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1、 2.3* 抛物线的简单性质【合作探究 】1.抛物线的焦半径：抛物线上任意一点P),(00yx与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径. 由抛物线的定义知，焦半径|PF|的长度，等于点P),(00yx到抛物线准线的距离，例如：（ 1）抛物线)0(22ppxy，|PF|=00-22ppxx（）；类比可知：（2）抛物线)0(22ppxy，|PF|= = . （ 3）抛物线)0(22ppyx，|PF|= = . （ 4）抛物线)0(22ppyx，|PF|= = . 2. 焦点弦：定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。焦点弦长：设两交点),(),(2211yxByxA，因为： 焦半径|PF| 的
2、长度，等于点P(x0，y0)到抛物线准线的距离，所以：当抛物线焦点在x轴上时，焦点弦长只和两交点的横坐标有关：抛物线)0(22ppxy， |AB| = . 抛物线)0(22ppxy，|AB|= . 当抛物线焦点在y轴上时，焦点弦长只和两交点的纵坐标有关：抛物线)0(22ppyx，|AB|= . 抛物线)0(22ppyx，|AB|= . 3.直线与抛物线的位置关系：（1）相交（或个公共点）；相离（个公共点）；相切（个公共点） .（2）对于抛物线C：)0(22ppxy和直线bkxyl :当0k，即直线平行于对称轴时，直线与抛物线有个交点 .它们相 . 当0k，联立pxybkxy22，消去 y，得到
3、关于x 的二次方程k2x2+2 （km-p ）x+m2=0（）若0，直线与抛物线有个交点，它们相 . （）若0，直线与抛物线有个交点，它们相 . （）若0，直线与抛物线有个交点，它们相 . （3）综上，直线与抛物线有1 个交点，则它们相交（直线平行于对称轴）或相切 ；直线与抛物线有2 个交点，则它们相交（直线不平行于对称轴）；直线与抛物线有0 个交点，则它们 相离 （k 不存在时，直线与抛物线的位置关系如何？）3. 直线与抛物线的位置关系：（1）相交（或个公共点）；相离（个公共点）；相切（个公共点） . lNMBADCXYF精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - -
4、 - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - - （2）对于抛物线C：22(0)ypx p和直线:lxmya当0k，即直线平行于对称轴时，直线与抛物线有个交点 .它们相 . 当0k，联立22xmyaypx，消去 y，得到关于 x 的二次方程y2+2mpy-2pa=0（）若0，直线与抛物线有个交点，它们相 . （）若0，直线与抛物线有个交点，它们相 . （）若0，直线与抛物线有个交点，它们相 . （3）综上，直线与抛物线有1 个交点，则它们相交（直线平行于对称轴）或相切 ；直线与抛物线有2 个交点，则它们相交（直线不平
5、行于对称轴）；直线与抛物线有0 个交点，则它们 相离4相交弦设抛物线C：)0(22ppxy和直线bkxyl :有两交点),(),(2211yxByxA相交弦长d= |AB|= = . 【自学检测】1. 抛物线xy42上一点 P到直线02x的距离为 5，则点 P到抛物线焦点 F的距离为 . 2. 抛物线pxy22与直线04yax交于两点A，B。其中点A 的坐标为（ 1,2 ） ，该抛物线的焦点为F，求 |FA|+|FB|= 3. 过定点 P（0,1）且与抛物线xy22只有一个公共点的直线的方程为4. 已知抛物线y26x ，过点 P(4，1)引一弦，使它恰在点P 被平分，则这条弦所在的直线方程是5
6、. 点 M 为抛物线xy42上的动点， F 是焦点， P 是定点（ 3，1） ，则 |MP|+|MF|的最小值是【当堂训练】6. 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线)0(22ppxy上，这个正三角形的边长为7. 已知边长为1 的等边三角形AOB，O为原点，ABx轴，以O为顶点且过A、B的抛物线方程是8已知抛物线022ppxy与直线1xy相交于A、B两点， 以弦长AB为直径的圆恰好过原点，则此抛物线的方程是9. 已知顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线被直线12xy截得的弦长为15，则此抛物线的方程是10. 已知抛物线22(0)ypx p， 过点20p，作直线交抛物线于11()
7、A xy，、22()B xy，两点，给出下列结论：OAOB；AOB的面积的最小值为24 p；2124x xp，其中正确的结论是_ 11. 设过抛物线22(0)ypx p焦点 F 的直线交抛物线于11()A xy，22()B xy，两点，记 直 线AB与x轴 的 夹 角 为， 求 证 ： （ 1 ）12y y=2p,12x x=24p； （ 2 ）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - - |AB|=1222sinpxxp； （3）22sinA
8、OBpS（4）11|FAFB=2p12. 过定点 A( 2，1)， 倾斜角为 45的直线与抛物线2axy交于 B、 C 两点，且BC是 AB、 AC的等比中项，则此抛物线的方程是2.3* 抛物线的简单性质 参考答案【合作探究 】1. （2）| PF | =02px（3）| PF| =02py（4）|PF|=02py2. | AB | =12xxp;| AB | =12xxp| AB | =12yyp;| AB| =12yyp3. （ 1）相交（ 1 或 2 个公共点）；相离（ 0个公共点）；相切（ 2 个公共点） . （2）对于抛物线C：)0(22ppxy和直线bkxyl :当0k，即直线平行
9、于对称轴时，直线与抛物线有 1 个交点 . 它们相交 . 当0k，联立pxybkxy22，消去 y，得到关于x 的二次方程02cbxax（）若0，直线与抛物线有 2 个交点，它们相交 . （）若0，直线与抛物线有 1 个交点，它们相切 . （）若0，直线与抛物线有 0 个交点，它们相离 . （4）相交弦设抛物线C：)0(22ppxy和直线bkxyl :有两交点),(),(2211yxByxA相交弦长d=| AB | =2121kxx=12211yyk【自学检测】1. 4 2. |FA|+|FB|=3 53.11=y=x12y或x 0或4. 3x-y-11=0 5. 4 6.4 3p7. 236
10、yx或236yx82yx9.212yx或24yx10. 11. ( 优化探究第45 页例 3) *12.解：设 B(x1，y1)，C(x2，y2)，直线过 A（ 2，1）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 点，且倾斜角为45，所以直线方程为y=x+1，建立方程组21axyxy由代入整理得：ax2x1=0,1140,4aa而|BC|是|AB|、|AC|的等比中项， 其 x 坐标成等比中项， 所以（x2x1）2=(x22)(x12),(因为倾斜角为45，|BC|=2（x2x1）), 得,4)(24)(212121212xxxxxxxx而axxaxx1,12121代入可得)(411,421412舍去或得aaaaaa抛物线方程为y=x2.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - - -