则不存在，则limf(x)+g(x)肯定不存在肯定不存在.4.可推广到有限多项可推广到有限多项.反证反证：假设假设 lim f(x)+g(x)存在存在,已知已知 lim f(x)存在存在,由定理知由定理知 lim g(x)存在存在,矛盾。矛盾。57推论推论1 1推论推论2 258例例2 2例例1 1如果分母的极限为零，则不能直接运用上述方法。如果分母的极限为零，则不能直接运用上述方法。59解解例例3 3消零因子法消零因子法60有理化方法有理化方法解解例例4 461解解变量代换法变量代换法 例例
14、5 562例例6 6解解一般一般,“抓大头抓大头”法法63例例7 7例例8 864例例9 965例例1010思考：思考：66例例1111解解注意注意：以下解法错误：以下解法错误：因为法则因为法则(1)不能推广到不能推广到无限无限多个函数的情形多个函数的情形.67解解例例121268例例13 无穷小与有界变量之积仍是无穷小。无穷小与有界变量之积仍是无穷小。错误！错误！正确解法：正确解法：不存在！不存在！69例例14例例15注注：所有反三角函数均是有界函数。：所有反三角函数均是有界函数。70第六节第六节 两个重要极限两个重要极限(一一)极限存在的准则极限存在的准则定理定理(准则准则)71例例1 1
15、解解由夹逼定理得由夹逼定理得72上述数列极限存在的准则可以推广到上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限函数的极限。定理定理(夹逼定理夹逼定理)证略。证略。73定理定理(准则准则)单调有界数列必有极限。单调有界数列必有极限。下面利用两个准则证明两个重要的极限。下面利用两个准则证明两个重要的极限。74(二二)两个重要极限两个重要极限xy先利用夹逼准则证明重要极限：先利用夹逼准则证明重要极限：175基本不等式：基本不等式：等号当且仅当等号当且仅当 x=0 时成立。时成立。76实际上，实际上，对一切实数对一切实数 x 成立。成立。基本不等式：基本不等式：等号当且仅当等号当且仅当 x=0 时成立。时
16、成立。等号当且仅当等号当且仅当 x=0 时成立。时成立。77即得即得78所以所以先证先证79解解所以所以例例2 2例例3 380例例4 4解解81再利用单调有界准则证明另一个重要的极限存在：再利用单调有界准则证明另一个重要的极限存在：先看一个实际例子。先看一个实际例子。82考虑一个复利问题。考虑一个复利问题。假设我们考虑假设我们考虑1 年定期存款，利率为年定期存款，利率为 100%，初始存款，初始存款(称为本金称为本金)为为 1元元。利率设为。利率设为100%仅仅是为了便于计仅仅是为了便于计算，我们完全可以将其推广到真实的利率，例如算，我们完全可以将其推广到真实的利率，例如5。若一年结算一次，
17、则年终时本利和为若一年结算一次，则年终时本利和为(1+100%)1=2 元；元；若半年结算一次，若半年结算一次，利率降为利率降为 50%，则年终时本利和为则年终时本利和为(1+50%)2=2.25 元；元；若每月结算一次，则年终时本利和为若每月结算一次，则年终时本利和为(1+1/12)12=2.61303529 元；元；若每天结算一次，则年终时本利和为若每天结算一次，则年终时本利和为(1+1/365)365=2.714567 元；元；83每天结算一次：每天结算一次：(1+1/365)365=2.714567 元；元；可以想见，若复利一次的时间再细分下去，这个数值可以想见，若复利一次的时间再细分
18、下去，这个数值会越来越大。问题是，我们的钱会无限增大吗？会越来越大。问题是，我们的钱会无限增大吗？答案是否定的。随着答案是否定的。随着 n 的增大，的增大，(1+1/n)n 的值虽然不的值虽然不断增大，但增大的速度却变得越来越慢。可以证明，断增大，但增大的速度却变得越来越慢。可以证明，当当 n 的无限增大时，的无限增大时，(1+1/n)n 值无限接近于一个常数，值无限接近于一个常数，欧拉把它记为欧拉把它记为 e。每小时结算一次：每小时结算一次：(1+1/8760)8760=2.718128 元；元；每分钟结算一次：每分钟结算一次：(1+1/525600)525600=2.718279元；元；每
19、秒结算一次：每秒结算一次：(1+1/31536000)31536000=2.7182817元；元；8485增大，且项数增加一项增大，且项数增加一项(每一项均为正每一项均为正),),8687以以e为底的对数称为为底的对数称为自然对数自然对数，可以证明，相应的函数极限有可以证明，相应的函数极限有 或或88例例5 5解解“凑重要极限凑重要极限”法法89例例7 7解解例例8 8解解例例6 6解解原式原式90训练训练91第七节第七节 利用等价无穷小量代换求极限利用等价无穷小量代换求极限定理定理(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理)证证只有在乘、除的极限运算中才能替换；只有在乘、除的极限运算中才能替换；
