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1、抛物线的简单性质导学案抛物线的简洁几何性质 2.3.2抛物线的简洁几何性质（一）教学目标：1驾驭抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2能依据抛物线的几何性质对抛物线方程进行探讨，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；3在对抛物线几何性质的探讨中，留意数与形的结合与转化.（二）教学重点：抛物线的几何性质及其运用（三）教学难点：抛物线几何性质的运用（四）教学过程：一、复习引入：（学生回顾并填表格）1抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线.图形 方程 焦点 准线 2抛物线的标准方程：相同点：(1)抛物线都过原点
2、；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称它们到原点的距离都等于一次项系数肯定值的，即.不同点：(1)图形关于x轴对称时，x为一次项，y为二次项，方程右端为、左端为；图形关于y轴对称时，x为二次项，y为一次项，方程右端为，左端为.（2）开口方向在x轴（或y轴）正向时，焦点在x轴（或y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在x轴（或y轴）负向时，焦点在x轴（或y轴）负半轴时，方程右端取负号.二、讲解新课：类似探讨双曲线的性质的过程，我们以为例来探讨一下抛物线的简洁几何性质：1范围因为p0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满意不等式x0，所以这条
3、抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延长2对称性以y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴3顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点在方程中，当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点4离心率抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示由抛物线的定义可知，e=1对于其它几种形式的方程，列表如下：（学生通过比照完成下表）标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率 留意强调的几何意义：是焦点到准线的距离.思索：抛物线有没有渐近线？（体会抛物线与双曲线的区分）三、例题讲解：例1已知抛
4、物线关于x轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程，并用描点法画出图形分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p解：由题意，可设抛物线方程为，因为它过点，所以，即因此，所求的抛物线方程为将已知方程变形为，依据计算抛物线在的范围内几个点的坐标，得x01234y022.83.54描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分点评：在本题的画图过程中，假如描出抛物线上更多的点，可以发觉这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延长，但并不能像双曲线那样无限地接近于某始终线，也就是说，抛物线没有渐近线例2斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于两点A、B，求线段
5、AB的长.解法1：如图所示，由抛物线的标准方程可知，焦点F（1，0），准线方程x=1.由题可知，直线AB的方程为y=x1代入抛物线方程y2=4x，整理得：x26x+1=0解上述方程得x1=3+2,x2=32分别代入直线方程得y1=2+2,y2=22即A、B的坐标分别为（3+2，2+2），（32，22）|AB|=解法2：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x1+x2=6,x1x2=1|AB|=|x1x2|解法3：设A（x1,y1)、B(x2,y2),由抛物线定义可知，|AF|等于点A到准线x=1的距离|AA|即|AF|=|AA|=x1+1同理|BF|=|BB|=x2+1|AB|=|AF|+|
6、BF|=x1+x2+2=8点评：解法2是利用韦达定理根与系数的关系，设而不求，是解析几何中求弦长的一种普遍适用的方法；解法3充分利用了抛物线的定义，解法简洁，值得引起重视。变式训练：过抛物线的焦点作直线，交抛物线于,两点，若，求。解：，。点评：由以上例2以及变式训练可总结出焦点弦弦长：或。四、达标练习：1过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，假如，那么=（）（A）10（B）8（C）6（D）42已知为抛物线上一动点，为抛物线的焦点，定点，则的最小值为（）（A）3（B）4（C）5（D）63过抛物线焦点的直线它交于、两点，则弦的中点的轨迹方程是_4.定长为的线段的端点、在抛物线上移动，求中点到轴距离
