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1、特色题专项练(四)创新迁移题1 . (2021 上海交大附中模拟)定义集合A, 3的一种运算：A*B=x|x=r+x2，其中加 X2B,假设4=1, 2, 3, B=1, 2,那么4*5=()A. 1, 2, 3, 4, 5B. 2, 3, 4, 5C. 2, 3， 4D. 1, 3, 4, 5解析：B当X1 = 1时，X2可以取1或2,那么见十应=2或3；当乃=2时，及可以取1 或2,那么为十应=3或4；当汨=3时，X2可以取1或2,那么xi+%2=4或5.A*B=2, 3, 4, 5.2 .(2021 北京师范大学附属实验中学模拟)假设一系列函数的解析式相同，值域相同，但 其定义域不同，那
2、么称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为值域为1, 4的 “同族函数”共有()A. 7个B. 8个C. 9 个D. 10 个解析：C由题意知，解决问题的关键在于确定函数定义域的个数.函数解析式为y= ，值域为1, 4,当工=1时，y=l；当工=2时，y=4,那么定义域可以为1, 2, 1,-2, 1, 2, 2, 1, 2,-2, 1, 2, 2, 1, 2,-2, - 1, 2, -1, -2, 1, -1, 2, 1,-2), 1, -1, 2, 2,因此“同族函数”共有9个.a b3.定义一种运算：c函数於尸JI sin x sin-2-ji COS X COS-,为了得到函数y=
3、sinx的图象，只需要把函数y=/(x)的图象上所有的点()jiA.向左平移三个单位长度B.向右平移*个单位长度C.向上平移T个单位长度JID.向下平移7个单位长度jiji ( n A解析：A解析：A由题设知,fix)=sinxcos-ycosxsin-=sinxy 所以为了 得到函数=sin %的图象，只需要把函数r) = sinQ3的图象上所有的点向左平移/个单位长度.故选A.4. (2021衡水中学模拟淀义d(a, b) = |ab|为两个向量a, b间的“距离”.假设向量a, b满足：|b|=l；aWb；对任意，R,恒有d(a, fb)2d(a, b),那么( )A. abA. abB
4、. a_L(ab)C. b(ab)D. (a+b)(ab)解析：C 由题意知 d(a,，b)2d(a, b)O|arb|ab|,即(afb)22(ab)2,又|b|=l, 所以展开整理得32ab，+2ab120.因为上式对任意恒成立，所以/=4(ab)2 4(2a,b-l)W0,即(ab-1)20,所以 ab=l,于是，b-(ab) = a-b |b|2= 1 12=0,所以 b(a -b).应选C.5.科学家在研究皮肤细胞时发现了一种特殊的凸多面体，称之为“扭曲棱柱”.对于 空间中的凸多面体，数学家欧拉发现了它的顶点数、棱数与面数存在一定的数量关系(如下 表).凸多面体顶点数棱数面数三棱柱6
5、95四棱柱8126五棱锥6106六棱锥7127根据上表所表达的数量关系可得，有12个顶点、8个面的扭曲棱柱的棱数是()B. 16A. 14C. 18D. 20解析：C由题中的表易知同一凸多面体顶点数、棱数与面数间的规律为：棱数=顶点 数十面数一2.所以有12个顶点、8个面的扭曲棱柱的棱数为12+8 2=18.应选C.6. (2021合肥市第六中学模拟)设函数人%)的定义域为Q,如果对任意的为。，存在 ” 使得於】)=一於2)成立，那么称函数於)为“”函数”.以下为“H函数”的是()A. /(x) = sinxcosx+cos2xB. /(%) = lnx+eA解析：B由题意知，函数”的值域关于
