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1、二次函数知识点总结及相关典型题目二次函数知识点总结及相关典型题目用专业的心，做专业的教育二次函数一、定义：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数.例：已知关于x的函数yax2bxc(a,b,c是常数）当a,b,c满足什么条件时（1）是一次函数（2）是正比例函数（3）是二次函数二、二次函数yax2bxc(a,b,c是常数，a0)的性质（1）当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点；当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点.a越大，开口越小。Oxybb4acb2（，）（2）顶点是，对称轴是直线x2a2a4a（3）当a0时，在对称轴左边，y随x的增大而减小；在在对称轴右
2、边，y随x的增大而增大；当a0时，在对称轴左边，y随x的增大而增大；在在对称轴右边，y随x的增大而减小。（4）y轴与抛物线yax2bxc得交点为(0,c)2c0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，c0，抛物线与y轴的交点在x轴下方则下列结论中正确的是(D)例：1、（2022四川重庆，7，4分）已知抛物线yaxbxc(a0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，Aa0Bb0Cc0Dabc0山东威海题图练习：1、（2022山东威海，7，3分）二次函数yx22x3的图象如图所示当y0时，自变量x的取值范围是（A）A1x3Bx1Cx3Dx1或x32、（2022湖北孝感，12，3分）如图，二次函数y=ax2+b
3、x+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为1,1，下列结论：ac0；a+b=0；4acb2=4a；2a+b+c0.其中正确的个数是（C）A.1B.2C.3D.41自强不息敢争第一用专业的心，做专业的教育三、求抛物线的顶点、对称轴的方法bb4acb2（，）（1）公式法：yaxbxc，顶点是，对称轴是直线x.2a2a4a2（2）配方法：yaxhk的顶点为(h,k)，对称轴是直线xh.2(3)利用交点式求对称轴及顶点：yaxx1xx2例1、求下列各抛物线的顶点和对称轴：（1）yxx，对称轴为x122x23x5（2）y2(x1)7（3）y3(x7)(x9)22例2、2022江苏淮安，14，3分）抛物线
4、y=x-2x-3的顶点坐标是.（1，4）四、抛物线的平移将函数换成顶点式，用口决“（x）左加右减，上加下减”例1、抛物线yx22x3经过怎样平移得到yx24x1答案：向右平移3，再向下移5个单位得到；3、（2022山东滨州，7，3分）抛物线yx23可以由抛物线yx2平移得到,则下列平移过程正确的是(B)A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位五、用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：yax2bxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.（2）顶点式：y
5、axhk.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.22（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：yaxx1xx2.(4)一般式与顶点式的变换例：1、根据已知条件确定下列函数的解析式：（3，0），（0，3）,(5，0)（1）已知抛物线过2自强不息敢争第一用专业的心，做专业的教育（2）已知抛物线的顶点在x轴上，且过点（1，0）、（2，4）；（3）已知抛物线的顶点坐标为（2，0），过点（1，4）（2022山东济宁，12，3分）将二次函数yx24x5化为y(xh)2k的形式，则y2y(x2)1）（七、yax2bxc(a0)与一元二次方程ax2bxc0(a0)的关系b4ac0方程
6、有两个不相等的实数根20方程有两个相等的实数根用专业的心，做专业的教育A.k4八、二次函数的应用B.k4C.k4且k3D.k4且k31、求yax2bxc(a,b,c是常数，a0)最大值或最小值a0，函数有最小值为顶点的纵坐标，此时x等于顶点的横坐标；a0，函数有最大值为顶点的纵坐标，此时x等于顶点的横坐标。例1、（2022广东肇庆，10，3分）二次函数yx22x5有（D）A最大值5B最小值5C最大值6D最小值6例3、某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m（件）与每件的销售价x(元)满足一次函数：m=162-3x.（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销
7、售价x间的函数关系式；（2）如果商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的定价为多少最合适？最大销售利润为多少？附表.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标（0,0）(0,k)(h,0)(h,k)yax2yax2k2yaxhx0（y轴）当a0时开口向上当a0时x0（y轴）xhxhyaxhk2开口向下yaxbxc2bx2ab4acb2，()2a4a1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）如图：点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2）则AB间的距离，即线段AB的长度为1、二次函数的性质二次函数函数x1x22y1y22yax2b
8、xc(a,b,c是常数，a0)a0a用专业的心，做专业的教育y0xy0x（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；b（2）对称轴是x=2a，顶点坐标是（2）对称轴是x=b2a，顶点坐标是4acbb2a，4a）；24acb2b4a（2a，）；bb（3）在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而增大，简记左减右增；时，y随x的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最低点，当x=b2a时，（4）抛物线有最高点，当x=y有最小值，y最小值4acb24ab2a时，y有最大值，y最大值4acb24a5自强不息敢争第一扩展阅读：中考数学二次函数知识点总结及相关题型二次函数知
