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1、精品_精品资料_统计概率学问点梳理总结第一章随机大事与概率一、 教学要求1 懂得随机大事的概念,明白随机试验、样本空间的概念,把握大事之间的关系与运算 2 明白概率的各种定义,把握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率运算3 懂得条件概率的概念,把握 概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式,并能运用这些公式进行概率运算4 懂得大事的 独立性概念,把握运用大事独立性进行概率运算5 把握贝努里概型及其运算,能够将实际问题归结为贝努里概型,然后用二项概率运算有关大事的概率本章重点：随机大事的概率运算二、 学问要点1 随机试验与样本空间具有以下三个特性的试验称为随机试验：(1) 试验可以在相同的条件下
2、重复的进行.(2) 每次试验的可能结果不止一个,但事先知道每次试验全部可能的结果.(3) 每次试验前不能确定哪一个结果会显现试验的全部可能结果所组成的集合为样本空间,用表示,其中的每一个结果用 e表示, e称为样本空间中的样本点,记作 e 2 随机大事可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在随机试验中, 把一次试验中可能发生也可能不发生、而在大量重复试验中却出现某 种规律性的事情称为随机大事 简称大事 通常把必定大事 记作 与不行能大事 记作 看作特殊的随机大事3 * 大事的关系及运算(1) 包含 ：如大事 A 发生,肯定导致大事 B 发生,那么,称大事 B 包含大事 A , 记作
3、AB 或 BA (2) 相等 ：如两大事 A 与 B 相互包含, 即 AB 且 BA ,那么,称大事 A 与 B 相等,记作 AB (3) 和大事 ：“大事 A 与大事 B 中至少有一个发生” 这一大事称为 A 与 B 的和大事,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_记作 AB .“ n 个大事A1,A2,An 中至少有一大事发生”这一大事称为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A1,A2,An的和,记作 A1A2An （简记为nAii 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(4) 积大事 ：“大事 A 与大事
4、 B 同时发生”这一大事称为A 与 B 的积大事,记作可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB 简记为 AB .“ n 个大事A1,A2,An 同时发生”这一大事称为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AA,AAAAnA AAAi可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1,2,n 的积大事,记作12n （简记为12n 或 i 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(5) 互不相容 ：如大事 A 和 B 不能同时发生,即 AB,那么称大事 A 与 B 互不可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_
5、相容 或互斥 ,如 n 个大事A1,A2,An 中任意两个大事不能同时发生,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Ai Aj1 ij 几 ,那么,称大事A1,A2,An 互不相容可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(6) 对立大事 ：如大事 A 和 B 互不相容、且它们中必有一大事发生,即AB且AB,那么,称 A 与 B 是对立的大事 A 的对立大事 或逆大事 记作 A (7) 差大事 ：如大事 A 发生且大事 B 不发生,那么,称这个大事为大事A 与 B 的差大事,记作 AB 或 AB 可编辑资料 - - - 欢迎下载精
6、品_精品资料_(8) 交换律 ：对任意两个大事和B 有ABBA , ABBA (9) 结合律 ：对任意大事 A,B, C有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABC ABC ,ABC ABC 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(10) 安排律 ：对任意大事 A, B,C 有A BC AB AC ,ABC AB AC (11) 德 摩根（ De Morgan）法就 ：对任意大事 A 和 B 有ABAB ,ABAB .4 频率与概率的定义(1) 频率的定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设随机大事 A 在 n 次重复试验中发生了nA 次,就比值nA n 称
7、为随机大事 A 发生可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的频率,记作fn A ,即nAf n An .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 概率的统计定义在进行大量重复试验中,随机大事 A 发生的频率具有稳固性,即当试验次数n 很大可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时,频率fn A 在一个稳固的值 p 0 p 1 邻近摇摆,规定大事 A 发生的频率的稳固值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_p 为概率,即P Ap 可编辑资料 - - - 欢迎下
8、载精品_精品资料_(3) *古典概率的定义具有以下两个特点的随机试验的数学模型称为古典概型 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(i) 试验的样本空间是个有限集,不妨记作 e1, e2 ,en ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(ii) 在每次试验中,每个样本点ei i1,2, n ）显现的概率相同,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P e1P e2P en 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在古典概型中,规定大事A 的概率为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P AA中所含
9、样本点的个数n A中所含样本点的个数n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(4) 几何概率的定义假如随机试验的样本空间是一个区域 可以是直线上的区间、平面或空间中的区域 ,且样本空间中每个试验结果的显现具有等可能性,那么规定大事的概率为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P AA的长度（或面积、体积）样本空间的的长度（或面积、体积）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(5) 概率的公理化定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设随机试验的样本空间为,随机大事 A 是的子集, 以下三条公理：P A 是实值函数,如满意可编辑资料 - - - 欢迎下
10、载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_公理 1 非负性 对于任一随机大事,有P A 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_公理 2 规范性 对于必定大事,有P1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_公理 3 可列可加性 对于两两互不相容的大事A1, A2, An ,有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PAi i 1P Ai i 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就称
11、P A 为随机大事的概率5 * 概率的性质由概率的三条公理可导出下面概率的一些重要性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1P 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 有限可加性 设 n 个大事A1, A2, An 两两互不相容,就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P A1A2AnnPAi i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 对于任意一个大事 A：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P A1P A 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(4) 如大事
