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1、 Born to win1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.)(1) 极限_.(2) 设函数有连续的导函数,若函数在处连续,则常数=_.(3) 曲线与直线所围成的平面图形的面积为_.(4) 若线性方程组有解,则常数应满足条件_.(5) 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为,则该射手的命中率为_. 二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设函数,则是 ( )(A) 偶函数 (B) 无界函数 (C) 周期函数 (D)
2、 单调函数(2) 设函数对任意均满足等式,且有其中为非零常数,则 ( ) (A) 在处不可导 (B) 在处可导,且(C) 在处可导,且 (D) 在处可导,且(3) 向量组线性无关的充分条件是 ( )(A) 均不为零向量(B) 中任意两个向量的分量不成比例(C) 中任意一个向量均不能由其余个向量线性表示(D) 中有一部分向量线性无关(4) 设为两随机事件,且,则下列式子正确的是 ( )(A) (B) (C) (D) (5) 设随机变量和相互独立,其概率分布为-1 1 -1 1 则下列式子正确的是 ( )(A) (B) (C) (D) 三、计算题(本题满分20分,每小题5分.)(1) 求函数在区间
3、上的最大值.(2) 计算二重积分,其中是曲线和在第一象限所围成的区域.(3) 求级数的收敛域.(4) 求微分方程的通解.四、(本题满分9分)某公司可通过电台及报纸两种形式做销售某种商品的广告,根据统计资料,销售收入(万元)与电台广告费用(万元)及报纸广告费用(万元)之间的关系有如下经验公式:(1) 在广告费用不限的情况下,求最优广告策略；(2) 若提供的广告费用为1.5万元,求相应的最优广告策略.五、(本题满分6分)设在闭区间上连续,其导数在开区间内存在且单调减少；,试应用拉格朗日中值定理证明不等式:,其中常数满足条件.六、(本题满分8分)已知线性方程组(1) 为何值时,方程组有解?(2) 方
4、程组有解时,求出方程组的导出组的一个基础解系；(3) 方程组有解时,求出方程组的全部解.七、(本题满分5分)已知对于阶方阵,存在自然数,使得,试证明矩阵可逆,并写出其逆矩阵的表达式(为阶单位阵).八、(本题满分6分)设是阶矩阵,和是的两个不同的特征值,是分别属于和的特征向量.试证明不是的特征向量.九、(本题满分4分)从十个数字中任意选出三个不同数字,试求下列事件的概率：三个数字中不含0和5；三个数字中不含0或5.十、(本题满分5分)一电子仪器由两个部件构成,以和分别表示两个部件的寿命(单位:千小时),已知和的联合分布函数为:(1) 问和是否独立?(2) 求两个部件的寿命都超过100小时的概率.
5、十一、(本题满分7分)某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为72分,96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.附表0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0.500 0.692 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 表中是标准正态分布函数.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)(1)【答案】【解析】对原式进行分子有理化,分子分母同乘以有理化因子.,再分子分母同时除以,有 原式.因为,其中为常数,所以原式(2)【答案】【解析】由于在处连
6、续,故.为“”型的极限未定式,又在点处导数存在,所以.【相关知识点】函数在点连续：设函数在点的某一邻域内有定义,如果则称函数在点连续.(3)【答案】【解析】O2先解出两条曲线在平面的交点,即令,解得和,故所围成的平面图形如右图所示:所求面积为 (4)【答案】【解析】由于方程组有解,对作初等行变换,第一行乘以加到第四行上,有 ,第二行加到第四行上,再第三行乘以加到第四行上,有.为使,常数应满足条件:.【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设是矩阵,线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,即是(或者说,可由的列向量线表出,亦等同于与是等价向量组).设是矩阵,线性方程组,
