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1、高考复习专题之：概率与统计一、概率：随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值. 随机事件A的概率0( )1P A，其中当()1P A时称为必然事件；当( )0P A时称为不可能事件P(A)=0；注：求随机概率的三种方法：（一）枚举法例 1 如图 1 所示， 有一电路AB是由图示的开关控制，闭合a，b，c，d，e五个开关中的任意两个开关，使电路形成通路则使电路形成通路的概率是分析：要计算使电路形成通路的概率，列举出闭合五个开关中的任意两个可能出现的结果总数，从中找出能使电路形成通路的结果数，根据概率的意义计算即可。解：闭合五个开关中的两个，可能出现的结果数有10 种，分别是ab、
2、ac、ad、ae、bc、 bd、be、cd、ce、de，其中能形成通路的有6 种，所以 p( 通路 )=106=53评注 : 枚举法是求概率的一种重要方法, 这种方法一般应用于可能出现的结果比较少的事件的概率计算. （二）树形图法例 2 小刚和小明两位同学玩一种游戏游戏规则为：两人各执“象、虎、鼠”三张牌，同时各出一张牌定胜负，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相同，则为平局例如，小刚出象牌，小明出虎牌，则小刚胜；又如，两人同时出象牌，则两人平局如果用A、B、C分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用A1、B1、C1分别表示小明的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少？分析：为了
3、清楚地看出小亮胜小刚的概率，可用树状图列出所有可能出现的结果，并从中找出小刚胜小明可能出现的结果数。解：画树状图如图树状图。由树状图（树形图）或列表可知，可能出现的结果有 9 种，而且每种结果出现的可能性相同，其中小刚胜小明的结果有3 种所以 P（一次出牌小刚胜小明）=31点评 : 当一事件要涉及两个或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通过画树形图的方法来计算概率（三）列表法例 3 将图中的三张扑克牌背面朝上放在桌面上，从中随机摸出两张，并用这两张扑克牌上的数字组成一个两位数请你用画树形（状）图或列表的方法求：（1）组成的两位数是偶数的概率；（2）组成的两位数是6 的倍数的概率分
4、析： 本题可通过列表的方法，列出所有可能组成的两位数的可能情况，然后再找出组成的两位数是偶数的可能情况和组成两位数是 6 的倍数的可能情况。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页解：列的表格如下： 根据表格可得两位数有：23，24，32，34，42，43所以（ 1）两位数是偶数的概率为23（ 2）两位数是6 的倍数的概率为13点评： 当一事件要涉及两个或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通过画树形图的方法来计算概率2. 等可能事件的概率（古典概率）： P(A)=nm。3、互斥事件：（A、B互斥，即事件A、B
5、不可能同时发生）。计算公式：P(A+B)P(A)+P(B) 。4、对立事件 ：（ A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生）。计算公式是：P （A）+ P(B) ； P(A)=1 P(A) ；5、独立事件： （事件 A、B的发生相互独立，互不影响） P(A?B)P(A) ? P(B) 。提醒：（ 1）如果事件A、B独立，那么事件A与B、A与B及事件A与B也都是独立事件；（2）如果事件A、 B相互独立，那么事件A、B至少有一个不发生的概率是1P（A B） 1P(A)P(B) ；（ 3）如果事件A、 B相互独立，那么事件 A、B至少有一个发生的概率是1P（AB） 1P(A)
6、P(B) 。6、独立事件重复试验：事件 A在 n 次独立重复试验中恰好发生了k次的概率( )(1)kknknnP kC pp( 是二项展开式(1)npp的第 k+1 项) ，其中p为在一次独立重复试验中事件A发生的概率。提醒： （ 1）探求一个事件发生的概率，关键是分清事件的性质。在求解过程中常应用等价转化思想和分解( 分类或分步 ) 转化思想处理，把所求的事件：转化为等可能事件的概率( 常常采用排列组合的知识) ；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在n次实验中恰有k 次发生的概率，但要注意公式的使用条件。（2）事件互斥是
7、事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件；（3）概率问题的解题规范：先设事件A=“”， B=“”；列式计算；作答。二、随机变量. 1. 随机试验的结构应该是不确定的. 试验如果满足下述条件：试验可以在相同的情形下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； 每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。它就被称为一个随机试验. 2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 . 若是一个随机变量，a，b 是常数 . 则ba也是一个随机变量. 一般地，若
8、是随机变量，)(xf是连续函数或单调函数，则)(f也是随机变量 . 也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量. 设离散型随机变量可能取的值为：,21ixxx取每一个值), 2, 1(1ix的概率iipxP)(，则表称为随机变量的概率分布，简称的分布列 . 1x2xixP 1p2pip有性质：,2, 1,01ip；121ippp. 注意： 若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量. 例如：5 ,0即可以取 0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页5 之间的一切数，包括整数、小数、无理数. 3. 二项
9、分布 ：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是：knkknqpCk)P( 其中pqnk1, 1 ,0 于是得到随机变量的概率分布如下：我们称这样的随机变量 服从二项分布，记作B（np），其中n，p 为参数，并记p)nb(k;qpCknkkn. 二项分布的判断与应用. 二项分布 ，实际是对n 次独立重复试验. 关键是看某一事件是否是进行n 次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布. 当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验
