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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.)(1)曲线33cossinxtyt 上对应于点6t点处的法线方程是.(2)设1tan1sinxyex,则y.(3)101xxdx.(4)下列两个积分的大小关系是：312xedx 312xe dx.(5)设函数1,|1()0,|1xf xx,则函数()f f x.二、选择题(每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填
2、在题后的括号内.)(1)已知2lim01xxaxbx,其中,a b是常数,则 ()(A)1,1ab (B)1,1ab (C)1,1ab (D)1,1ab (2)设函数()f x在(,)上连续,则()df x dx等于 ()(A)()f x (B)()f x dx(C)()f xC (D)()fx dx(3)已知函数()f x具有任意阶导数,且2()()fxf x,则当n为大于2的正整数时,()f x 的n阶导数()()nfx是 ()(A)1!()nnf x (B)1()nn f x(C)2()nf x (D)2!()nnf x(4)设()f x是连续函数,且()()xexF xf t dt,则
3、()F x等于 ()(A)()()xxef ef x (B)()()xxef ef x 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！(C)()()xxef ef x (D)()()xxef ef x(5)设(),0()(0),0f xxF xxfx,其中()f x在0 x 处可导,(0)0,(0)0ff,则0 x 是()F x的 ()(A)连续点 (B)第一类间断点(C)第二类间断点 (D)连续点或间断点不能由此确定 三、(每小题 5 分,满分 25 分.)(1)已知lim()9xxxaxa,求常数a.(2)求由方程2()ln()yxxyxy所
4、确定的函数()yy x的微分dy.(3)求曲线21(0)1yxx的拐点.(4)计算2ln(1)xdxx.(5)求微分方程ln(ln)0 xxdyyx dx满足条件1x ey的特解.四、(本题满分 9 分)在椭圆22221xyab的第一象限部分上求一点P,使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形面积为最小(其中0,0ab).五、(本题满分 9 分)证明：当0 x,有不等式1arctan2xx.六、(本题满分 9 分)设1ln()1xtf xdtt,其中0 x,求1()()f xfx.七、(本题满分 9 分)过点(1,0)P作抛物线2yx的切线,该切线与上述抛物线及x轴围成一平面图形,求此平面图形绕
5、x轴旋转一周所围成旋转体的体积.八、(本题满分 9 分)求微分方程44axyyye之通解,其中a为实数.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)(1)【答案】133(3)88yx【解析】将6t代入参数方程得,x y在6t处的函数值:6338tx,61;8ty 得切点为31(3,)88.过已知点00(,)xy的法线方程为00()yyk xx,当函数在点00(,)xy处的导数 00 x xy时,01()ky x.所以需求曲线在点
6、6t处的导数.由复合函数求导法则,可得 dydy dtdydxdtdtdxdtdx223sincos3cossintttttant,613xty；欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！法线斜率为3.k 所以过已知点的法线方程为133(3).88yx【相关知识点】复合函数求导法则：如果()ug x在点x可导,而()yf x在点()ug x可导,则复合函数()yf g x在点x可导,且其导数为()()dyf ug xdx或dydy dudxdu dx.(2)【答案】11tantan22211111secsincosxxeex xxx x【解析
7、】原函数对x求导,有 111tantantan111sinsinsinxxxyeeexxx 11tantan111 1tansincosxxeexxxx 11tantan22211111secsincos.xxeex xxx x【相关知识点】1.两函数乘积的求导公式：()()()()()()f xg xfxg xf xg x.2.复合函数的求导法则:如果()ug x在点x可导,而()yf x在点()ug x可导,则复合函数()yf g x 在点x可导,且其导数为()()dyf ug xdx或dydy dudxdu dx.(3)【答案】415【解析】对于原定积分,有换元法或拆项法可选择,不管是何
8、种方法,最终的目的都是去 掉积分式子中的根式或使得根式积分可以单独积分出结果.方法 1：换元法,令1xt,原积分区间为01x,则011x,进而011x,新积分区间为01t；当0 x 时,1t,当1x 时,0t,故新积分上限为 0,下限为 1.1dxdt1122 1dtdxdxtx,则2dxtdt.原式 021(1)(2)tttdt 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！11243500112235ttdttt 1142.3515 方法 2：拆项法,11xx,原式 10111xxdx 31120011xdxxdx 1135220022113
9、5xx 224.3515(4)【答案】【解析】由于3xe,3xe在 2,1连续且3xe3xe,根据比较定理得到 312xedx312xe dx.【相关知识点】对于相同区间上的定积分的比较,有“比较定理”如下：若()f x与()g x在区间,a b(,a b为常数,ab)上连续且可积,且()f x()g x,则有()().bbaaf x dxg x dx(5)【答案】1【解析】对于分段函数的复合函数求解必须取遍内层函数的值域,不能遗漏,求出复合后函数的所有可能的解析式.根据()f x的定义知,当|1x 时,有()1.f x 代入()f f x,又(1)1.f于是当|1x 时,复合函数()1f f