12、A, B 满意 AB ,就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P BAP BP A ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PAPB 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(5) 对于任意一个大事 A,有P A1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(6) 加法公式 对于任意两个大事 A, B,有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PABP APBP AB .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
13、_精品资料_对于任意 n 个大事A1, A2, An ,有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnPA PA PA A P A A A 1n1 P AA 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_iiijijk1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i 1i11 ij n1 ij k n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6* 条件概率与乘法公式设 A 与 B 是两个大事 在大事 B 发生的条件下大事 A 发生的概率称为条件概率,记作 P A | B 当 PB0 ,规定可编辑资料 - - - 欢迎下载精
14、品_精品资料_P A | BPAB P B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在同一条件下,条件概率具有概率的一切性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_乘法公式：对于任意两个大事A 与 B,当P A0 ,PB0 时,有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PAB P AP B | APB P A | B .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. * 随机大事的相互独立性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如大事 A 与 B 满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P A
15、BP A PB ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_那么,称大事 A 与 B 相互独立关于大事 A,月的独立性有以下两条性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 假如P A0 ,那么,大事 A 与 B 相互独立的充分必要条件是PB | AP B .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如 PB0 ,那么,大事 A 与 B 相互独立的充分必要条件是P A | BP A 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这条性质的直观意义是“大事A 与 B 发生与否互不影响”(2) 以下四个命题是等价的：(
16、i) 大事 A 与 B 相互独立.(ii) 大事 A 与 B 相互独立.(iii) 大事 A 与 B相互独立.(iv) 大事 A 与 B 相互独立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于任意 n 个大事A1, A2, An 相互独立性定义如下：对任意一个k2, n ,任意的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1i1ikn ,如大事A1, A2, An 总满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1kPAiAi P Ai PAi ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
17、_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1k就称大事A1, A2, An 相互独立这里实际上包含了2 nn1 个等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8 * 贝努里概型与二项概率可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设在每次试验中,随机大事发生的概率试验中,大事恰发生k 次的概率为P Ap0p1 ,就在 n 次重复独立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Pn knpk 1p n k , k0,1, n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k,称这组概率为二项概率9 * 全概率公式与贝叶斯公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_
18、精品资料_全概率公式：假如大事A1, A2,i1,2, n ,就nAi, An 两两互不相容,且 i 1, P Ai 0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P A| BP Ak PB |Ak , k1,2, n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_knP Ai PB | Ai i 1其次章离散型随机变量及其分布一、 教学要求1懂得离散型随机变量及其概率函数的概念并把握其性质,把握0-1 分布、二项分布、泊松 Poisson分布、匀称分布 、几何分布及其应用懂得二维离散型随机变量联合概率函数的概念及性质.会利用二维概率分布
19、运算有关大事的概率懂得二维离散型随机变量的边缘分布,明白二维随机变量的条件分布4. 把握离散型随机变量独立的条件5. 会求离散型随机变量及简洁随机变量函数的概率分布本章重点：离散型随机变量的分布及其概率运算二、 学问要点1 一维随机变量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如对于随机试验的样本空间中的每个试验结果 e,变量 X 都有一个确定的实数值与 e相对应,即 XX e ,就称 X 是一个一维随机变量概率论主要讨论随机变量的统计规律,也称这个统计规律为随机变量的分布2 * 离散型随机变量及其概率函数假如随机变量 X 仅可能取有限个或可列无限多个值,就称X 为离散型随机变量可编辑资
20、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设离散型随机变量 X 的可能取值为ai i1,2, n, ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_piP Xai ,i1,2, n,.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_pi如 i 11,就称pi i1,2, n, 离散型随机变量X 的概率函数,概率函数也可用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以下表格形式表示：Xa1a2anPrp1p2pn * 概率函数的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1pi0 ,i1,2, n,;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_pi12i 1由已知的概率函数可以算
21、得概率可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P XSpiai S,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中, S 是实数轴上的一个集合 * 常用离散型随机变量的分布可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10 1 分布B1, p ,它的概率函数为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P Xi pi 1p1 i ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中, i0 或 1, 0p1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -
22、 欢迎下载精品_精品资料_(2) 二项分布Bn, p,它的概率函数为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P Xi npi 1pn i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中, i0,1,2, n , 0p1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 泊松分布P ,它的概率函数为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P Xi iei .,可编辑资料 - - -
