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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料统计概率学问点梳理总结第一章 随机大事与概率一、 教学要求1懂得随机大事的概念,明白随机试验、样本空间的概念,运算 把握大事之间的关系与2明白概率的各种定义,把握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率运算3懂得条件概率的概念,把握 用这些公式进行概率运算概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式,并能运4懂得大事的 独立性概念,把握运用大事独立性进行概率运算5把握贝努里概型及其运算,能够将实际问题归结为贝努里概型,然后用 二项概率运算有关大事的概率本章重点：随机大事的概率运算二、 学问要点1随机试验与样本空间具有以下三个特性的试验
2、称为随机试验：1 试验可以在相同的条件下重复地进行；2 每次试验的可能结果不止一个,但事先知道每次试验全部可能的结果；3 每次试验前不能确定哪一个结果会显现试验的全部可能结果所组成的集合为样本空间,用表示,其中的每一个结果用e表示,e称为样本空间中的样本点,记作 e 2随机大事名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料在随机试验中, 把一次试验中可能发生也可能不发生、而在大量重复试验中却出现某种规律性的事情称为随机大事简称大事 通常把必定大事记作与不行能大事记作 看作特殊的随机大事3* 大事的关系及运算1
3、 包含 ：如大事A发生,肯定导致大事 B 发生,那么,称大事 B 包含大事 A ,记作 A B 或 B A 2 相等 ：如两大事A与B相互包含, 即A B 且 B A ,那么,称大事 A 与 B 相等,记作 A B 3 和大事 ：“ 大事 A 与大事 B 中至少有一个发生” 这一大事称为 A 与 B 的和事件,记作 A B ；“n 个大事 A 1, A 2, , A 中至少有一大事发生” 这一大事称为nA 1,A 2,A 的和,记作A 1A 2A （简记为i1A i）4 积大事 ：“ 大事 A 与大事 B 同时发生” 这一大事称为A 与 B 的积大事,记作AB 简记为 AB ；“n 个大事A
4、1,A 2,A 同时发生” 这一大事称为n名师归纳总结 A 1,A 2,A 的积大事,记作A 1A 2A （简记为A A 2A 或i1A i第 2 页,共 36 页5 互不相容 ：如大事 A 和 B 不能同时发生,即AB,那么称大事A 与 B 互不相容 或互斥 ,如 n 个大事A 1,A 2,A 中任意两个大事不能同时发生,即A Aj1ij 几 ,那么,称大事A 1,A 2,A 互不相容6 对立大事 ：如大事 A 和 B 互不相容、且它们中必有一大事发生,即AB且AB,那么,称 A 与 B 是对立的大事A 的对立大事 或逆大事 记作 A 7 差大事 ：如大事 A 发生且大事B 不发生,那么,称
5、这个大事为大事A 与 B 的差大事,记作AB 或 AB - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料8 交换律 ：对任意两个大事和 B 有ABBA , ABBA BC C 9 结合律 ：对任意大事A,B,C 有CAABCAB C ,AB10 安排律 ：对任意大事A, B, C 有CABAABCAB AC ,AB11 德摩根（ De Morgan ）法就 ：对任意大事A 和 B 有ABAB , ABAB . 4频率与概率的定义1 频率的定义设随机大事 A 在 n 次重复试验中发生了n 次,就比值n n 称为随机大事A 发生的频率,记作nf A ,
6、即fnAnAn . 2 概率的统计定义在进行大量重复试验中,随机大事 A 发生的频率具有稳固性,即当试验次数 n 很大时,频率 nf A 在一个稳固的值 p 0 p 1 邻近摇摆, 规定大事 A 发生的频率的稳固值p 为概率,即 P A p 3 * 古典概率的定义名师归纳总结 具有以下两个特点的随机试验的数学模型称为古典概型 ：第 3 页,共 36 页i 试验的样本空间是个有限集,不妨记作e e 2,e n; ii 在每次试验中,每个样本点iei1,2,n ）显现的概率相同,即- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Pe 1名师精编优秀资料e nP e 2P