7、的最小值，并求出此时中点的坐标.参考答案：1.B2.B3.4.,M到轴距离的最小值为.五、小结：抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等.六、课后作业：1依据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图（1）顶点在原点，对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于8（2）顶点在原点，焦点在y轴上，且过P（4，2）点（3）顶点在原点，焦点在y轴上，其上点P（m，3）到焦点距离为52过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影是A2、B2，则A2FB2等于.3抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，求抛物线方程4以椭圆的右焦点，F为焦点，以坐标原点为顶点作抛
8、物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长5有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？习题答案：1（1）y232x（2）x28y（3）x28y2903x216y45米七、板书设计（略） 2.3.2抛物线的几何性质（） 2.3.2抛物线的几何性质（）【学情分析】：由于学生具备了曲线与方程的部分学问，驾驭了探讨解析几何的基本方法，因而利用已有椭圆与双曲线的学问，引导学生独立发觉、归纳学问，指导学生在实践和创新意识上下工夫，训练基本技能。【教学目标】：（1）学问与技能：娴熟驾驭抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质。（2）过程与方法：重视基础学问的教
9、学、基本技能的训练和实力的培育；启发学生能够发觉问题和提出问题，擅长独立思索。（3）情感、看法与价值观：培育严谨务实，实事求是的特性品质和数学沟通合作实力，以及勇于探究，勇于创新的求知意识，激发学生学习数学的爱好与热忱。【教学重点】：娴熟驾驭抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质。【教学难点】：娴熟驾驭抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质及其应用。【课前打算】：Powerpoint或投影片【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图 一、复习引入 1已知抛物线的焦点坐标是F(0，2)，求它的标准方程解：焦点在x轴负半轴上，=2，所以所求抛物线的标准方程是2.填空：动点M
10、与定点F的距离和它到定直线的距离的比等于e，则当0e1时，动点M的轨迹是椭圆；当e=1时，动点M的轨迹是抛物线；当e1时，动点M的轨迹是双曲线3.复习椭圆、双曲线几何性质的主要内容： 通过离心率的填空引出抛物线。引起学生的爱好。二、抛物线的几何性质类比探讨归纳抛物线的几何性质：引导学生填写表格。通过对比，让学生驾驭抛物线的四种图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程。三、例题讲解例1已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点A（4,2），求这条抛物线的准线方程。解：若抛物线开口向右，设抛物线的标准方程为抛物线的标准方程为若抛物线开口向上，设抛物线的标准方程为抛物线的标准方程为 例2汽车前灯反射
11、镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处。已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反射镜的顶点距离是多少？让学生运用抛物线的几何性质，写出符合条件的抛物线的准线方程。 三、例题讲解分析：依标准方程特点和几何性质建系，由待定系数法求解，强调方程的完备性。解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，轴垂直于灯口直径抛物线的标准方程为，由已知条件可得点的坐标是（40，30）且在抛物线上，代入方程得：，所以所求抛物线的标准方程为，焦点坐标是. 例3过抛物线的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、
12、B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切分析：运用抛物线的定义和平面几何学问来证比较简捷证明：如图设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，则AFAD，BFBCABAFBFADBC2EH所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EHl，因而圆E和准线相切 运用抛物线的几何性质解决现实生活中的问题，提高学生学习数学的爱好和综合解题实力。 四、巩固练习1过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，假如，那么=（B）（A）10（B）8（C）6（D）42已知为抛物线上一动点，为抛物线的焦点，定点，则的最小值为（B）（A）3（B）4（C）5（D）63过抛物线的焦点
13、作直线交抛物线于、两点，若线段、的长分别是、，则=（C）（A）（B）（C）（D）4过抛物线焦点的直线它交于、两点，则弦的中点的轨迹方程是5.定长为的线段的端点、在抛物线上移动，求中点到轴距离的最小值，并求出此时中点的坐标（答案：,M到轴距离的最小值为） 6.已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值解法一：由焦半径关系，设抛物线方程为y2=-2px(p0)，则准线方因为抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离|MF|与到准线的距离得p=4因此，所求抛物线方程为y2=-8x又点M(-3，m)在此抛物线上，故m2=-8(-3)解法二：由