23、欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中, i0,1,2, n,0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_匀称分布 ,它的概率函数为1P Xai n ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中, i0,1,2, n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二维随机变量如对于试验的样本空间中的每个试验结果e,有序变量 X ,Y 都有确定的一对实可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数值与 e 相对应, 即量X X e ,YYe ,就称 X ,Y 为二维随机变量 或二维随机向可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_
24、6. * 二维离散型随机变量及联合概率函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如二维随机变量 X ,Y 仅可能取有限个或可列无限个值,那么, 称 X , Y 为二维离散型随机变量二维离散型随机变量 X , Y 的分布可用以下联合概率函数来表示：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P Xai ,Ybj pij ,i , j1,2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中,pij0,i, j1,2,pij1ij可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7 二维离散型随机变量的边缘概率函数可编辑资料 - -
25、- 欢迎下载精品_精品资料_设 X ,Y 为二维离散型随机变量,pij 为其联合概率函数（i , j1,2,）,称概率可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P Xai i1,2, 为随机变量 X 的边缘概率函数,记为pi 并有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_pi .P Xai pij , ij1,2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_称概率PYbj j1,2, 为随机变量 Y 的边缘概率函数,记为p.j,并有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_p.PYbj j =pij , ji1,2,.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8.
26、随机变量的相互独立性设 X ,Y 为二维离散型随机变量,X 与Y 相互独立的充分必要条件为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_pijpi p j ,对一切i, j1,2,.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_多维随机变量的相互独立性可类似定义即多维离散型随机变量的独立性有与二维相应的结论9. 随机变量函数的分布可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 X 是一个随机变量,g x 是一个已知函数,Yg X 是随机变量 X 的函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_它也是一个随机变量对离散型随机变量X ,下面来求这个新的随机变量Y 的分布可编辑资料
27、- - - 欢迎下载精品_精品资料_设离散型随机变量 X 的概率函数为Xa1a2anPrp1p2png X 的概率函数可由下表求得Yg X g a1 g a2 ganPrp1p2pn就随机变量函数 Y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_但要留意,如gai 的值中有相等的,就应把那些相等的值分别合并,同时把对应的概可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_率 pi 相加第三章连续型随机变量及其分布一、 教学要求1 懂得连续型随机变量及其概率密度的概念,并把握其性质,把握匀称分布、指数分布、正态分布及其应用2 懂得二维随机变量的联合分布的概念、性质以及连续型随机变量联合概率密度.
28、 会利用 二维概率分布运算有关大事的概率3 懂得二维随机变量的 边缘分布 ,明白二维随机变量的条件分布4 懂得随机变量的 独立性概念 ,把握连续型随机变量独立的条件5 把握二维匀称分布.明白二维正态分布的密度函数,懂得其中参数的概率意义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 不考 6 会求两个独立随机变量的简洁函数的分布,会求两个独立随机变量的简洁函数的分布,会求两个随机变量之和的概率分布 不考 会求简洁随机变量函数的概率分布本章重点：一维及二维随机变量的分布及其概率运算, 边缘分布和独立性运算 二、 学问要点1 * 分布函数随机变量的分布可以用其分布函数来表示,随机变量X 取值不大
29、于实数 x的概率可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P Xx称为随机变量 X 的分布函数,记作F x ,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_F xP Xx,x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2分布函数F x 的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10F x1;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_F x 是非减函数,即当 x1x2 时,有
30、F x1F x2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx3lim F x0, lim F x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4;F xlim F xF a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是右连续函数,即xa 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由已知随机变量X 的分布函数F x ,可算得 X 落在任意区间 a, b 内的概率可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -
31、 - 欢迎下载精品_精品资料_PaXbF bF a ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_也可以求得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P XaF aF a0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 联合分布函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二维随机变量 X ,Y 的联合分布函数规定为随机变量X 取值不大于 x 实数的概可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_率,同时随机变量 Y 取值不大于实数 y 的概率,并把联合分布函数记为F x, y ,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精
32、品资料_F x, yP Xx, Yy,x,y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 联合分布函数的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10F x,y1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2F x, y是变量 x 固定 y 或 y 固定 x 的非减函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim F x, y0,lim F x, y0(3) xy,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l i mF x,y0l,i mFx,y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xxyy.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(4) 4F x, y是变量 x 固定 y 或 y 固定 x 的右连续函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(5) 5P x1X x2 , y1Y y2 F x2,