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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 二次函数学问点总结及相关典型题目第一部分 二次函数基础学问相关概念及定义二次函数的概念： 一般地, 形如yax2bxc（a, , 是常数,aa0）的函数,叫做二次函数； 这里需要强调： 和一元二次方程类似,二次项系数0,而 b,c可以为零二次函数的定义域是全体实数二次函数yax2bxc 的结构特点：x 的二次式,x 的最高次数是2 等号左边是函数,右边是关于自变量a, , 是常数, a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项二次函数各种形式之间的变换二次函数yax2bxc用配方法可化成：yyaxh2k的形式,其中hb,k4 acab2.
2、2 a4ax2ax 2；yax2k；二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式：yaxh2；yaxh2k；ybxc. 二次函数解析式的表示方法一般式：yax2bxc （ a , b , c 为常数,a0）；x 轴两交点的横坐标）. 顶点式：ya xh 2k （ a , h , k 为常数,a0）；交点式：ya xx 1xx 2（a0,1x ,x 是抛物线与留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非全部的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与 x 轴有交点,即 b 24 ac 0 时,抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化 . 2二次函数 y ax 的性
3、质a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质a 0 向上 0,0 y轴随 x 的增大而减小；x 0 时,y 随 x 的增大而增大；x 0 时,y有最小值 0 x 0 时,yx 0 时,y 随 x 的增大增大而减小；x 0a 0 向下 0,0 y轴 时,y随x的增大而增大；x 0 时,y有最大值 0 2二次函数 y ax c 的性质a 的符 开口方 顶点坐对称轴 性质性质号 向 标x 0 时,y 随 x 的增大而增大；x 0 时,a 0 向上 0,c y 轴 y 随 x 的增大而减小；x 0 时, y 有最小值 c a0向下0,cy 轴x0时,y 随 x 的增大而减小；x0时,y 随 x 的增
4、大而增大；x0时, y 有最大值 c 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 二次函数ya xh2的性质：a 的符开口方顶点坐对称轴性质号向标a0向上h,0X=h xh 时, y 随 x 的增大而增大；xh 时,y 随 x 的增大而减小；xh 时, y 有最小值 0 x h 时, y 随 x 的增大而减小；x h 时,a 0 向下 h,0 X=h y 随 x 的增大而增大；x h 时, y 有最大值 0 二2次函数 y a x h k 的性质a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质x h 时, y 随 x 的增大而增
5、大；x h 时, ya 0 向上 h,k X=h 随 x 的增大而减小；x h 时, y有最小值 k x h 时, y 随 x 的增大而减小；x h 时, ya 0 向下 h,k X=h 随 x 的增大而增大；x h 时, y有最大值 k 2抛物线 y ax bx c的三要素：开口方向、对称轴、顶点 . a 的符号打算抛物线的开口方向：当 a 0 时,开口向上； 当 a 0 时,开口向下；a 相等,抛物线的开口大小、外形相同 . b对称轴：平行于 y 轴（或重合）的直线记作 x . 特殊地,y 轴记作直线2 ax 0 . 2b 4 ac b顶点坐标坐标：（,）2 a 4 a顶点打算抛物线的位置
6、 . 几个不同的二次函数,假如二次项系数 a 相同, 那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同 . 抛物线 y ax 2bx c 中,a , b , c 与函数图像的关系二次项系数 a2二次函数 y ax bx c 中, a 作为二次项系数,明显 a 0 当 a 0 时,抛物线开口向上,a 越大,开口越小,反之 a 的值越小,开口越大； 当 a 0 时,抛物线开口向下,a 越小,开口越小,反之 a 的值越大,开口越大总结起来,a 打算了抛物线开口的大小和方向,a 的正负打算开口方向,a 的大小决定开口的大小名师归纳总结 一次项系数b第 2 页,共 27 页在二次项系数a 确定
