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1、原创押题卷（一）（时间：120分钟总分值：150分）一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中, 只有一项为哪一项符合题目要求的）1 .全集 U=R,集合 A=1, 3, 5,集合 8=x|x26x+520,那么 图中阴影局部表示的集合为（）A. 1, 3, 5B. 3, 5C. 0, 3D. 3解析：D 3=兄%2 6x+520 = x|x25或xWl,阴影局部为3.应选D.2.命题p： = 1,命题0复数z=y为纯虚数，那么命题是夕的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件I i解析：C 设2=万，bR且匕W0,那么工1
2、二万，得到l+i=Q人+万，1 = 且1 +ai1= 解得 =-1.应选C.3.直线 Q 2xysin +5 = 0, /2： 3x-2（2-sin ）y+2 021=0,假设 /i,b，那么 sin a =（）A. -1B. 0C. 1D. 一1 或 1解析:A V/i；2, /.6+2sin Q（2sin 4）=0,解得 sin a = 1 或 sin a =3（舍去）.故 选A.4 .。=esmi, Z?=ln（sin 1）, c=sin 1,那么 a, b, c 的大小关系为（）A. abcB. bcaC. cbaD. bac解析:B 因为 0l, ln（sin l）0,所以。c0）,
3、过抛物线C的焦点/作1轴的垂线，与抛物线C交 于A, B两点,。为坐标原点，的面积为2,那么抛物线方程为（）A. V=2xB. y2=4xC. y2=8xD. y2=16x解析:B 设Ae，yo）,那么S=dX?=0)在点(1,41)处的切线方程为y=2e(x-l).所以直线y=2e(xl)在x轴，y轴上的截距分别为1, 2e, 因此所求三角形的面积为已(2)g(x)=xexldn xe(x0), g=0,当女W0时，函数g(x)是增函数，g(x)有唯一的零点，与矛盾；r, , k x (1 +x) exk当攵。时，屋 Q) = (l+x)ex;=,令(x)=x(l+x)e贝I/(=(1+3%
4、+/)90,所以(x)是增函数，又/?()=-NO,= k(l + 电心一kkk=3 故存在刈(0, k),使 献血=刈(1+xo)exoZ=0,即 Z=xo(l+xo)ex().当(o, &)时,/i(x)o,即9。)0,即g0, g(X)单调递增,所以函数g(X)有最小值且g(X)min=g(xo)=xoexo攵In xoe=x()exo%o(l +xo)exoln xo-e,且 g(x()=(l+3xo+x8)的la%,当 x()(0, 1)时，/ (x()0, g(xo)单调递增；当沏W(l, +8)时,屋(沏)0, gQo)单调递减,所以g(配)ming=。.当的W(o, 1)时,存
5、在与(0,劭)使g()=0,又g=0,故g(x)有且仅有两个不同的 零点，此时左(o, 2e)；当xo=l时，此时攵=2e, g(x)有唯一的零点X0；当为(1, +),存在X2(XO, +8)使g(X2)= 0,又g(l) = 0,故g(x)有且仅有两个不同的零点，此时Z(2e, 4-00).综上所述左寺(0, 2e)U(2e, +).6 .尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究已经对地震有所了解，例如, 地震释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8 + L5M据此推 断2008年5月12日我国四川省汶川地区发生里氏8.0级地震所释放的能量是里氏5.0
6、级地 震所释放的能量的（）B. 4.5 倍D. 1。4.5 倍倍C. 450 倍贝噜=a5,即耳=心5&解析：D 设里氏8.0级和里氏5.0级地震所释放的能量分别为和那么lgEi=4.8+ 1.5X8, 1g 2=4.84-1.5X5,所以 l*=lg 豆一馆 卜=4.5, 应选D.7 .函数段）的图象如下图，那么於）的解析式可以是（ln|x|xeAB. Xx)=-C1D解析：a由函数图象可知，函数,/U）为奇函数，排除b、c.假设函数为./u）=x上 那么+8时，式x)f+8,排除D,应选A.8 .定义在(0, +8)上的函数人%)满足货(幻一10, /4) = 21n2,那么不等式次e)0