20、注意注意在其他极限运算中不能替换！在其他极限运算中不能替换！92常用等价无穷小：常用等价无穷小：93例例1 1解解94例例2解解95例例3解解96例例4解解解解错错97例例5解解例例6解解98例例7解解99课堂练习课堂练习计算极限：计算极限：100解答：解答：分离分离非零非零因子因子 101解答：解答：102解答：解答：103第八节第八节 函数的连续性函数的连续性(一一)函数改变量函数改变量104(二二)函数连续的概念函数连续的概念引例：引例：街头有一卖苹果的小贩，声称街头有一卖苹果的小贩，声称“5斤以内斤以内10元元一斤，一斤，5斤以上斤以上8元一斤元一斤”。有两个顾客，一个人买。有两个顾客
21、，一个人买5斤，花费斤，花费50元；一个人买元；一个人买6斤，花费斤，花费48元。买的多的元。买的多的反而花钱少，这是怎么回事？反而花钱少，这是怎么回事？105 例例1 1 证明函数证明函数y=x2在给定点在给定点x0处连续。处连续。证证 在在x0处，函数的改变量为处，函数的改变量为所以所以 y=x2 在给定点在给定点x0处连续。处连续。函数在一点处连续的定义函数在一点处连续的定义如果如果 106下面给出函数连续的定义的另一种下面给出函数连续的定义的另一种等价形式等价形式。如果如果 107例例2 2证证（3 3）函数值与极限值相等）函数值与极限值相等.108单侧连续：单侧连续：定理定理109例
22、例3 3解解即不右连续也不左连续即不右连续也不左连续,x y-1 1 O110例例4 4解解111连续区间与连续函数：连续区间与连续函数：112例例5 5证证和差化积公式：和差化积公式：113例例5 5证证114(三三)函数的间断点函数的间断点定义定义 函数不连续的点称为函数的函数不连续的点称为函数的间断点间断点。1、左右、左右极限都存在的间断点，称极限都存在的间断点，称第一类间断点第一类间断点：(1)(1)可去型间断点可去型间断点115例例1 1 讨论函数讨论函数解解注意注意 可去型间断点只要改变或者补充间断处函可去型间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义,则可使其变为连续点。则可使
23、其变为连续点。116例例2 2xy1函数函数117(2)(2)跳跃型间断点跳跃型间断点例例3 3解解118例例4 4解解2、左右、左右极限至少有一个不存在的间断点极限至少有一个不存在的间断点,称称第二类第二类间断点间断点。119例例5 5解解这种情况称为这种情况称为振荡型间断点振荡型间断点。120解解例例6 6121解解所以所以即即例例7 7122(四四)连续函数的运算法则连续函数的运算法则定理定理由连续的定义和极限的运算法则，定理不难获得证明。由连续的定义和极限的运算法则，定理不难获得证明。例如例如,可以证明，所有基本初等函数在其定义域内都是连续的。可以证明，所有基本初等函数在其定义域内都是
24、连续的。因此，一切初等函数在其定义域内都是连续的。因此，一切初等函数在其定义域内都是连续的。也就是说，对初等函数来说，连续区间即为其定义域。也就是说，对初等函数来说，连续区间即为其定义域。123(五五)闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质定定理理1(1(有有界界性性与与最最大大值值最最小小值值定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的的函数在该区间上有界，且能取得最大值和最小值。函数在该区间上有界，且能取得最大值和最小值。记作记作124注意：注意：1.若区间是开区间若区间是开区间,定理不一定成立定理不一定成立;2.若区间内有间断点若区间内有间断点,定理不一定成立。定理不一定成立。125几
25、何解释几何解释：MBCAmab推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值与最小值m之间的任何值。之间的任何值。126几何解释：几何解释：定义定义定理定理3(3(零点定理零点定理)127证证例例8 8可计算出可计算出由于三次方程最多只有三个实根，所以各区间内只存由于三次方程最多只有三个实根，所以各区间内只存在一个实根。在一个实根。128例例9 9证证且有且有 异号，异号，129课堂练习课堂练习证证且有且有 异号，异号，130(六六)利用函数连续性求函数极限利用函数连续性求函数极限根据函数连续性的定义及初等函数的连续性，我们可根据函数连续性的定义及初等函数的连续性，我们可以方便地求初等函数的极限。以方便地求初等函数的极限。例例1010解解所以连续，因此所以连续，因此初等函数求极限的方法：初等函数求极限的方法：代入法代入法。131例例1111132例例1212解解思考思考：对数换底公式对数换底公式133例例1313解解类似可得类似可得134例例1414解解等价无穷小等价无穷小替换替换135END136