14、题设列两个方程，可求得p和m由题意在抛物线上且|MF|=5，故分层训练，让学生牢牢驾驭抛物线的几何性质。 由学生演板五、课后练习1依据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图（1）顶点在原点，对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于8（2）顶点在原点，焦点在y轴上，且过P（4，2）点（3）顶点在原点，焦点在y轴上，其上点P（m，3）到焦点距离为5 2过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影是A2，B2，则A2FB2等于 3抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，求抛物线方程 4以椭圆的右焦点，F为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所
15、得的弦长 5有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？ 6已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点,其上一点M(2,m)到焦点的距离等于3,求抛物线方程及m值。 习题答案：1（1）y232x（2）x28y（3）x28y2903x216y45米6y2=4x,m=或课后练习留意分层训练，让学生牢牢驾驭抛物线的几何性质。 练习与测试：1.求适合下列条件的抛物线的方程：（1）顶点在原点，焦点为（0，5）；（2）对称轴为x轴，顶点在原点，且过点（-3，4）。2.若P（x0，y0）是抛物线y2=-32x上一点，F为抛物线的焦点，则PF=（）。（A）x0+8（B）x
16、0-8（C）8-x0（D）x0+163.一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m，求水面宽度。4.已知抛物线关于x轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程解：由题意，可设抛物线方程为，因为它过点，所以，即因此，所求的抛物线方程为 5.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径60cm，灯深为40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置分析：这是抛物线的实际应用题，设抛物线的标准方程后，依据题设条件，可确定抛物线上一点坐标，从而求出p值解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重
17、合，x轴垂直于灯口直径设抛物线的标准方程是(p0)由已知条件可得点A的坐标是(40，30)，代入方程，得，即所求的抛物线标准方程为 2.3.抛物线的几何性质（） 2.3.抛物线的几何性质（）【学情分析】：由于学生具备了曲线与方程的部分学问，驾驭了探讨解析几何的基本方法，因而利用已有椭圆与双曲线的学问，引导学生独立发觉、归纳学问，指导学生在实践和创新意识上下工夫，训练基本技能。【教学目标】：（1）学问与技能：娴熟驾驭抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质；驾驭直线与抛物线位置关系等相关概念及公式。（2）过程与方法：重视基础学问的教学、基本技能的训练和实力的培育；启发学生能够发觉问题和
18、提出问题，擅长独立思索。（3）情感、看法与价值观：培育严谨务实，实事求是的特性品质和数学沟通合作实力，以及勇于探究，勇于创新的求知意识，激发学生学习数学的爱好与热忱。【教学重点】：抛物线的几何性质及其运用。【教学难点】：抛物线几何性质的运用。【课前打算】：Powerpoint或投影片【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习引入回顾抛物线的几何性质：将基本公式用填空的形式巩固。二、学问打算设圆锥曲线Cf(x，y)=0与直线ly=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为：或 二、例题讲解例1正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角
19、形的边长分析：视察图，正三角形及抛物线都是轴对称图形，假如能证明x轴是它们公共的对称轴，则简单求出三角形边长解：如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为、，则，又|OA|OB|，所以即，由此可得，即线段AB关于x轴对称因为x轴垂直于AB，且AOx30，所以所以， 例2过抛物线y的焦点作倾斜角为的直线l与抛物线交于A、B两点，且|AB|=8，求倾斜角解：抛物线标准方程为x24y，则焦点F（0,-1）当90时，则直线l：x0（不合题意，舍去）当90时，设ktan，则直线l：y+1kx；即y=kx-1与x24y联立，消去y得：x24kx-4=0则x1+x2=4k；x1x2=4；=4