7、,故 g(x)在(0, +8)上单调递增，g(4)=4)ln 4=21n 2-21n 2=0.不等式式64, EP/ev)-ln ev0,即 g(e)g(4),根据 g(x)的单调性知 0ex4,即 ex4=eln4,解得 x0, ：.a+b+2-2yi-2yb09 C选项正确；对于D选项，.,（0+。）+0=2+2+2。， （=4,当且仅当4=6时, 等号成立，但a*0, .m+A）6+/4,贝叶D选项正确.应选B、C、D.10 .如图，边长为手的正六边形（中心为坐标原点，上下两边与x轴平行）与函数次x）=Asin（Gx+9）（A0, 研、）的图象有且仅有三个交点- C, D,且正六边形与y
8、轴非负半轴交于M点，火幻的图象与y轴非负半轴交于点N,那么以下说法正确的选项是（）A.函数人灯的最小正周期为2 r11 JIB.函数x）的图象关于直线x=-j了对称5 JijiD.函数x）的单调增区间为一7y+左冗，立+攵兀，kZ L乙L L解析：CD 正六边形的边长为可知OB = , ：.B点坐标为Oj, /. T= 2）管+总=Ji ,.二 3=2.又.曲线过点（一看，0）,故 sin（/+J = 0, V（p=港-sin?=w，.班=一了，C正, JlJl JT5 nJT确；对于D：由一w+2左兀方+2Z兀（左金Z）,得一%方+%兀（左Z）,5 nji.二函数x）的单调增区间为一玉+攵兀
9、，+kTi , kZ, D正确.应选C、D.11.直线/：丘一y+2Z=0 和圆。：x2+y2=16,那么( )A.直线恒过定点(2, 0)B.直线/到原点距离的最大值为2C.直线/与圆。相交D.假设人=1,直线/被圆。截得弦长为4解析：BC 对于A：由近一y+22=。可得y=Z(x+2),过定点尸(一2, 0), A错误；对 于B：直线/到原点的距离即原点到直线/的距离，过原点作。加，直线/于点M(图略)，因 为IOMWIOPI，所以直线I到原点距离的最大值即为原点到定点P的距离2, B正确；对于C：圆。的半径为4,因为|0尸| = 22=2.设直线/的方程为 =丘+加，代入双= 12,=
10、12,曲线的方程，消去y,得(1一3攵2)工26加一3/-3=0,所以汨+检=1竺31 3Kyy2=+%2)+ 2m = 12k2m=2,由解得攵=2.答案:2四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17 .(本小题总分值10分)在0=2,即+|=斯+2一】+ 1；2斯=5+。1且，.+2, 18 成等比数列；0 = 1,。+1= 寿这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中.斯十2设数列的前项和为S，求4的通项公式.注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.解：选：6/1=2,由斯+1=。+21+ 1,可得斯+1斯=21+ L所以 an=(an
11、an-1)+(an-1 an-2)4卜(俏，2)+(a2ai)+，_12- i_贝！1 斯=2 2+2 3_|p2+1+一 1+0=；1+2=21 2故 an=2n -n.选：2如=3+0且Qi,故+2, 18成等比数列.由题意，得当时，5,7Sn-2an2a,解得斯=2斯_,又防，政+2, 18成等比数列,所以18al=（2卬+2）2,即2廨-50+2=0,解得勾=2 或 ai=g.假设0=2,数列斯是首项为2,公比为2的等比数列,数列如的通项公式为斯=2；假设数列斯是首项为1公比为2的等比数列，数列的通项公式为为=2-2.综上，数列%的通项公式为斯=2或许=2-2.选：因为41 = 1,即
12、+1= 比7所以斯W0,。十2所以一L=；+* 即Lcin+1a7 乙 a+1乙又 Qi = 1,那么7= 1，Cl所以J是以1为首项，为公差的等差数列，所以上=+（_1）*3=4 ,2所以。=十118 .（本小题总分值12分）在ABC中，内角A, B,。所对的边分别是b, c,且2sin C=45ccos A + csin A,点。是 BC 的中点.求角A；（2）假设人+。=小，求线段的取值范围.解：（1）由正弦定理及 2asin C=，5ccos A + csin A,得 2sin Asin C=（/3sin Ceos A+sin Csin A,即 sin Asin C=y3sin Ceo
13、s A,V0Cn , /.sin CO,J tan A=小，又 A(0,J tan A=小，又 A(0,. 3T兀),/1 = 3 .(2)由於=(AB +京)，可得 AD |2=|(|4B |2+|7C |2 -2AB XAC |cos A), . AD |2 =；(/?+c)2he =(3 he).由 b+c=小,得 b+c=y/32ybc, /.*W而F京故江常|坐即线段A。的取值范围为I，坐)19 .(本小题总分值12分)如图，在多面体ABC。石中，四边形3c是矩 形，ADE为等腰直角三角形，且NADE=90。，3AB=AD=巾,BE=2.(1)求证：平面ADEJ平面A3；n(2)假设
