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1、精品_精品资料_二次函数学问点总结及相关典型题目第一部分 基础学问可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 定义： 一般的, 假如 yax 2bxca, b, c 是常数, a0 ,那么 y 叫做 x 的二次函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 二次函数 yax 2 的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2（1） 抛物线 yax 2 的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精
2、品_精品资料_（2） 函数 yax 的图像与 a 的符号关系 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a当 a0 时抛物线开口向上顶点为其最低点.0时抛物线开口向下顶点为其最高点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） 顶点是坐标原点,对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为yax 2（a0）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 二次函数yax 2bxc 的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线 .可
3、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 二 次 函 数 yax 2bxc用 配 方 法 可 化 成 ： ya xh 2k 的 形 式 , 其 中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_hb , k 2a4acb 2.4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_25. 二 次 函 数 由 特 殊 到 一 般 , 可 分 为 以 下 几 种 形 式 ： yax 2 . yax 2k .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资
4、料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ya xh. ya xh 2k . yax 2bxc .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a 的符号打算抛物线的开口方向：当a0 时,开口向上.当 a0 时,开口向下.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 相等,抛物线的开口大小、外形相同.平行于 y 轴（或重合）的直线记作xh . 特殊的, y 轴记作直线 x0 .7. 顶点打算抛物线的位置. 几个不同的二次函数,假如二次项系数a 相同,那么抛物线的开口方向、开口大小
5、完全相同,只是顶点的位置不同.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 求抛物线的顶点、对称轴的方法2b4acb 2b4acb2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）公式法： yax2bxca x2a,顶点是（4a,）,2a4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对称轴是直线xb .2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）配方法： 运用配方的方法,将抛物线的解析式化为ya xh 2k 的形式, 得到顶可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点为 h , k ,对称轴是直线 xh .（ 3）运用抛物线的对称性： 由于抛物线是以
6、对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 抛物线 yax 2bxc 中,a,b,c 的作用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） a 打算开口方向及开口大小,这与yax 2 中的 a 完全一样 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） b 和 a 共同打算抛物线对称轴的位置. 由于抛物线 y
7、bbax 2bxc 的对称轴是直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x,故： b 2a0 时,对称轴为y 轴.0 （即 a 、 b 同号）时,对称轴a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 y 轴左侧. ba0 （即 a 、 b 异号）时,对称轴在y 轴右侧 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3） c 的大小打算抛物线yax 2bxc 与 y 轴交点的位置 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x0时, yc ,抛物线 yax2bxc 与
8、 y 轴有且只有一个交点（0, c ）：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ c0 ,抛物线经过原点 ; c0 , 与 y 轴交于正半轴.c0 , 与 y 轴交于负可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_半轴 .以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立. 如抛物线的对称轴在y 轴右侧,就b0 .a10. 几种特殊的二次函数的图像特点如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yax 2yax 2kx0 （ y 轴）（ 0,0 ）x0 （ y 轴）0,k 可编辑资料 - - - 欢迎下载精
9、品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ya xh 2ya xh 2当 a0 时xhk开口向上xh h ,0 h , k 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yax 2bxc当 a0时bxb4 acb 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_开口向下2a,2a4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11. 用待定系数法求二次函数的解析式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）一般式： yax 2bxc . 已知图像上三点或三对x 、 y 的值,通常挑选一般式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -
10、- - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）顶点式： ya xh 2k . 已知图像的顶点或对称轴,通常挑选顶点式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）交点式：已知图像与 x 轴的交点坐标x1、x2 ,通常选用交点式： ya xx1xx2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12. 直线与抛物线的交点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） y 轴与抛物线 yax 2bxc得交点为 0,c .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2 ） 与
11、y 轴 平 行 的 直 线 xh 与 抛 物 线 yax 2bxc有 且 只 有 一 个 交 点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ h ,ah 2bhc .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）抛物线与 x 轴的交点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二次函数 yax 2bxc 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标x 、 x ,是对应一元可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二次方程ax 2bxc0 的两个实数根 . 抛物线与 x 轴的交点情形
12、可以由对应的一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与 x 轴相交.有一个交点（顶点在x 轴上）0抛物线与 x 轴相切.没有交点0抛物线与 x 轴相离 .（ 4）平行于 x 轴的直线与抛物线的交点同（ 3）一样可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时,两交点的纵坐可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_标相等,设纵坐标为k ,就横坐标是ax 2bxck 的两个实数根 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 5）一次函数 ykxn k0 的图
