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1、原创押题卷（二）（时间：120分钟总分值：150分）一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中, 只有一项为哪一项符合题目要求的）1 .设集合2=如，=/+1, M=x|y=N+l,那么集合M与集合尸的关系是（）A. M=PB. PGMC. MQPD. PJM解析：D P= y|y=x2+1 = yy 1 = h +), M=x|y=x2+1=R,所以 P=M. 应选D.1+P0212 .设复数z=-那么z的虚部是()3A. tB彳iC, 5D, ?解析：Al+j2021i+i4X505 ln(/?+1)；(2)设g(x) = (% 1 )2e.讨论方程X)=g
2、(x)实数根的个数.解：(1)由火x)W0可得，心人1 +ln x eix X令/z(x)=,那么/(x)=人1 +ln x eix X令/z(x)=,那么/(x)=(1+lnx) In xx2X2当工(0, 1)时,hf (x)0, (x)单调递增； 当%正(1, +8)时，hf(X)o,以%)单调递减, 故力(X)在X=1处取得极大值，也是最大值， 要使匕手，只需。2/2(1)=1,故Q的取值范围为1, +), d 小、 I,1, 1+lnx 一显然，当4=1时，有1,即不等式lnxln(n +1).,rm 1+lnxc(2)由次x)=g(x)可侍，-a=(x-l)-e 人EE 1+lnx
3、r 人1 +ln Xr即 a= (% l)2eA, 令 Z(x) = (x 1 )2eA(x0),Inx )那么 t (x) = -2 (x2 1 )e, X当go, 1)时，/ a)o, )单调递增;当尤w(i,+8)时，/ a)vo,心；)单调递减, 故，(x)在X=1处取得极大值*1)=1,也是最大值， 又当 f。时，(x)f 8, 当 Xf + 8 时 (x)f 8, 所以，当Q=1时，方程/U) = g(x)有一个实数解； 当qvi时，方程x)=ga)有两个不同的实数解； 当al时，方程式x)=g(x)没有实数解.解析：A 易知2x3W0,即x#*排除C、D.当看时，函数为减函数；当
4、制时, 乙乙乙函数为增函数，应选A.5.(JT ) 2sin( n 6t) = 3sin+贝lj sin2 a sin 2 a cos2 Q =(B.B.113a 白.应选B.-X.3a =5从而 sin2 乙6 .唐代诗人李颁的诗古参军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.” 诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某 处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设 军营所在区域为x2+ywi,假设将军从点A(2, 0)处出发，河岸线所在直线方程为x+y=3,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，那么“将军饮马
5、”的最短总路程为()A.C. 2y2B. 22-1D. yiQ解析：A设点A关于直线x+y=3的对称点4(m b)9 AAr的中点为告，故0,且的图象关于直线y=x对称，函 数人幻的图象经过点A(4, 2)与点8(8,。，假设p=/V 4=。2，r=logz0.2,贝1()A. rqpB. rpqC. qrpD. pq0,且qW 1)的图象关于直线y=x对称， 那么危) = logx,又因为图象过点4(4, 2),贝U 2 = log“4,那么。=2,那么函数段)=log2%,因此/ = log28 = 3.那么=产2=3。21,夕=02=0.23 , 0(/1, r= logz0.2 = l
6、oga0.20,故 rq0,11.函数 f（x）=Acos（cox+（p）A0,30, |研1 = 1,那么PDi=即点二的轨迹是一段 圆弧，故B正确；连接04, DC1,可得平面AQG平面那么当尸为4G中点时，。尸有最小值 为 (陋)2+了=小,故C错误；由C知，平面3。尸即为平面3。n8,平面成)P截正四棱柱ABCD-AiEGd的外接球1 jq9 IT所得平面图形为外接球的大圆，其半径为5 “22+22+ 12=；,面积为方，故D正确.应选A、B、D.三、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13 .函数/(x) = 3xcos x在(0, 7(0)处的切线与直
7、线1 =0垂直，那么实数机的 值为.解析：因为了(x) = 3+sinx, / (0) = 3,所以在(0,40)处的切线的斜率为3,因为切线212与直线21一/2+1=0互相垂直，x+,所以而乂3 = 1,解得根=一6.答案：一614 .商家通常依据“乐观系数准那么”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价m 最高销售限价仪/。)以及实数x(0xl)确定实际销售价格c=a+x(。一).这里，x被称为乐 观系数.经验说明，最正确乐观系数x恰好使得(c。)是S。)和S。)的等比中项.据此可得, 最正确乐观系数x=.解析：由题意得 x=b_Q, (ca)2=(bc)(ba)9bc=(ba) (c