7、4在古典概型中,规定大事A 的概率为nAP A A 中所含样本点的个数中所含样本点的个数n几何概率的定义假如随机试验的样本空间是一个区域可以是直线上的区间、平面或空间中的区域,且样本空间中每个试验结果的显现具有等可能性,那么规定大事的概率为A 的长度（或面积、体积）P A 样本空间的的长度（或面积、体积）5 概率的公理化定义设随机试验的样本空间为,随机大事 A 是 的子集,P A 是实值函数,如满意以下三条公理：就称公理 1 非负性 对于任一随机大事,有P A 0；,A n,有公理 2 规范性 对于必定大事,有P1；公理 3 可列可加性 对于两两互不相容的大事A A 2,Pi1A ii1P A
8、 i,P A 为随机大事的概率5* 概率的性质由概率的三条公理可导出下面概率的一些重要性质名师归纳总结 1 P 0A A 2,A 两两互不相容,就有第 4 页,共 36 页2 有限可加性 设 n 个大事- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - P A 1名师精编优秀资料P A iA 2nA ni13 对于任意一个大事A：n1 1 1P AnAP A 1P A 4 如大事 A, B 满意AB ,就有P BAP BP A , P A P B 5 对于任意一个大事A,有P A16 加法公式 对于任意两个大事A,B,有P ABP AP BP AB . 对于任意 n 个
9、大事A A 2,A ,有nnPAP AP A AP A A Ai1i11ijn1ijkn. 6 * 条件概率与乘法公式记作设 A 与 B 是两个大事在大事B 发生的条件下大事A 发生的概率称为条件概率,P A B 当P B 0,规定P A BP AB. P B在同一条件下,条件概率具有概率的一切性质乘法公式：对于任意两个大事A 与 B,当P A0,P B0时,有P ABP A P B AP B P A B . 7* 随机大事的相互独立性名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料假如大事 A 与 B 满意那
10、么,称大事A 与 B 相互独立P ABP A P B ,关于大事 A,月的独立性有以下两条性质：假如1 假如P A0,那么,大事 A 与 B 相互独立的充分必要条件是P B|AP B ；,那么,大事A 与 B 相互独立的充分必要条件是P A BP A P B0这条性质的直观意义是“ 大事 2 以下四个命题是等价的：i 大事 A 与 B 相互独立；ii 大事 A 与 B 相互独立；iii 大事 A 与 B 相互独立；iv 大事 A 与B相互独立A 与 B 发生与否互不影响” 对于任意 n 个大事A A 2,A 相互独立性定义如下：对任意一个k2,n ,任意的1i 1i kn ,如大事A A 2,
11、A 总满意P A i 1A ikP A i 1P A i k,就称大事A A 2,A 相互独立这里实际上包含了2nn1个等式8*贝努里概型与二项概率名师归纳总结 设在每次试验中, 随机大事发生的概率P Ap0p1,就在 n 次重复独立第 6 页,共 36 页试验中,大事恰发生k 次的概率为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - P k n名师精编p 优秀资料0,1,n,pk1n k,kk称这组概率为二项概率9* 全概率公式与贝叶斯公式i全概率公式：假如大事A A 2,n,P A i0,A 两两互不相容,且i1A iP A kP B|A k,k1,2,n1,2
12、,n ,就P A k|Bn其次章P A P B A i ii1离散型随机变量及其分布一、 教学要求1懂得离散型随机变量及其概率函数的概念并把握其性质,把握 0-1 分布、二项分布、泊松 Poisson 分布、匀称分布、几何分布及其应用懂得二维离散型随机变量联合概率函数的概念及性质；会利用二维概率分布计算有关大事的概率懂得二维离散型随机变量的边缘分布,明白二维随机变量的条件分布4把握离散型随机变量独立的条件5. 会求离散型随机变量及简洁随机变量函数的概率分布本章重点：离散型随机变量的分布及其概率运算二、 学问要点1一维随机变量名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 36 页精选学
13、习资料 - - - - - - - - - 如对于随机试验的样本空间名师精编优秀资料e,变量 X 都有一个确定的实数值中的每个试验结果与 e相对应,即XX e ,就称 X 是一个一维随机变量概率论主要讨论随机变量的统计规律,也称这个统计规律为随机变量的分布2* 离散型随机变量及其概率函数假如随机变量 X 仅可能取有限个或可列无限多个值,就称 X 为离散型随机变量设离散型随机变量 X 的可能取值为 ia i 1,2, , , ,p i P X a i , i 1,2, , , .如 i 1 p i 1,就称 ip i 1,2, , , 离散型随机变量 X 的概率函数,概率函数也可用以下表格形式表