6、原点对称.选项A中，因为/U) = sinxcosx+cos2x=sin 2x+cos2x=sin 2x+所以函数/U)的值域为该函数的值域不关于原点对称，应选项A中的函数不是“”函数”；选项B中，函数人幻 = lnx+e，在(0, +8)上单调递增，函数段)的值域为R,关于原点对称，应选项B中的函 数是函数”；选项C中，函数次x) = 2的值域为(0, +8),不关于原点对称，应选项C 中的函数不是函数”；选项D中，因为式幻=/2x=(x1)2IN 1,所以该函数的 值域为1, +8),不关于原点对称，应选项D中的函数不是“函数”.应选B.7.（2021 长郡中学模拟）假设存在常数右2）,
7、q, d,使得无穷数列斯满足斯+1斯+d，,= 0”，给出如下一种解法.解：由a+bx+cQ的解集为（一 1, 2）,得a（x）2+/?（x）+c0的解集为（一2, 1）,即关于x的不等式。x2bx+c0的解集 为（一2, 1）.参考上述解法，假设关于x的不等式壬+史0,且xW l）,设8（%）=高，n x 1那么g（x尸（Inx） 2所以易知g（x）在（0，1）和（1，e）上单调递减，在(e, +8)上单调递增，所以g(x)的极小值为g(e) = e.易知x广时，+% + 8时,X记7f+8,所以作出g(x)的大致图象如下图，由图可知当(e, +8)时，函数人幻有两 个不动点.10. (20
8、21 苏州实验中学模拟)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，函数x)1, %GQ,=c八被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，关于函数/U)有如下0, LrQ四个命题：Mx)=o；函数“X)是偶函数；任取一个不为零的有理数T, /U+7)=/(x)对任意的xR恒成立；存在三个点4为，1), 3(如 2)，C(X3,於3)，使得A3C为等边三角形.其中真命题的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4解析：c对于，当X为有理数时，人光)=1,用a)=/n)=i,故是假命题；对于, 假设xQ,那么一xQ；假设xrQ,那么一次(rQ,所以无论无是有理数还是无理数，都有八一天) =,
9、即函数兀r)为偶函数，故是真命题；对于，当x为有理数时，%+T为有理数， 满足/U+7)=/(x)=l；当为无理数时，x+T为无理数，满足/(x+7)=/a)= 0,故是真 命题；对于，当A, B,。三点满足A惇，0), 3(0, 1),一坐，0)时，ABC为等边 三角形，故是真命题.综上所述，真命题的个数是3.应选C.11.(多项选择)(2021 山西大学附属中学模拟)假设定义在R上的奇函数於)满足对任意的xi， x2eR,且即WX2,都，幻)8 0,那么称该函数为满足约束条件K的一个“K函 XX2数”.以下不是“K函数”的是()A. 4r)=x+lB. f(x) = x3C. =；D. =
10、x|x|解析：ABC 选项A中，函数“c)=x+l不是奇函数，应选项A中的函数不是“K函 数”.选项C中，函数八x)=l的定义域不是R,应选项C中的函数不是“K函数”. Ji定义在R上的奇函数段)满足对任意的.及比且汨WX2,都有三产-0, 等价于奇函数/(幻在R上单调递增.选项B中，函数./U)=一炉在R上单调递减，应选项B 中的函数不是“K函数”.(%2在R上单调递增且为奇函数，应选项D中的函一厂，x4；假设zN*,那么 念不可能是“复活集”.其中正确的结论是.(填序号)解析：0)1段X-1；巾= T*+T；巾=T,故正确；不妨设。1+。2 乙乙乙乙= CW2 = t,那么由根与系数的关系知。2是一元二次方程X2 江+，=0的两个根，由/ = ( 一 024r0,可得，4,故错；不妨设1他。34，由斯=。1+21Hannan,得qq斯-1，当n=2时，有a0)有且仅有4个交点, 如图，先画出函数式幻的图象，又直线y=l丘/0)恒过定点P(0, 1),设点A, 5的坐标 分别为(3, 0), (4, 0),要使函数/U)的图象与直线y=l依(Q0)有且仅有4个不同的交点, 易知应满足一g=z%wzZp3=；,解得:攵wg.叮-2 -1 O 1 2 A 片5 y=l-kx答案:4 3