7、则（1） 有唯一解 （2） 有无穷多解 （3） 无解 不能由的列向量线表出.(5)【答案】【解析】这是一个四重伯努利试验概率模型,设试验的成功率即射手的命中率为,则进行四次独立的射击, 设事件为“射手命中目标的次数”,服从参数的二项分布,由二项分布的概率公式,事件“四次均不中”的概率为,它是至少命中一次的对立事件.依题意 .本题的另一种分析方法是用随机变量表示独立地进行射击中命中目标的次数,表示一次射击的命中率,则,依题意即【相关知识点】二项分布的概率公式：若,则,.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.)(1)【答案】(B)【解析】由于,而,所以,故无界.或考察在的函数值,有,可见是无界函
8、数.应选(B).以下证明其他结论均不正确. 由,知(A)不正确；由,而,知(D)不正确.证明(C)不正确可用反证法.设,于是的定义域为且的全部零点为若以为周期,则有令有即.从而,其中为某一正数.于是也是的周期.代入即得,对有这表明在上成立,于是在上成立,导致了矛盾. 故不可能是周期函数.【相关知识点】极限的四则运算法则:若,则有 .(2)【答案】(D)【解析】通过变量代换或按定义由关系式将在的可导性与在的可导性联系起来.令,则.由复合函数可导性及求导法则,知在可导,且,因此,应选(D).【相关知识点】复合函数求导法则:如果在点可导,而在点可导,则复合函数在点可导,且其导数为 或 .(3)【答案
9、】(C)【解析】本题考查线性无关的概念与理论,以及充分必要性条件的概念.(A)(B)(D)均是必要条件,并非充分条件.也就是说,向量组线性无关,可以推导出(A)(B)(D)选项,但是不能由(A)(B)(D)选项中的任意一个推导出向量组线性无关.例如:显然有,该向量组线性相关.但(A)(B)(D)均成立.根据“线性相关的充分必要条件是存在某可以由线性表出.”或由“线性无关的充分必要条件是任意一个均不能由线性表出.”故选(C).(4)【答案】A【解析】由于,所以,于是有.故本题选A. 对于B选项,因为,所以事件发生,则事件必然发生,所以,而不是,故B错.对于C选项,因为,由条件概率公式,当是相互独
10、立的事件时,才会有；所以C错.对于D选项,因为,所以事件发生事件不发生是个不可能事件,故,所以(D)错.(5)【答案】(C)【解析】由离散型随机变量概率的定义,有 .故本题选(C).而(B)、(D)选项是错误的.对于(A)选项,题目中只说了随机变量和相互独立,且他们的概率分布相同,但是二者是不同的事件,并不能说事件与事件是同一事件.故(A)错.三、计算题(本题满分20分,每小题5分.)(1)【解析】在上,故函数在上单调增加,最大值为.由,有.【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若,均一阶可导,则.2.假定与均具有连续的导函数,则 或者 (2)【解析】区域是无界函数,设,不难发现,当时
11、有,从而 (3)【解析】因系数,故,这样,幂级数的收敛半径.因此当,即时级数绝对收敛.当时,得交错级数；当时,得正项级数,二者都收敛,于是原级数的收敛域为.【相关知识点】1.求收敛半径的方法：如果,其中是幂级数的相邻两项的系数,则这幂级数的收敛半径2.交错级数的莱布尼茨判别法：设交错级数满足：(1) (2)则收敛,且其和满足余项3级数：当时收敛；当时发散.(4)【解析】方法1:所给方程为一阶线性微分方程,可直接利用通解公式求解.方法2: 用函数同乘方程两端,构造成全微分方程.方程两端同乘,得,再积分一次得.最后,再用同乘上式两端即得通解.【相关知识点】一阶线性非齐次方程的通解为 , 其中为任意
12、常数.四、(本题满分9分)【解析】(1)利润为销售收入减去成本,所以利润函数为 由多元函数极值点的必要条件,有因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故投入电台广告费用0.75万元,报纸广告费用1.25万元可获最大利润.(2)若广告费用为1.5万元,则应当求利润函数(与(1)中解析式相同)在时的条件最大值.拉格朗日函数为由 因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故应将广告费1.5万元全部用于报纸广告,可使利润最大.【相关知识点】拉格朗日乘数法:要找函数在附加条件下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数其中为参数.求其对与的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来：由这方程组解出及,这样得到的就是函数在