14、示：Xa 1a 2a nrPp 1p 2p n *概率函数的性质1ip0,i1,2, ,;2i1p i1由已知的概率函数可以算得概率P XS a iSp i,其中,S是实数轴上的一个集合 * 常用离散型随机变量的分布名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 101 分布B名师精编优秀资料1, p ,它的概率函数为其中,iP Xip i1p 1i,0或 1,0p12二项分布B n p ,它的概率函数为i p1pn i P Xin其中,ii0,1,2,n , 0p1泊松分布P ,它的概率函数为i其中,iP Xii.e,0,1,
15、2, ,0 匀称分布 ,它的概率函数为a i1P X其中,in ,0,1,2,n 二维随机变量如对于试验的样本空间 中的每个试验结果 e,有序变量 X Y 都有确定的一对实数值与 e 相对应, 即 X X e ,Y Y e ,就称 X Y 为二维随机变量 或 二维随机向量6*二维离散型随机变量及联合概率函数名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 假如二维随机变量名师精编优秀资料那么,称X Y 为二维X Y 仅可能取有限个或可列无限个值,离散型随机变量二维离散型随机变量 X Y 的分布可用以下联合概率函数来表示：P X a
16、 Y b j p ij , i j 1,2, ,p ij 0, i j 1,2, , p ij 1其中,i j7二维离散型随机变量的边缘概率函数设 X Y 为二维离散型随机变量,p 为其联合概率函数（i , j 1,2,）,称概率P X a i i 1,2, 为随机变量 X 的边缘概率函数,记为 ip并有p i . P X a i p i ij 1,2,j,称概率 P Y b j j 1,2, 为随机变量 Y 的边缘概率函数,记为 p .j,并有p . j = P Y b j i p ij , j 1,2,. 8随机变量的相互独立性设 X Y 为二维离散型随机变量,X 与 Y 相互独立的充分必
17、要条件为p ij p p j , 对一切 i j 1,2, .多维随机变量的相互独立性可类似定义即多维离散型随机变量的独立性有与二维相应的结论9随机变量函数的分布名师归纳总结 设X 是一个随机变量,g x 是一个已知函数,Yg X是随机变量 X 的函数,第 10 页,共 36 页它也是一个随机变量对离散型随机变量X ,下面来求这个新的随机变量Y 的分布- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 设离散型随机变量名师精编优秀资料X 的概率函数为Xa 1a 2a n就随机变量函数YrPp 1p 2p ng X 的概率函数可由下表求得但要留意,如g a iYg Xg
18、a 1g a 2g a nrP1pp 2p n的值中有相等的,就应把那些相等的值分别合并,同时把对应的概率ip相加第三章连续型随机变量及其分布一、 教学要求1懂得连续型随机变量及其概率密度的概念,并把握其性质,把握 匀称分布、指数分布、正态分布及其应用2懂得二维随机变量的联合分布的概念、性质以及连续型随机变量联合概率密度；会利用 二维概率分布运算有关大事的概率3懂得二维随机变量的边缘分布 ,明白二维随机变量的条件分布4懂得随机变量的 独立性概念 ,把握连续型随机变量独立的条件5把握二维匀称分布；明白二维正态分布的密度函数,懂得其中参数的概率意义 不考 6会求两个独立随机变量的简洁函数的分布,会
19、求两个独立随机变量的简洁函数的分布,会求两个随机变量之和的概率分布名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料不考 会求简洁随机变量函数的概率分布本章重点：一维及二维随机变量的分布及其概率运算,边缘分布和独立性运算二、 学问要点1*分布函数随机变量的分布可以用其分布函数来表示,随机变量 X 取值不大于实数 x的概率P X x 称为随机变量 X 的分布函数,记作 F x , 即F x P X x , x2分布函数 F x 的性质1 0 F x 1; F x 是非减函数,即当 x 1 x 时,有 F x 1
20、F x 2 ；3 lim x F x 0, lim x F x 1; 4 F x 是右连续函数,即 lim 0 F x F a 由已知随机变量 X 的分布函数 F x ,可算得 X 落在任意区间 , a b 内的概率P a X b F b F a ;也可以求得P XaF a F a03联合分布函数名师归纳总结 二维随机变量X Y 的联合分布函数规定为随机变量X 取值不大于 x 实数的概第 12 页,共 36 页率,同时随机变量Y 取值不大于实数y 的概率,并把联合分布函数记为F x y ,即- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - F x y , P X名师精