13、像 l 与二次函数 yax2bxc a0 的图像 G 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_交点,由方程组ykxnyax 2bx的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l 与 G 有两个交点 ; 方程组只有一组解时l 与G 只有一个交点. 方程组无解时l 与 G 没有交点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 6 ）抛物线与x 轴两交点之间的距离：如抛物线yax2bxc与 x 轴两交点为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
14、_精品资料_A x1,0 , Bx2,0,由于x1、x2 是方程ax2bxc0 的两个根,故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x2b , xxc12a a22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABx1x22x1x22x1x24x1x2b4caab 4acaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其次部分 典型习题考点 1: 函数的三种形式2. 抛物线 y x 2x2 的顶点坐标是（）A. （ 2, 2）B.（ 1, 2）C.（ 1, 3）D.（ 1, 3）2. 抛物线 y=2x-3 2 的顶点在 A. 第
15、一象限B. 其次象限C. x 轴上D. y 轴上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 抛物线y （ x2）21 的顶点坐标是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A （ 2, 1）B （-2, -1）C（-2, 1）D （ 2, -1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 如图,抛物线yax2bxc 与 x 轴交于点 1,0 ,对称轴为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1 ,就以下结论中正确选项A. a0B. 当 x1时, y 随 x 的增大而增大可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C. cD. x03是一元二次方程2ax2
16、bxc0 的一个根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 抛物线 y=x +bx+c,经过 A-1 ,0,B3,0两点,就这条抛物线的解析式为 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 已知抛物线yx24x5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）直接写出它与 x 轴、 y 轴的交点的坐标.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）用配方法将yx24 x5 化成ya xh2k 的形式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 已知二次函数 y=x2+bx+c 中,函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表：x-101234y
17、830-103可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 求该二次函数的解析式.(2) 当 x 为何值时, y 有最小值,最小值是多少？(3) 如 A（ m, y1）, B m+2, y2 两点都在该函数的图象上,运算当 m 取何值时, y1y2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 抛物线 y=ax2+bx+c 上部分点的横坐标x,纵坐标 y 的对应值如下表：x 2 1012y0 4408（ 1）依据上表填空：抛物线与 x 轴的交点坐标是和.抛物线经过点- 3,. 在对称轴右侧, y 随 x 增大而.2（ 2）试确定抛物线 y=ax +bx+c 的解析式 .解
18、: （ 1） 抛物线与 x 轴的交点坐标是和. 抛物线经过点- 3,. 在对称轴右侧, y 随 x 增大而.（ 2）考点 2.a 、b、c 符号问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、已知二次函数yax 2bxc 的图象如下列图,就以下结论正确选项（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ab 0, c0 ab 0, c 0 ab 0, c 0 ab 0, c 0y1O1x第 1,2 题图第 3 题图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 二次函数y ax 2 bx c 的图象如上图所示,就以下结论正确选项（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品
19、资料_A a0, b 0, c 0Ba 0, b0, c 0C a0, b 0, c 0Da 0, b 0, c 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 已知二次函数 y2 bx c 的图象如上图所示,就以下结论中正确选项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_axA a0Bc 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C b 24ac0D a b c0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 已知抛物线 y=ax 2+bx+c 的图象如右图所示,就以下结论正确选项（）A a+b+c 0B b -2aC a-b+c 0D c0. a+b+c 0a-b+
20、c 0 b -4ac0 abcbc,且 a b c0,就它的图象可能是图所示的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yO1x A2yO1xByO1 x2 CyO1 xD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 二次函数 yax bxc 的图象如下列图, 那么 abc,b 4ac, 2a b,a b c 四个代数式中,值为正数的有A.4 个B.3 个C.2 个D.1 个考点 3：二次函数的增减性1. 二次函数 y=3x 2 6x+5 ,当 x1 时, y 随 x 的增大而.当 x 2 时,y 随 x 的增大而增大. 当 x 2 时,y 随 x 的增大而削减.就当x 1 时,
21、y 的值为.3. 已知二次函数 y=x2 m+1x+1 ,当 x 1 时,y 随 x 的增大而增大, 就 m的取值范畴是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14. 已知二次函数 y=x 25的图象上有三点 Ax ,y,Bx,y ,Cx,y 且 3xx 0 的图象与 x 轴交于点 x1, 0 和x2, 0, 且 x1x2.11（ 1）求 x2 的值 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）求代数式m x 2m x 23m x16m x19 的值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_考点 7：二次函数与一次函数1. 如一次函数y=ax+b 的图象经过其
22、次、三、四象限,就二次函数y=ax2+bx 的图象只可能是2. 当 b4,那么 AB 的长是A. 4+mB. mC. 2m-8D. 8-2m4. 某大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分在大桥截面1 11000 的比例图上,跨度 AB 5 cm,拱高 OC 0. 9 cm,线段 DE表示大桥拱内桥长, DE AB,如图（ 1）在比例图上,以直线 AB为 x 轴,抛物线的对称轴为y 轴,以 1 cm 作为数轴的单位长度,建立平面直角坐标系,如图（2）（ 1）求出图（ 2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式,写出函数定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）假如 DE与 AB的
23、距离 OM 0. 45 cm,求卢浦大桥拱内实际桥长 （备用数据：21.4 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_运算结果精确到 1 米）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_25. 已知抛物线 yax 43a x 34 与 x 轴交于 A、 B 两点,与 y 轴交于点 C是否存在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_实数 a,使得 ABC为直角三角形如存在,恳求出a 的值.如不存在,请说明理由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 如图 ,已知抛物线经过坐标原点O 及 A 23, 0 ,其顶点为 B
24、 m, 3, C 是 AB 中点, 点 E可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是直线 OC 上的一个动点点 E 与点 O 不重合 ,点 D 在 y 轴上 , 且 EO=ED .（ 1）求此抛物线及直线OC 的解析式.（ 2）当点 E 运动到抛物线上时, 求 BD 的长.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_33（ 3）连接 AD , 当点 E 运动到何处时, AED 的面积为4坐标 .解:,请直接写出此时 E 点的y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BCAOx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 已知：在如图1 所示的平面直角坐标系xOy中, A, C 两点的坐标分别为A2,3 ,Cn, 3 （其中 n 0）,点 B 在 x 轴的正半轴上动点P 从点 O 动身,在