7、的前提下,b 打算了抛物线的对称轴 在a0的前提下,当b0时,b0,即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2 a当b0时,b0,即抛物线的对称轴就是y 轴；2 a当b0时,b0,即抛物线对称轴在y 轴的右侧2 a 在a0的前提下,结论刚好与上述相反,即- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当b0时,b0,即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2 a当b0时,b0,即抛物线的对称轴就是y 轴；2 a当 b 0 时,b 0,即抛物线对称轴在 y 轴的左侧2 a总结起来,在 a 确定的前提下,b 打算了抛物线对称轴的位置总结：常数项 c 当 c 0 时,抛物线与 y 轴的交点在
8、 x 轴上方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正； 当 c 0 时,抛物线与 y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0 ； 当 c 0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负总结起来, c 打算了抛物线与 y 轴交点的位置总之,只要 a, , 都确定,那么这条抛物线就是唯独确定的求抛物线的顶点、对称轴的方法公式法：yax2bxcaxb24 acb2,顶点是2 a4 a（b,4 ac4ab2）,对称轴是直线xb. 2ayaxh2k的形式,得2a配方法：运用配方的方法,将抛物线的解析式化为到顶点为 h , k ,对称轴是直线xh. 运用抛物
9、线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点 . 用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失 . 用待定系数法求二次函数的解析式一般式：y ax 2bx c . 已知图像上三点或三对 x、y的值,通常挑选一般式 . 2顶点式：y a x h k . 已知图像的顶点或对称轴,通常挑选顶点式 . 交 点 式 ： 已 知 图 像 与 x 轴 的 交 点 坐 标 1x 、x 2, 通 常 选 用 交 点 式 ：y a x x 1 x x 2 . 直线与抛物线的交点名师归纳总结 y 轴与抛物线yax2bx
10、c得交点为 0, c. 第 3 页,共 27 页与 y 轴 平 行的 直线xh与 抛 物线y2 axbxc有 且 只有 一个 交 点 h ,ah2bhc. 抛物线与 x 轴的交点 : 二次函数y2 axbxc的图像与 x 轴的两个交点的横坐标x 、2x ,是对应一元二次方程ax2bxc0的两个实数根 . 抛物线与 x轴的交点情形可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 0 抛物线与 x轴相交；有一个交点（顶点在 x轴上）0 抛物线与 x轴相切；没有交点 0 抛物线与 x 轴相离 . 平行于 x轴的直线与抛物线的交点可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点
11、时, 两交点的纵坐标相等,设纵坐标为 k ,就横坐标是ax2bxck的两个实数根 . 一次函数ykxnk0的图像 l 与二次函数yax2bxca0的图像- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - G 的交点, 由方程组ykxnc的解的数目来确定：方程组有两组不同y2 axbx的解时 l 与 G 有两个交点 ; 方程组只有一组解时方程组无解时 l 与 G 没有交点 . l 与 G 只有一个交点； AB抛物线与x轴两交点之间的距离：如抛物线yax2bxc与 x 轴两交点为Ax 1,Bx2,由于1x 、x 是方程ax2bxc0的两个根,故x1x 2b,x 1x2caa
12、x 1x2x 1x 22x 1x 224x 1x2b24 cb2a4 acaaa二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情形,可以用一般式或顶点式表达y关于 x 轴对称yyax2bxc ；2 a xb x关于 x轴对称后,得到的解析式是ya xh2k 关于 x 轴对称后,得到的解析式是a xh2k ；关于 y 轴对称y2 a xhb x关于 y 轴对称后,得到的解析式是yyax2bxc ；ya x2k 关于 y 轴对称后,得到的解析式是a xh2k ；关于原点对称y2 a xb x关于原点对称后,得到的解析式是 cyyax2bxc；yax2 hk关于原点对称后,得到的解析式是a xh2