21、编优秀资料,yx Yy ,x4联合分布函数的性质10F x y1；F x 1,y 12F x y 是变量 x 固定 y 或 y 固定 x 的非减函数；3 limF x y , 0,lim yF x y0,4l i m x yx ,y 0 , l i mxyFxy；F x y 是变量 x 固定 y 或 y 固定 x 的右连续函数；5P x 1Xx 2,y 1Yy 2F x 2,y 2F x 2,y 1F x y 25* 连续型随机变量及其概率密度设随机变量 X 的分布函数为F x ,假如存在一个非负函数f x ,使得对于任一实数 x ,有名师归纳总结 F x xf x dx第 13 页,共 36
22、 页成立,就 称 X 为连续型随机变量,函数f x 称为连续型随机变量X 的概率密度6* 概率密度f x 及连续型随机变量的性质（）f x 0;（）f x dx1；（）连续型随机变量X 的分布函数为F x 是连续函数, 且在F x 的连续点处有F f x ；（4）设X为连续型随机变量,就对任意一个实数c,P Xc 0；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5设f名师精编优秀资料 x 是连续型随机变量X 的概率密度,就有P aXbP aXbP aXbP aXb b af x dx7 * 常用的连续型随机变量的分布其中,1匀称分布R a b ,它的概率密度为,
23、2abf x b1a,axb;0,其余 .指数分布E ,它的概率密度为f x ex,x0;其中,30 0,其余 .N ,2,它的概率密度为正态分布f x 1ex22,x22其中,0 ,当0,1 时,称N0,1为标准正态分布,它的概率密度为名师归纳总结 f x 1 2ex 2,x,第 14 页,共 36 页2标准正态分布的分布函数记作 x ,即- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编x优秀资料t2dt, 1 2e2当出x0时, x 可查表得到；当x0时, x 可由下面性质得到设x1 x XN ,2,就有F xx ；aP aXbb * 二维连续型随机变量
24、及联合概率密度对于二维随机变量X,Y的分布函数F x y ,假如存在一个二元非负函数f , x y ,使得对于任意一对实数 , x y 有xyf s t dtdsF x y , 成立,就X Y 为二维连续型随机变量,f , x y 为二维连续型随机变量的联合概率密度二维连续型随机变量及联合概率密度的性质名师归纳总结 P 1 f x y , 0,x y；L ,有第 15 页,共 36 页2 f x y dxdy1；3 设X Y 为二维连续型随机变量,就对任意一条平面曲线X YL0；4 在f x y 的连续点处有- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编优
25、秀资料; 2F x y , f x yx y5 设 X Y 为二维连续型随机变量,就对平面上任一区域 D 有P X Y , D f x y dxdyD1, * 二维连续型随机变量 X Y 的边缘概率密度设 f , x y 为二维连续型随机变量的联合概率密度,就 X 的边缘概率密度为Xf f x y dy ；Y 的边缘概率密度为Yf f x y dx 11常用的二维连续型随机变量名师归纳总结 1匀称分布x212第 16 页,共 36 页假如X Y 在二维平面上某个区域G 上听从匀称分布,就它的联合概率密度为f x y1,（x yG;G 的面积0,其余 .2 二维正态分布N1,2,2,2,12假如
26、X Y 的联合概率密度f x y , 21112exp2112x212 2x1y221121就称X Y 听从二维正态分布,并记为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编优秀资料,2,. X Y , N1,2,212假如X Y N1,2,2,2,就XN1,2,YN2,2,即二维正1212态分布的边缘分布仍是正态分布12* 随机变量的相互独立性假如X 与 Y 的联合分布函数等于X Y 的边缘分布函数之积,即F x y , F X x F Y , 对一切 x y,那么,称随机变量 X 与 Y 相互独立设 X Y 为二维连续型随机变量,就 X 与 Y 相互独