9、识点总结及相关典型题目第一部分基础知识1.定义：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数.2.二次函数yax2的性质（1）抛物线yax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.（2）函数yax2的图像与a的符号关系.当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点；当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点.（a0）（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为yax2.3.二次函数yax2bxc的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.b4acb2，k4.二次函数yaxbxc用配方法可化成：yaxhk的形式，其中h.2a4a225.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种
10、形式：yax2；yax2k；yaxh；yaxhk；22yaxbxc.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；2a相等，抛物线的开口大小、形状相同.平行于y轴（或重合）的直线记作xh.特别地，y轴记作直线x0.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法bb4acb2b4acb22（，）（1）公式法：yaxbxcax，顶点是，对称轴是直线x.2a2a4a2a4a（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化
11、为yaxhk的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线22xh.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线yax2bxc中，a,b,c的作用（1）a决定开口方向及开口大小，这与yax2中的a完全一样.（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线xbbb，故：b0时，对称轴为y轴；0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；0（即a、2aab异号）时，对称轴在y轴右侧.（3）c的大小决定抛物线ya
12、x2bxc与y轴交点的位置.当x0时，yc，抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点（0，c）：c0，抛物线经过原点;c0,与y轴交于正半轴；c0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则ba0.10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标yax2x0（y轴）（0,0）yax2kx0（y轴）(0,k)yaxh2当a0时xh(h,0)yaxh2k开口向上xh(h,k)当a0时yax2bxcb开口向下x2a(b4acb22a，4a)11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：yax2bxc.已知图像上三点或三对x、
13、y的值，通常选择一般式.（2）顶点式：yaxh2k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：yaxx1xx2.12.直线与抛物线的交点（1）y轴与抛物线yax2bxc得交点为(0,c).-2-a2（2）与y轴平行的直线xh与抛物线yax2bxc有且只有一个交点(h,ahbhc).（3）抛物线与x轴的交点二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程axbxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与x轴相交；有一个交点（顶点在x轴上）0
14、抛物线与x轴相切；没有交点0抛物线与x轴相离.（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是axbxck的两个实数根.（5）一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yax2bxca0的图像G的交点，由方程组22ykxnyaxbxc2的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;方程组只有一组解时l与G只有一个交点；方程组无解时l与G没有交点.（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线yax2bxc与x轴两交点为Ax1，0，Bx2，0，由于x1、x2是方程axbxc0的两个根，故2bcx
15、1x2,x1x2aaABx1x2x1x22x1x22b24acb4c4x1x2aaaa2第二部分典型习题.抛物线yx2x2的顶点坐标是（D）A.（2，2）B.（1，2）C.（1，3）D.（1，3）.已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，则下列结论正确的是（C）ab0，c0ab0，c0ab0，c0ab0，c0AEFDC2B第,题图第4题图.二次函数yax2bxc的图象如图所示，则下列结论正确的是（）Aa0，b0，c0Ba0，b0，c0Ca0，b0，c0Da0，b0，c0.如图，已知ABC中，BC=8，BC上的高h4，D为BC上一点，EF/BC，交AB于点E，交AC于点F（EF不过A、B），设
16、E到BC的距离为x，则DEF的面积y关于x的函数的图象大致为（）4y444O2A4xO2B4O2C4O2D4EF4xEF82x,yx24x84.抛物线yx22x3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为46.已知二次函数ykx2(2k，则对于下列结论：当x2时，y1)x1与x轴交点的横坐标为x1、x2（x1x2）1；当xx2时，y0；方程kx2(2k1；1)x10有两个不相等的实数根x1、x2；x11，x214k2，其中所有正确的结论是（只需填写序号）x2x1k7.已知直线y2xbb0与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为yxb10xc.2（1）若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线y