10、 x；当|1x 时,有()0.f x 代入()f f x,又(0)1,f即当|1x 时,也有()1f f x.因此,对任意的(,)x ,有()1f f x.二、选择题(每小题 3 分,满分 15 分.)(1)【答案】C【解析】本题考查多项式之比当x 时的极限.由题设条件,有 22(1)()limlim011xxxa xab xbaxbxx,欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！分析应有10,0,aab 否则2(1)()lim01xa xab xbx.所以解以上方程组,可得1,1.ab 所以此题应选 C.(2)【答案】B【解析】由函数的不定
11、积分公式:若()F x是()f x的一个原函数,()()f x dxF xC,()()dF xf x dx,有()()().df x dxf x dx dxf x dx 所以本题应该选(B).(3)【答案】A【解析】本题考查高阶导数的求法.为方便记()yf x.由2yy,逐次求导得 322,yyyy243!3!,yy yy,由第一归纳法,可归纳证明()1!nnyn y.假设nk成立,即()1!kkyk y,则(1)()1!1!kkkkyyk ykyy 111!kky,所以1nk亦成立,原假设成立.(4)【答案】A【解析】对()()xexF xf t dt两边求导数得()()()()()xxF
12、xf eef x x()().xxef ef x 故本题选 A.【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若()()()()ttF tf x dx,()t,()t均一阶可导,则()()()()()F ttfttft.2.复合函数求导法则：如果()ug x在点x可导,而()yf x在点()ug x可导,则复合函数()yf g x 在点x可导,且其导数为()()dyf ug xdx或dydy dudxdu dx.(5)【答案】B 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！【解析】由于 000()()(0)lim()limlim0 xxxf x
13、f xfF xxx,由函数在一点处导数的定义,00000()()()limlim,xxf xxf xyfxxx 得0lim()(0)0(0)(0),xF xffF 所以函数不连续,且极限存在但不等于函数值,故为第一类(可去)间断点,故本题选 B.【相关知识点】1.函数()yf x在点0 x连续：设函数()f x在点0 x的某一邻域内有定义,如果00lim()(),xxf xf x则称函数()f x在点0 x连续.2.函数()f x的间断点或者不连续点的定义：设函数()f x在点0 x的某去心邻域内有定义,只要满足一下三种情况之一即是间断点.(1)在0 xx没有定义；(2)虽在0 xx有定义,但
14、0lim()xxf x不存在；(3)虽在0 xx有定义,且0lim()xxf x存在,但00lim()();xxf xf x 通常把间断点分成两类：如果0 x是函数()f x的间断点,但左极限0()f x及右极限0()f x都存在,那么0 x称为函数()f x的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点,称为第二类间断点.三、(每小题 5 分,满分 25 分.)(1)【解析】此题考查重要极限：1lim(1).xxex(1)lim()lim(1)xxxxxaxaxaxax(1)lim(1)xaaxxaaaxax 29aaaeee,得2ln9a ln3a.或由 2222lim()lim 1x ax
15、aa x axaxxxaaexaxa,同理可得ln3a.(2)【解析】方程两边求微分,得 2dydxln()()()ln()xyd xyxydxy 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！()ln()()dxdydxdyxyxyxy,整理得 2ln()3ln()xydydxxy.(3)【解析】对分式求导数,有公式2uu vuvvv,所以 2222 322(31),(1)(1)xxyyxx,令0y 得13x,y在此变号,即是13x 时,0;y13x 时,0;y 故拐点为13(,)43.【相关知识点】1.拐点的定义：设函数()f x在点0 x的
16、某一邻域连续,函数()f x的图形在点0 x处的左右侧凹凸性相反,则称00(,()xf x为曲线()f x的拐点.2.拐点判别定理：(1)设函数()f x在00(,)xx连续,在去心邻域 000(,)xxx,就是区间 00(,)xx内不包括点0 x二阶可导,且0()()fx xx在00 xx上不变号,则 00(,()xf x为拐点.(2)设函数()f x在00(,)xx二阶可导,0()0,fx又0()0,fx则00(,()xf x 为拐点.本题利用第一个判别定理就足够判定所求点是否是拐点了.(4)【解析】由22(1)1(1)(1)(1)dxdxdxxx有 2ln1ln()(1)1xdxxdxx
17、ln11()11xdxxxx分部法 lnln|1|1xxxCx,C为任意常数.注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验.【相关知识点】分部积分公式：假定()uu x与()vv x均具有连续的导函数,则 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！,uv dxuvu vdx或者.udvuvvdu(5)【解析】所给方程为一阶线性非齐次方程,其标准形式为 11lnyyxxx.由于 ln|ln|dxxxex,两边乘以ln x得ln(ln)xyxx.积分得
18、 lnlnxyxdxCx,通解为 ln2lnxCyx.代入初始条件1x ey可得12C,所求特解为ln122lnxyx.四、(本题满分9 分)【解析】对椭圆方程进行微分,有220 xdxydyab22dyb xdxa y.过曲线上已知点00(,)xy的切线方程为00()yyk xx,当0()y x存在时,0()ky x.所以点(,)x y处的切线方程为22()b xYyXxa y,化简得到221xXyYab.分别令0X 与0Y,得切线在,x y上的截距分别为22,abxy；又由椭圆的面积计算公式ab,其中,a b为半长轴和半短轴,故所求面积为 2211,(0,)24abSab xaxy.,a