27、立的充分必要条件为f x y , f X x f Y , 在一切连续点上 .2 2假如 X Y N 1 , 2 , 1 , 2 , 那么, X 与 Y 相互独立的充分必要条件是0 多维随机变量的相互独立性可类似定义即多维随机变量的联合分布函数等于每个随机变量的边缘分布函数之积,多维连续型随机变量的独立性有与二维相应的结论13随机变量函数的分布* 一维随机变量函数的概率密度设连续型随机变量X 的概率密度为fX x ,就随机变量IYg X 的分布函数为F Y P Yy P g Xy P XIyfX x dx其中,XIy与g Xy 是相等的随机大事,而yIx|yg x y 是实数轴上的某个集合随机变
28、量Y 的概率密度Yf y 可由下式得到：fY F Y y 连续型随机变量函数有下面两条性质：名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - i名师精编fX优秀资料g X 是单调函数,且具有一阶设连续型随机变量的概率密度为 x ,Y连续导数,xh y 是yg x 的反函数,就Yg X 的概率密度为22,特殊当ii 设XN ,2Yf f h y | |,就当k0时,有YkXbN kb kk1 ,b时,有YkXbN0,1,XN0,1特殊有下面的结论：X设XN1,2,YN2,2,且X与Y相互独立,就12YN12,22随机变量的数字特点
29、12第四章一、 教学要求1懂得随机变量的数学期望、方差的概念,并会运用它们的基本性质运算详细分布的期望、方差,2把握二项分布、泊松分布、匀称分布、指数分布、正态分布的数学期望和方差3会依据随机变量X 的概率分布运算其函数g X的数学期望E g X；会依据随机变量X Y 的联合概率分布运算其函数g X Y 的数学期望正E g X Y 不考 4懂得协方差、相关系数的概念,把握它们的性质,并会利用这些性质进行运算,明白矩的概念；本章重点：随机变量的期望；方差的运算名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料二、
30、 学问要点1 * 数学期望设X是离散型的随机变量,其概率函数为P Xa ip i,i1,2,xf x dx肯定可积,假如级数ia p i肯定收敛,就定义X 的数学期望 为E Xia p i i；设 X 为连续型随机变量, 其概率密度为f x ,假如广义积分就定义 X 的 数学期望 为E Xxf x dx 2*随机变量函数的数学期望设 X 为离散型随机变量,其概率函数假如级数ig a ip iP Xa ip i,i1,2,肯定收敛,就X 的函数g X的数学期望为E g Xg a p ii名师归纳总结 设X Y 为二维离散型随机变量,其联合概率函数第 19 页,共 36 页P Xa Ybjpij,
31、i j1,2,假如级数jig a b jp ij肯定收敛,就X Y 的函数g X Y 的数学期望为E g X Y , jig a b jp ij；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 特殊地E Xiia p ij;E Y 名师精编优秀资料jib p ij. 设X为连续型随机变量,其概率密度为 f x ,假如广义积分 g x f x dx 绝对收敛,就 X 的函数 g X 的数学期望为E g X g x f x dx 设 X Y 为二维连续型随机变量,其联合概率密度为 f , x y ,假如广义积分g x y f x y dxdy肯定收敛,就 X Y 的函数
32、 g X Y 的数学期望为E g x y , g x y f x y dxdy ；特殊地 E x x f x y d x d y, E Y yf x y dxdy . 3* 数学期望的性质1 E c c 其中 c 为常数 ；2 E kX b kE X b k b为常数 ；3 E X Y E X E Y ；4 假如X与相互独立,就 E XY E X E Y . 4* 方差与标准差随机变量X的方差定义为D XE XE X2运算方差常用以下公式：名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - D X名师精编2优秀资料2E XE X当X为离散型随机变量,其概率函数为P X a i p i , i 1,2, ,2 a i E X p i假如级数 i 收敛,就 X 的方差为2D X a i E X p ii；当X为连续型随机变量,其概率密度为 f x ,假如广义积分2 x E X f x dx 收敛,就 X 的方差为2D X x E x f x dx. 随机变量 X 的标准差定义为方差 D X 的算术平方根 D X . 5* 方差的性质1 D c 0c 是常数 ；D XD Y . 2 D kX2 k D Xk为常数 ；3 假如X与Y独立,就D XY6原点矩与中心矩名师归纳总结 随机变量X的k阶原点矩定义为E