17、2xb上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点B作直线BCAB交x轴交于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线y2xb的解析式.解：（1）yx10或yx4x622b10b216b100b10b216b100,)，b（0，b)代入，将得cb.顶点坐标为(由题意得2，2424解得b110,b26.（2）y2x28.有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为y，且y是x的二次函数，已知输入值为2,0,1时,相应的输出值分别为5,3,4（1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y为正数时输入值x的取值范围.解：（1）设所求二次函数的解析式为y
18、ax2bxc,a(2)2b(2)c5a1c3则a02b0c3,即2ab4,解得b2abc4c3ab1故所求的解析式为:yx22x3.（2)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值y为正数时，输入值x的取值范围是x1或x39.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同他们将一头骆驼前两昼图请根据图象回答：第一天中，在什么时间范围内这头骆驼从最低上升到最高需要多少时间?第三天12时这头骆驼的体温是多少?兴趣小组又在研究中发现，图中10时到22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式解：第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的
19、它的体温从最低上升到最高需要12小时第三天12时这头骆驼的体温是39第9题夜的体温变化情况绘制成下的体温是上升的?它的体温12x2x2410x22164210.已知抛物线yax(3a)x4与x轴交于A、3yB两点，与y轴交于点C是否存在实数a，使得ABC为直角三角形若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由解：依题意，得点C的坐标为（0，4）设点A、B的坐标分别为（x1，0），（x2，0），由ax(3a)x40，解得x13，x2点A、B的坐标分别为（-3，0），（AB|24343a4，0）3a43|，ACAO2OC25，3aBCBO2OC2|AB|242|423a41641683|222392
20、9，3a9a3a9aa162216AC25，BC29a当ABACBC时，ACB90由ABACBC，22222216816925(16)9a2a9a21解得a4116625400222当a时，点B的坐标为（，0），AB，AC25，BC4399得于是ABACBC当a22221时，ABC为直角三角形422当ACABBC时，ABC90由ACABBC，得25(解得a222168169)(16)9a2a9a249444当a时，3，点B（-3，0）与点A重合，不合题意493a39当BCACAB时，BAC90由BCACAB，得解得a222222161681625(9)22a9a9a4不合题意91时，ABC为直
21、角三角形4综合、，当a11.已知抛物线yx2mxm2.（1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB5，试求m的值；（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且MNC的面积等于27，试求m的值.解:(1)（x1，0）,B(x2，0).则x1，x2是方程x2mxm20的两根.x1x2m,x1x2=m20即m2;2又ABx1x2（x1+x2）4x1x25,m24m3=0.解得：m=1或m=3(舍去),m的值为1.（2）M(a，b)，则N(a，b).M、N是抛物线上的两点,yCamam2b,2amam2b.2MOxN得：2a22m40.a2m2.当m2
22、时，才存在满足条件中的两点M、N.a2m.这时M、N到y轴的距离均为2m,又点C坐标为（0，2m）,而SMNC=27,21（2m）2m=27.2解得m=7.12.已知：抛物线yax4axt与x轴的一个交点为A（1，0）（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为求此抛物线的解析式；（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为52的点，如果且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解法一：（1）依题意，抛物线的对称轴为x2抛物线与x轴的一个交点为A（1，0），由抛物线的对称
23、性，可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（3，0）（2）抛物线yax4axt与x轴的一个交点为A（1，0），-7-22一底的梯形ABCD的面积为9，点E在（2）中的抛物线上，是否存在点P，使APE的周a(1)24a(1)t0t3ayax24ax3aD（0，3a）梯形ABCD中，ABCD，且点C在抛物线yax24ax3a上，C（4，3a）AB2，CD4梯形ABCD的面积为9，a1所求抛物线的解析式为yx24x3或yx24ax3（3）设点E坐标为（x0，y0）.依题意，x00，y00，且11(ABCD)OD9(24)3a92255y0x02x02y0设点E在抛物线yx24x3上，2y0x04x0
24、315x，x06，0y0x0,2解方程组得2y15；50yyx24x300004点E与点A在对称轴x2的同侧，点E坐标为（15，）24设在抛物线的对称轴x2上存在一点P，使APE的周长最小AE长为定值，要使APE的周长最小，只须PAPE最小点A关于对称轴x2的对称点是B（3，0），由几何知识可知，P是直线BE与对称轴x2的交点设过点E、B的直线的解析式为ymxn，15m,1mn,224解得3n.3mn0.2直线BE的解析式为y点P坐标为（2，131x把x2代入上式，得y2221）222设点E在抛物线yx4x3上，y0x04x035y0x0,32解方程组消去y0，得x02x0302yx24x3.