19、b为常数,欲使得S的最小,则应使得xy最大；从而问题化为求uxy(y由椭圆方程所确定)当(0,)xa时的最大值点.令,0uxy uxyy,得yyx,再对22221xyab两边求导得220 xyyab,联合可得2ax(唯一驻点),即在此点uxy取得最大,S取得最小值.由于00lim()lim()xaxS xS x ,所以()S x在(0,)a上存在最小值,2ax 必为最小欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！点,所求P点为,22ab.五、(本题满分 9 分)【解析】证明不等式的一般方法是将表达式移到不等号的一边,令其为()f x,另一边剩下
20、 0,再在给定区间内讨论()f x的单调性即可证明原不等式.令1()arctan2f xxx,则2211()0 (0)1fxxxx.因此,()f x在(0,)上单调减；又有lim arctan2xx,所以 11lim()lim()lim022xxxf xxx,故0 x 时,()lim()0 xf xf x,所以原不等式得证.六、(本题满分 9 分)【解析】方法 1：111ln()1xtfdtxt,由换元积分1tu,21dtduu,1:1tx:1ux；所以 11111lnln()1(1)tuxxtufdtduxtu u.由区间相同的积分式的可加性,有 1()()f xfx=2111lnlnln1
21、ln1(1)2xxxtttdtdtdtxtt tt.方法 2：令1()()()F xf xfx,则 21lnln1ln().111xxxF xxxxx 由牛顿-莱布尼兹公式,有 1ln()(1)xxF xFdxx21ln2x,而11ln(1)0 xFdxx,故211()()()ln2F xf xfxx.【相关知识点】牛顿-莱布尼兹公式：设函数()f x在,a b上连续,()F x为()f x在,a b上的任意一个原函数,则有 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！()()()().bbaaf x dxF xF bF a 七、(本题满分 9
22、 分)【解析】先求得切线方程：对抛物线方程求导数,得 122yx,过曲线上已知点00(,)xy的切线方程 为00()yyk xx,当0()y x存在时,0()ky x.所以点00(,2)xx 处的切线方程为 00012()22yxxxx,此切线过点(1,0)P,所以把点(1,0)P代入切线方程得03x,再03x 代入抛物线方程得 01y,11(3).22 32y由此,与抛物线相切于(3,1)斜率为12的切线方程为 21xy.旋转体是由曲线(),yf x直线21xy与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的,求旋转体体积V：方法 1：曲线表成y是x的函数,V是两个旋转体的体积之差,套用已有公式
23、得 3322121(1)(2)4Vxdxxdx 3332121 11(1)(2)4 326xxx.方法 2：曲线表成x是y的函数,并作水平分割,相应于,y ydy小横条的体积微元,如上图所示,22(2)(21),dVyyydy 于是,旋转体体积 13202(2)Vyyy dy432112120432yyy6.【相关知识点】1.由连续曲线()yf x、直线,xa xb及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积为：2()baVfx dx.1 x y O 1 2 y 3 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！2.设()f x在,a b
24、连续,非负,0a,则曲线()yf x,直线,xa xb及x轴围成的平面图形绕y轴旋转所得旋转体体积为：2()baVxf x dx(可用微元法导出).八、(本题满分 9 分)【解析】所给方程为常系数二阶线性非齐次方程,特征方程2440rr的根为122rr,原方程右端axxee中的a.当2a 时,可设非齐次方程的特解axYAe,代入方程可得21(2)Aa,当2a 时,可设非齐次方程的特解2axYx Ae,代入方程可得12A,所以通解为 2122()(2)(2)axxeycc x eaa,22212()(2)2xxx eycc x ea.【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设*()y x是
25、二阶线性非齐次方程()()()yP x yQ x yf x的一个特解.()Y x是与之对应的齐次方程()()0yP x yQ x y的通解,则*()()yY xy x是非齐次方程的通解.2.二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解()Y x,可用特征方程法求解：即()()0yP x yQ x y中的()P x、()Q x均是常数,方程变为0ypyqy.其特征方程写为20rprq,在复数域内解出两个特征根12,r r；分三种情况：(1)两个不相等的实数根12,r r,则通解为1212;rxr xyC eC e(2)两个相等的实数根12rr,则通解为112;rxyCC x e(3)一对共轭复根1,2ri,则通解为12cossin.xyeCxCx其中12,C C为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程()()()yP x yQ x yf x的一个特解*()y x,可用待定系数法,有结论如下：如果()(),xmf xP x e则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*()()kxmy xx Qx e 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！的特解,其中()mQx是与()mP x相同次数的多项式,而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取 0、1 或 2.