10、，利用二项分布求其分布列. 4. 几何分布 ： “k”表示在第 k 次独立重复试验时，事件第一次发生， 如果把 k 次试验时事件A发生记为kA，事 A不发生记为q)P(A,Akk，那么)AAAAP(k)P(k1k21. 根据相互独立事件的概率乘法分式：)P(AAP()A)P(AP(k)P(k1k21),3 ,2, 1(1kpqk于是得到随机变量的概率分布列. 1 2 3 k P q qp pq2pq1k我们称 服从几何分布，并记pqp)g(k,1k，其中3 , 2, 1.1kpq5. 超几何分布：一批产品共有N件，其中有M （M N）件次品，今抽取)Nnn(1件，则其中的次品数是一离散型随机变
11、量，分布列为)MNknM,0k(0CCCk)P(nNknMNkM. 分子是从M件次品中取k 件，从N-M件正品中取n-k 件的取法数，如果规定m r 时0Crm，则 k 的范围可以写为k=0，1， n. 超几何分布的另一种形式：一批产品由 a 件次品、 b 件正品组成，今抽取n 件（ 1na+b），则次品数的分布列为n.,0,1,kCCCk)P(nbaknbka. 超几何分布与二项分布的关系. 设一批产品由a 件次品、 b 件正品组成，不放回抽取n 件时，其中次品数服从超几何分布. 若放回式抽取，则其中次品数的分布列可如下求得：把ba个产品编号， 则抽取 n 次共有nba)(个可能结果， 等可
12、能：k)(含knkknbaC个结果，故n,0,1,2,k,)baa(1)baa(Cb)(abaCk)P(knkknnknkkn，即)(baanB. 我们先为 k 个次品选定位置，共knC种选法；然后每个次品位置有a 种选法，每个正品位置有b 种选法 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，k)P(k)P(，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样 . 三、数学期望与方差. 1. 期望的含义 ：一般地，若离散型随机变量的概率分布为1x2xixP 1p2pip则称nnpxpxpxE2211为的数学期望或平均数、均值. 数学期望又简称期望. 数学期望反映了离散型精选学习资料
13、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页随机变量取值的平均水平. 2. 随机变量ba的数学期望：baEbaEE)(当0a时，bbE)(，即常数的数学期望就是这个常数本身. 当1a时，bEbE)(，即随机变量与常数之和的期望等于的期望与这个常数的和. 当0b时，aEaE)(，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积. 单点分布：ccE1其分布列为：cP) 1(. 两点分布：ppqE10，其分布列为：（p + q = 1）二项分布 ：npqpknknkEknk)!( !其分布列为),(pnB.（P为发生的概率）几何分布
14、：pE1其分布列为),(pkq. （P为发生的概率）3. 方差、标准差的定义：当已知随机变量的分布列为), 2, 1()(kpxPkk时，则称nnpExpExpExD2222121)()()(为的方差 . 显然0D， 故.D为的根方差或标准差. 随机变量 的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.D越小，稳定性越高，波动越小 . 4. 方差的性质 . 随机变量ba的方差DabaDD2)()(. （a、b 均为常数）单点分布：0D其分布列为pP) 1(两点分布：pqD其分布列为：（p + q = 1）二项分布：npqD几何分布：2pqD5. 期望与方差的关系. 如果E和E
15、都存在，则EEE)(设 和是互相独立的两个随机变量，则DDDEEE)(,)(期望与方差的转化：22)(EED)()()(EEEEE（因为E为一常数）0EE. 四、正态分布. （基本不列入考试范围）1. 密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量，位于 x 轴上方， 落在任一区间),ba内的概率等于它与x 轴.直线ax与直线bx所围成的曲边梯形的面积（如图阴影部分）的曲线叫的密度曲线，以其作为图像的函数)(xf叫做 的密度函数，由于“),(x”是必然事件，故密度曲线与x 轴所夹部分面积等于1. 0 1 P q p 0 1 P q p yxaby=f(x)精选学习资料 - - - - - - - -
16、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页2.正态分布与正态曲线： 如果随机变量 的概率密度为：222)(21)(xexf. （,Rx为常数，且0） ，称服从参数为,的正态分布， 用),(2N表示 .)(xf的表达式可简记为),(2N，它的密度曲线简称为正态曲线 . 正态分布的期望与方差：若),(2N，则 的期望与方差分别为：2,DE. 正态曲线的性质. 曲线在x 轴上方，与x 轴不相交 . 曲线关于直线x对称 . 当 x时曲线处于最高点，当x 向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线. 当 x时，曲线上升；当x 时，曲线下降，并且当曲线向左
17、、向右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向 x 轴无限的靠近 . 当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”. 表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中. 3. 标准正态分布： 如果随机变量的概率函数为)(21)(22xexx，则称 服从标准正态分布. 即)1 ,0(N有)()(xPx，)(1)(xx求出，而P（ab）的计算则是)()()(abbaP. 注意：当标准正态分布的)(x的 X取 0 时，有5.0)(x当)(x的 X取大于 0 的数时，有5.0)(x. 比如5.00793.0)5.0(则5.0必然小于0，如图 . 正态分布与标准正态分布间的关系：若),(
18、2N则的分布函数通常用)(xF表示，且有)x(F(x)x)P(. 4. “ 3”原则 . 假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布),(2N. 确定一次试验中的取值a是否落入范围)3,3(. 做出判断：如果)3,3(a，接受统计假设 . 如果)3,3(a，由于这是 小概率事件 ，就拒绝统计假设. “3”原则的应用： 若随机变量 服从正态分布),(2N则 落在)3,3(内的概率为99.7 亦即落在)3,3(之外的概率为0.3 ，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即不服从正态分布）. xya标准正态分布曲线S阴=0.5Sa=0.5+SS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页