13、k ；关于顶点对称y yy2 a xhb x关于顶点对称后,得到的解析式是yyax2bxcb2；2aa x2k 关于顶点对称后,得到的解析式是a xh2k 关于点m,n对称a xh2k 关于点m,n对称后,得到的解析式是ya xh2 m22 nk总结： 依据对称的性质, 明显无论作何种对称变换,抛物线的外形肯定不会发生变化,因此a 永久不变求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或便利运算的原就,挑选合适的形式, 习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式二次函数图象的平移名师归纳总结 平移步骤
14、：第 4 页,共 27 页 将抛物线解析式转化成顶点式ya xh2k ,确定其顶点坐标h,k； 保持抛物线y2 ax 的外形不变,将其顶点平移到h,k处,详细平移方法如下：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y=ax2向上k0【或向下k0【或左h0【或左h0【或左h0【或下k0【或下k0 yax2bxc a ,b ,c 是常数,a0 a0 y y 图像0 x 0 x （1）抛物线开口向上,并向上无限延长；（1）抛物线开口向下,并向下无限延长；性质（2）对称轴是x=b,顶点坐标是（b,（2）对称轴是x=b,顶点坐标是（b,2a2a2a2a4acab2）；4
15、acab2）；44（3）在对称轴的左侧,即当xb时, y 随 x（3）在对称轴的左侧,即当xx 的增大而增大；在对称轴的右侧,即当b时,y 随 x 的增大而增大, 简记左减右xb时, y 随 x 的增大而减小,简记左2a2a增；增右减；（4）抛物线有最低点,当x=b时, y 有最小（4）抛物线有最高点,当x=b时, y 有最2 a2a值,y最小值4acab2大值,y最大值4acab2442、二次函数yax2bxc a ,b ,c 是常数,a0 中,a、b、c的含义：a 表示开口方向：a 0 时,抛物线开口向上a 0 时,图像与 x 轴有两个交点；当 =0 时,图像与 x 轴有一个交点；当 0
16、时,图像与 x 轴没有交点；学问点五 中考二次函数压轴题常考公式（必记必会,懂得记忆）1、两点间距离公式 （当遇到没有思路的题时,可用此方法拓展思路,以寻求解题方法）y 如图：点 A 坐标为（ x 1,y 1）点 B 坐标为（ x 2,y2）就 AB 间的距离,即线段AB 的长度为x1x 22y 1y22A 0 x B 学问点五二次函数yax2bxc 图象的画法2 2五点绘图法：利用配方法将二次函数 y ax bx c 化为顶点式 y a x h k ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图 .一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点 0,c、以及 0,c
17、关于对称轴对称的点 2h,c、与 x 轴的交点 x ,0,x ,0（如与 x 轴没有交点,就取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与 x 轴的交点,与 y 轴的交点. 2、已知二次函数 y ax bx c a 0 的图象如下列图, 就以下结论中正确选项 （）A、a 0,b 0,c 0 B、a 0,b 0,c 0C、a 0,b 0,c 0 D、a 0,b 0,c 02 a、函数 y ax a 与 y a 0 在同一坐标系中的图象可能是（）xy y y y O x O x O x O x A B C D 特殊记忆 - 同左上加异右下减 必需懂得记忆 说明函数
18、中 ab 值同号,图像顶点在y 轴左侧 同左 ,a b 值异号,图像顶点必在Y轴右侧异右名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 向左向上移动为加 左上加 ,向右向下移动为减 右下减名师归纳总结 3、直线斜率：ktany 2y 1b为直线在 y轴上的截距 4、直线方程：第 10 页,共 27 页x 2x 14、两点由直线上两点确定的直线的两点式方程,简称两式:yy 1kxbtanxby 2y 1xxx 1此公式有多种变形牢记x 2x 1点斜yy 1kx xx 1斜截直线的斜截式方程,简称斜截式: ykxb k 0 截距由直