14、线段CO上存在点P,使得平面出E与平面AED夹角的大小为彳，试确定点P的位置并证明.解：(1)证明：由，等腰直角三角形中也，得AE=2,又 AB=2吸,所以因此 AJ_3,又 DE1BE, AECWE=E,可得3J_平面AOE,又BEU平面ABE, 所以平面AQEJL平面ABE.点P为线段。的中点，使得平面PAE与平面AED夹角大小为4如图，以E为原点，E4为x轴，仍为y轴，过石作平面A3石的 垂线为z轴，建立空间直角坐标系，那么 (0, 0, 0), A(2, 0, 0), 3(0, 2, 0),易得。(1, 0, 1).设 P(x, y, z),由罚=2女=4/，A G(0, 1),即(x
15、1, y, z-1 )=2(0, 2, 0),得尸(1, 22, 1).设平面4E尸的一个法向量为m=(xi, yi, Z1),| EA ni=0,f2xi=0,那么 即LfP -nO,i+2i+zi=0,不妨设 y = l,那么 m=(0, 1, 2A).又平面AOE1的一个法向量为n2=(0, 1, 0),JI因为平面以E与平面AEO夹角的大小为于是 cos（=|cos n., n2） =-=.解得2=5或2= 5（舍去），JI所以当点P为线段CD的中点时，平面PAE与平面AED夹角的大小为彳.20 .（本小题总分值12分）为了了解某市高中生周末运动时间，随机调查了 3 000名学生,统计
16、了他们的周末运动时间，制成如下的频数分布表:周末运动 时间，（分 钟）30, 40)40, 50)50, 60)60, 70)70, 80)80, 90人数300600900450450300从周末运动时间在70, 80）的学生中抽取3人，在80, 90的学生中抽取2人，现从 这5人中随机推荐2人参加体能测试，记推荐的2人中来自70, 80）的人数为X,求X的分 布列和数学期望；（2）由频数分布表可认为：周末运动时间/服从正态分布N（4,其中为周末运动 时间的平均数7,。近似为样本的标准差s,并已求得s仁146可以用该样本的频率估计总 体的概率，现从该市所有高中生中随机抽取10名学生，记周末运
17、动时间在（43.9, 87.7之外 的人数为Y,求产（y=2）（精确到0.001）.参考数据：当 tN,丑）时，p也一cyt5+6=4682 7, P（/z 2oUV+2。） = 0.954 5, P（ 3774+2。)= 10.818 6=0.181 4,所以 y8(10, 0.181 4),所以尸(y=2)=GoXO.181 42X0.818 6845X0.033X0.202 0.300.21 .(本小题总分值12分)椭圆C，+*过点尸(2, 1)，Fi, F2分别为椭圆。的左、右焦点，且|Pri| + |PF2|=4，1(1)求椭圆。的标准方程；(2)点M, N是椭圆C上与点P不重合的两
18、点，且以为直径的圆过点P,假设直线 过定点，求出该定点；假设不过定点，请说明理由.解：由|尸川+ |尸尸2|=40,可得2=4镇,所以 a=2y2.41由点P(2, 1)在椭圆上，可得了+京=1,故。2=2,所以椭圆C的标准方程为5+9=1. o Z(2)设加(为，y), N(%2, 丁2),假设直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y=mx+n.将直线A/N的方程代入、+另=1,消去y得(1+4m2)/+8加氏+4层一8=0. O 乙由/ = (82)24(1 +4m2)(4/i28)0,得 2；822+2,心、,_8 34/128所以汨+及一一 1+4加2,汨及一+4加2，因为以为直径的
19、圆过点P,所以国F京=(即一2,) 1)(X22,竺一1)=(X12)(X2 2) + (i 1)O21)= (xi - 2)(x22) + (mxi + n _ 1)(777x2+ 1)=(1 + 77：2)xiX2+(mnm-2)(xi +尤2)+ 层2+54/128=(1 + m2)-. A 7 1+W4/128=(1 + m2)-. A 7 1+W(Smn +(加 22)(一甲版+层一2+5=0.整理得(2 机+- 1)(6z71+5h+3)=O.因为点P(2, 1)不在直线MN上，所以2加+一IWO,所以6加+5+3 = 0,所以=一 6m 3-5,于是直线mn的方程为=加(工一|，