8、a) 9(c-a)2 (b-(/7q)(cd),两边同除以(b 。)2,得X2+x 1 =0,_ 1 =t/5. 小一1解得 x= 2 * 0=状2,所以将5（2世，8）代入得加=1,故抛物线方程为=X2,当杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，如图，设玻璃球轴截面所在圆的方程为炉+。一厂）2 =已依题意，需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立,即（/厂）22厂,那么有12（/+1 2厂）20恒成立，解得12r，0,可得所以玻璃球的半径的取值范围为（0, 1答案：6（0,四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 .(本小题总分值 10
9、 分)在。Seisin C=ccos(q-A;(DVccos A=acos 3+加os A；坟+，=层+蛆秘，这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答问题.问题：在ABC中，内角A, B, C所对边分别为m b, c,=3, ABC的面积注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.解：选：因为也sin C=ccos信一A),由正弦定理得也sin Asin C=-sin C(sin A+cosA),因为 C(0, Ji),所以 sinCWO,所以 sinA=cosA,因为 A(0, n ),所以 A=宁，又 Saabc= 3=2sin A,且 b=3,得 c=2、，由余弦定理得层=从
10、+。22bccos A,解得a=邓.选：因为立ccos A = cos 3+cos A,由正弦定理得也sin Ceos A = sin Acos B+sin Bcos A = sin(A+B)= sin C,因为 C(0, n ),所以 sin CWO,y2所以 cosA=，因为 A(o, Ji),所以 A=?,又 Szabc=3 =：Z?csin A,且 b=3,得 c=2小,由余弦定理得 a2=b2-c22Z?ccos A,解得 ay5.Ll c2 _ 2选：因为 b2-c2=a2 +y/2bc9 所以 b1-Vc1a1=2bc,得 cos A=因为A(0, ),所以又 S/abc= 3=
11、2sin A,且 /?=3,得 c=2y,由余弦定理得a2b2-c22/?ccos A,解得a=木.18 .(本小题总分值12分)数列斯是等比数列，且0 = 1,其中，s+l,6+1成 等差数列.(1)求数列斯的通项公式；斯,几为奇数,(2)记bn=A田拈 求数列儿的前2n项和一.U0g2，几为偶数，解：(1)设数列斯的公比为9，因为0，念+1, s+l成等差数列，所以 2(42+1)=。1+。3+1,又的=1,所以2(q+1)=2+/，即炉2q=0,所以q=2或4=0(舍去)，所以斯=2一1.(2)由(1)知,b尸2一、为奇数，、一 1, 72为偶数,所以 外=(2+l)+Q2+3)+ Q2
12、2+2- 1) = )+22F22/7-2)+(l +3HF2/1-1)1 4n n ( 1+2h1) 14 +19 .(本小题总分值12分)如图,在三棱柱ABC-AiSG中，88i_L平面ABC, ABA.BC, AB =2, BC=1, BBi = 3,。是CG的中点，石是A3的中点.(1)证明：。石平面G84；(2)F是线段CCi上一点，且直线AF与平面ABBxAx所成角的正弦值为求二面角F-BA1-A的余弦值.解：(1)证明:如图，连接A囱交48于点。，连接EO, OCi.= AE=EB, ：. OE=BB OEBBi,又 DCtBBi, DCBB,：.OE DC,因此，四边形DEOG
13、为平行四边形, ：.ED/OC. .OGU平面GB4, EZK平面C184,二DE平面GA4i.(2)易知AB, BBi, 8C两两垂直，所以以BA, BB】,BC所在直线分别为x轴，)，轴，z 轴建立如下图的空间直角坐标系B-xyz,过点尸作/HJ_5囱，交BBi于点、H,连接AH. BB平面 ABC, ABU平面 ABC, ：.ABA.BB.9：ABA_BC, BCCBBi=B,，人对平面 C851G.ABU平面 BAAiBi,，平面3AA向J_平面CBBiG. .FHU平面CB&Ci, FH上BBi,平面34415 n平面C381G =3囱，产”，平面 BAAiBi,J NE4H为直线A
14、厂与平面ABBiAi所成的角，FH 1记为仇 那么 sin =77=T, .AF=3, /r j在 RtZXAC/中，5=AG=A/一C尸=9一。尸，:CF=2, F(0, 2, 1), 4(2, 3, 0),?.8F=(0, 2, 1),就= (2, 3, 0),设平面8/A的法向量为m=(x, y, z),m- BF =2y+z=0,那么j _取y=2,得x=3, z=-4,.m=(-3, 2, 4)为平面B碎 m- BA =2x+3=0,的一个法向量.易知平面844的一个法向量为n=(0, 0, 1),44 1贝cos (m, n) |=啦义=药回又二面角F-BA-A为钝二面角，因此，二
15、面角F-BA-A的余弦值为一为您.20.(本小题总分值12分)给定椭圆C： 2+1=1(。0)，称圆心在原点。，半径为“屋+抉的圆是椭圆。的“卫星圆”，假设椭圆C的离心率为平，点(2,也)在。上. 乙(1)求椭圆。的方程和其“卫星圆”方程；(2)点P是椭圆。的“卫星圆”上的一个动点，过点P作直线小，2使得小/2与椭圆。都只有一个交点，且人/2分别交其“卫星圆”于点M，N,证明：弦长IMNI为定值.解：(1)因为椭圆C的离心率为姿，点(2,也)在。上， 乙r c V2e=a= 2 所以(二+/=1 解得”=2吸，b=2, c=2,所以椭圆方程为会+：=1,6Z2 = /72 + c2,因为半径为”层+抉=2小,圆心为原点。，所以卫星圆的方程为炉+产二口.