20、（1+k2）8k145或135 圆锥曲线的弦长求法 二、例题讲解例3已知抛物线方程为，直线过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3，求p的值解：设与抛物线交于由弦长公式|AB|=3则有由从而由于p0，解得圆锥曲线的中点弦问题三、巩固练习1若正三角形一顶点在原点，另外两点在抛物线y2=4x上，求此正三角形的边长。（答案：边长为8）2正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求正三角形外接圆的方程分析：依题意可知圆心在轴上，且过原点，故可设圆的方程为：，又圆过点，所求圆的方程为3已知抛物线,过点(4,1)引一弦,使它恰在这点被平分,则此弦所在直线方程为解析:设直线与抛物线交点为则,4
21、已知直线与抛物线相交于、两点，若，（为原点）且，求抛物线的方程（答案：） 5顶点在坐标原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求抛物线的方程（答案：或）四、课后练习1斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长解：如图，由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为F(1，0)，所以直线AB的方程为y=x-1与y2=4x联立，解得：将x1、x2的值代入方程中，得即A、B的坐标分别为、 2已知抛物线与直线相交于、两点，以弦长为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程（答案：） 3.已知的三个顶点是圆与抛物线的交点，且的垂心恰好是抛物线的焦点，求抛物线的方程（答案
22、：） 4已知直角的直角顶点为原点，、在抛物线上，（1）分别求、两点的横坐标之积，纵坐标之积；（2）直线是否经过一个定点，若经过，求出该定点坐标，若不经过，说明理由；（3）求点在线段上的射影的轨迹方程答案：（1）；（2）直线过定点（3）点的轨迹方程为5已知直角的直角顶点为原点，、在抛物线上，原点在直线上的射影为，求抛物线的方程（答案：） 练习与测试：1顶点在原点，焦点在y轴上，且过点P（4，2）的抛物线方程是（）(A)x28y(B)x24y(C)x22y(D)2抛物线y28x上一点P到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是(A)（2，4）(B)（2，4）(C)（1，）(D)（1，）3直线过抛
23、物线的焦点,并且与轴垂直,若被抛物线截得的线段长为4,则()A.4B.2C.D.4抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长等于8，则抛物线方程为5抛物线y26x，以此抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是6以双曲线的右准线为准线，以坐标原点O为顶点的抛物线截双曲线的左准线得弦AB，求OAB的面积 7已知抛物线与直线相交于A、B两点,求证;当的面积等于时,求的值. 测试题答案：1A2D3A4x28y567解析(证明):设;,由A,N,B共线,又-由得 椭圆的简洁性质导学案宝鸡市东风路高级中学导学单年级：高二运用时间2022.12。17.课题椭圆的简洁性质课型新授
24、课学习目标一、学问与技能：理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；会求椭圆的标准方程。二、过程与方法：通过椭圆性质的学习，使学生知道在解析几何中是怎样用代数方程法探讨几何的性质。三、看法价值观：通过椭圆性质的学习，渗透数形结合的思想和等价转化的思想。学习重点利用椭圆的标准方程和图形探讨椭圆的几何性质。学习难点方程思想、数形结合思想在解决问题中的运用。课时1教学方法讲授研讨激励教学用具教学流程复备栏一、课前打算：写出椭圆的标准方程：二、自主学习（课前、课中）：自己学习课本6566页内容，回答如下问题：椭圆的标准方程，它有哪些几何性质呢？1.图形：2.对称性：椭圆关于轴、轴和
25、都对称3.范围：4.顶点：（），（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；5.离心率：三、合作探究：写出椭圆的几何性质：1.图形：2.对称性：椭圆关于轴、轴和都对称3.范围：4.顶点：（），（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；5.离心率：四、例题解析：自学课本66页例4完成下题：1.求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：焦点在轴上，；焦点在轴上，；经过点，；长轴长等到于，离心率等于合作探究：1若椭圆经过原点，且焦点分别为，则其离心率为（）ABCD2.P为椭圆上的一点，F1和F2是其焦点，若F1PF2=60，则F1PF2的面积为五、当堂
26、检测：1已知a=4,b=1，焦点在x轴上的椭圆方程是（）（A）（B）（C）（D）2、椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦的距离为（）(A)5(B)6(C)4?(D)103椭圆的焦点坐标为（A）(0,3)（B）(3,0)（C）(0,5)（D）(4,0)4离心率为，长轴长为6的椭圆的标准方程是（A）（B）或（C）（D）或5假如椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为（A）（B）（C）（D）6若椭圆的离心率，则的值是（）(A)(B)或(C)(D)或课后作业：68页31A2、3（2）（3）、5、6、备课组沟通反思：第15页 共15页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页