19、线在x 轴和 y 轴上的截距确定的直线的截距式方程,简称截距式：xy1ab牢记口诀 -两点斜截距 - 两点 点斜斜截 截距5、设两条直线分别为,1l：yk xb12l：yk xb2如l1/l2,就有l1/l2k1k 且b1b ；如l1l2k1k216、点 P（x0,y0）到直线 y=kx+b 即： kx-y+b=0 的距离 : dkx02y01bkx 0ky01bk227、抛物线y2 axbxc中, a b c,的作用（1） a打算开口方向及开口大小,这与y2 ax中的 a 完全一样 . （2） b 和 a 共同打算抛物线对称轴的位置. 由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线xb,故：b0时,
20、对称轴为y 轴；b0（即 a、 b 同号）时,对称轴2aa在 y 轴左侧； b0（即 a 、b 异号）时,对称轴在 y 轴右侧 . 口诀 - 同a左异右（3） c 的大小打算抛物线yax2bxc与 y 轴交点的位置 . 当x0时,yc,抛物线yax2bxc与 y 轴有且只有一个交点（0, c ）：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - c0,抛物线经过原点; c 0 , 与 y 轴交于正半轴； c 0 , 与 y 轴交于负半轴 . 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立 . 如抛物线的对称轴在 y 轴右侧,就b0 . a二次函数 y ax 2、y ax 2
21、k、y a x h 2、y a x h 2k 的性质函数解析式 y ax 2 y ax 2k y a x h 2y a x h 2k开 口 方当 a 0 时, 开口向上 ; 当 a 0 时, 开口向下 . 向顶（0,0 ）（0,k ）（ h,0 ）（h,k ）点对称轴 x 0（ y 轴）x 0（ y 轴）x h x h最 当 x=0 时, 当 x=0 时, 当 x=h 时 , 当 x=h 时 , 值 最小值为 0. 最小值为 k 最小值为 k. 最小值为 ka 0 a 0 a 0 a 0 a 0 a 0 a 0 a 0在对 在 对 在 对 在 对 在对 在对称 在对称 在对称称轴 称 轴 称
22、轴 称 轴 称轴 轴的左 轴的左 轴的左的左 的 左 的 左 的 左 的左 侧,y 随 侧,y 随 侧,y 随增 侧,y 随 侧 ,y 侧,y 随 侧 ,y 侧 ,y 随 着 x 的 着 x 的 着 x 的着 x 的 随着 x 着 x 的 随着 x 着 x 的 增大而 增大而 增大而减 增大 的 增 增 大 的 增 增大 减小 . 减小 . 减小 . 而减 大 而 而 减 大 而 而减 在对称 在对称 在对称性 小. 在 减 小 . 小 . 在 减 小 . 小. 在 轴的右 轴的右 轴的右对称 在 对 对 称 在 对 对称 侧, y 侧, y 随 侧, y 随对 轴的 称 轴 轴 的 称 轴
23、轴的 随着 x 着 x 的 着 x 的称 右侧 , 的 右 右侧 ,y 的 右 右侧 , 的增大 增大而 增大而轴y 随着 侧 ,y 随着 x 侧 ,y y 随着 而增 增大 . 增大 . 左 x 的增 随着 x 的 增 随着 x x 的增 大. 右 大而 的 增 大 而 的 增 大而侧 增大 大 而 增大 . 大 而 增大 . 增大 . 增大 . 注：图形呈上升状态拍马屁图形呈下降状态拍马屁y 随着 x 的增大而增大 y 随着 x 的增大而减小名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一、挑选题（每道题第 26 章二次
24、函数 同步学习检测（一）2 分,共 102 分）1、抛物线 y= 1x 2 向左平移 8 个单位,再向下平移 9 个单位后,所得抛物线的表达式是 （）2A. y= 1x+8 2-9 B. y= 1x-8 2+9 C. y= 1x-8 2-9 D. y= 1x+8 2+9 2 2 2 222、在平面直角坐标系中,将二次函数 y 2x 的图象向上平移 2 个单位,所得图象的解析式为（）Ay 2 x 22 B y 2 x 22 Cy 2 x 2 2 D y 2 x 2 23、 四川省内江市 抛物线 y x 2 2 3 的顶点坐标是（）A（ 2,3） B（ 2,3） C（2, 3） D（ 2, 3）4
25、、（长春）如图,动点 P 从点 A动身,沿线段 AB运动至点 B 后,立刻按原路返回,点 P 在运动过程中速度大小不变,就以点 A 为圆心,线段 AP长为半径的圆的面积 S 与点 P的运动时间 t 之间的函数图象大致为（）25、（桂林市、百色市）二次函数 y x 1 2 的最小值是（）2 A 2 B1 C 3 D36、 上海市 抛物线 y 2 x m 2n（m,n 是常数）的顶点坐标是（）A m,n B m,n C m,n D m,n 7、 陕西省 依据下表中的二次函数 y ax 2bx c 的自变量 x 与函数 y 的对应值,可判定二次函数的图像与 x 轴【】A只有一个交点 B有两个交点,且它们分别在 y 轴两侧名师归纳总结 C有两个交点,且它们均在y 轴同侧 D 无交点）