25、0000.此方程无实数根综上，在抛物线的对称轴上存在点P（2，解法二：（1）抛物线yax24axt与x轴的一个交点为A（1，0），a(1)24a(1)t0t3ayax24ax3a令y0，即ax4ax3a0解得x11，x23抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（3，0）（2）由yax24ax3a，得D（0，3a）梯形ABCD中，ABCD，且点C在抛物线21），使APE的周长最小2yax24ax3a上，C（4，3a）AB2，CD4梯形ABCD的面积为9，3a3a1所求抛物线的解析式为yx4x3或yx4x3（3）同解法一得，P是直线BE与对称轴x2的交点如图，过点E作EQx轴于点Q设对称轴与x轴的交点
26、为F221(ABCD)OD9解得OD321BFPF1PFPF552BQEQ241点P坐标为（2，）2由PFEQ，可得以下同解法一13.已知二次函数的图象如图所示（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为l，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将OAC补成矩形，使OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶形这一边
27、的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过解：（1）设抛物线的解析式ya(x1)(x2)，2a1(2)a1yx2x2其顶点M的坐标是，点，第三个顶点落在矩程）1294（2）设线段BM所在的直线的解析式为ykxb，点N的坐标为N（t，h），02kb，391解得k，b32kb.423x3231112321ht3，其中t2s12(2t3)ttt122223423211s与t间的函数关系式是Stt1，自变量t的取值范围是t2422线段BM所在的直线的解析式为y（3）存在符合条件的点P，且坐标是P1，P2，设点P的坐标为P(m，n)，则nmm2257243254PA2(m1)2n2，PC2m
28、2(n2)2，AC25分以下几种情况讨论：i）若PAC90，则PCPAAC2nmm2，2222m(n2)(m1)n5.222解得：m1557，m21（舍去）点P1，224222ii）若PCA90，则PAPCAC2nmm2，2222(m1)nm(n2)5.解得：m3353，m40（舍去）点P2，242iii）由图象观察得，当点P在对称轴右侧时，PAAC，所以边AC的对角APC不可能是直角（4）以点O，点A（或点O，点C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA（或边OC）的对边上，如图a，此时未知顶点坐标是点D（1，2），以点A，点C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，如
29、图b，此时未知顶点坐标是E，1255F，4585图a图b14.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分在大桥截面111000的比例图上，跨度AB5cm，拱高OC0.9cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DEAB，如图（1）在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果DE与AB的距离OM0.45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：21.4，计算结果精确到1米）解：（1）由于顶点C在y轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为9105529185因为
30、点A（，0）（或B（，0）在抛物线上，所以0a()，得a22210125yax2182955x(x)12510229918295x，得x2（2）因为点D、E的纵坐标为，所以20221*510459952，2，所以点D的坐标为（），点E的坐标为（）442022因此所求函数解析式为y所以DE555252因此卢浦大桥拱内实际桥长为2(2)110000.012752385（米）442215.已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图二次函数yax2bxc（a0）的图象经过点A、B，与y轴相交于点C（1）a、c的符号之间有何关系?（2）如果线段OC的长度是线
31、段OA、OB长度的比例中项，试证a、c互为倒数；（3）在（2）的条件下，如果b4，AB43，求a、c的值解:（1）a、c同号或当a0时，c0；当a0时，c0（2）证明：设点A的坐标为（x1，0），点B的坐标为（x2，0），则0x1x2OAx1，OBx2，OCc2据题意，x1、x2是方程axbxc0(a0)的两个根x1x22由题意，得OAOBOC，即cc2caca2所以当线段OC长是线段OA、OB长的比例中项时，a、c互为倒数（3）当b4时，由（2）知，x1x20，a02解法一：ABOBOAx2x1(x1x2)4x1x2，ba4aAB()4()4a2ca164ac232aaAB43，12343得
32、ac2.2a解法二：由求根公式，x4164ac416423，2a2aax12323232323，x2ABOBOAx2x1aaaaaAB43，12343，得ac22a16.如图，直线y3x3分别与x轴、y轴交于点A、B，E经过原点O及A、B两点3（1）C是E上一点，连结BC交OA于点D，若CODCBO，求点A、B、C的坐标；（2）求经过O、C、A三点的抛物线的解析式：（3）若延长BC到P，使DP2，连结AP，试判断直线PA与E的位置关系，并说明理由解：（1）连结EC交x轴于点N（如图）A、B是直线y3x3分别与x轴、y轴的交点A（3，0），B(0,3)3又CODCBOCBOABCC是ON13OB3OA,EN2222的中点ECOA连结OEECOE3NCECEN333C点的坐标为（,）222（2）设经过O、C、A三点的抛物线的解析式为yaxx3333332a(3)aC（,）3222229y23223xx为所求98（3）tanBAO3，BAO30，ABO50311由（1）知OBDABDOBDABO603022ODOBtan301DA2ADCBDO60，PDAD2ADP是等边三角形DAP60BAPBAODAP306090即PAAB即直线PA是E的切线第 16 页 共 16 页