13、附加条件下的可能极值点.五、(本题满分6分)【解析】方法1:当时,即不等式成立；若,因为 其中.又单调减少,故.从而有,即.方法2:构造辅助函数,将式子移到不等式右边,再将视为变量,得辅助函数令,由于,所以,又因为且,在单调减少,所以,于是在上单调递增,故,即,其中.【相关知识点】拉格朗日中值定理：如果函数满足在闭区间上连续；在开区间内可导,那么在内至少有一点,使等式成立.六、(本题满分8分)【解析】本题中,方程组有解.(相关定理见第一题(4)对增广矩阵作初等行变换,第一行乘以、分别加到第二、四行上,有,第二行乘以、分别加到第三、四行上,第二行再自乘,有(1) 当且,即时方程组有解.(2) 当
14、时,方程组的同解方程组是由,即解空间的维数为3.取自变量为,则导出组的基础解系为.(3) 令,得方程组的特解为.因此,方程组的所有解是,其中为任意常数.【相关知识点】若、是对应齐次线性方程组的基础解系,则的通解形式为其中是的基础解系,是的一个特解.七、(本题满分5分)【解析】若、是阶矩阵,且则必有于是按可逆的定义知.如果对特征值熟悉,由可知矩阵的特征值全是0,从而的特征值全是1,也就能证明可逆.由于,故.所以可逆,且.八、(本题满分6分)【解析】(反证法)若是的特征向量,它所对应的特征值为,则由定义有：.由已知又有 .两式相减得 .由,知不全为0,于是线性相关,这与不同特征值的特征向量线性无关
15、相矛盾.所以,不是的特征向量.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设是阶矩阵,若存在数及非零的维列向量使得成立,则称是矩阵的特征值,称非零向量是矩阵的特征向量.九、(本题满分4分)【解析】样本空间含样本点总数为；即十个数字任意选三个有多少种选择方案.有利于事件的样本点数为；十个数字除去0和5任意选三个有多少种选择方案.有利于事件的样本点数为；十个数字除去0任意选三个的选择方案和十个数字除去5任意选三个的选择方案再减去中间多算了一次的方法数,即是事件被加了两次,所以应该减去.由古典型概率公式, .【相关知识点】古典型概率公式：.十、(本题满分5分)【解析】(1) 由连续型随机变量边缘分布的
16、定义,且(为常数)有 和的边缘分布函数分别为由于对任意实数都满足.因此和相互独立.(2) 因为和相互独立,所以有 .十一、(本题满分7分)【解析】若已知正态分布的期望和方差,在计算有关概率时可将其转化为标准正态分布的有关概率,通过表计算.但是正态分布的参数与未知时,则应先根据题设条件求出与的值,再去计算有关事件的概率.设为考生的外语成绩,依题意有,且,但未知.所以可标准化得.由标准正态分布函数概率的计算公式,有查表可得 ,即, .1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)(1)【答案】【解析】对原式进行分子有理化,分子分母同乘以有理化因子.,再
17、分子分母同时除以,有 原式.因为,其中为常数,所以原式(2)【答案】【解析】由于在处连续,故.为“”型的极限未定式,又在点处导数存在,所以.【相关知识点】函数在点连续：设函数在点的某一邻域内有定义,如果则称函数在点连续.(3)【答案】【解析】O2先解出两条曲线在平面的交点,即令,解得和,故所围成的平面图形如右图所示:所求面积为 (4)【答案】【解析】由于方程组有解,对作初等行变换,第一行乘以加到第四行上,有 ,第二行加到第四行上,再第三行乘以加到第四行上,有.为使,常数应满足条件:.【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设是矩阵,线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的
18、秩,即是(或者说,可由的列向量线表出,亦等同于与是等价向量组).设是矩阵,线性方程组,则（4） 有唯一解 （5） 有无穷多解 （6） 无解 不能由的列向量线表出.(5)【答案】【解析】这是一个四重伯努利试验概率模型,设试验的成功率即射手的命中率为,则进行四次独立的射击, 设事件为“射手命中目标的次数”,服从参数的二项分布,由二项分布的概率公式,事件“四次均不中”的概率为,它是至少命中一次的对立事件.依题意 .本题的另一种分析方法是用随机变量表示独立地进行射击中命中目标的次数,表示一次射击的命中率,则,依题意即【相关知识点】二项分布的概率公式：若,则,.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.)
19、(1)【答案】(B)【解析】由于,而,所以,故无界.或考察在的函数值,有,可见是无界函数.应选(B).以下证明其他结论均不正确. 由,知(A)不正确；由,而,知(D)不正确.证明(C)不正确可用反证法.设,于是的定义域为且的全部零点为若以为周期,则有令有即.从而,其中为某一正数.于是也是的周期.代入即得,对有这表明在上成立,于是在上成立,导致了矛盾. 故不可能是周期函数.【相关知识点】极限的四则运算法则:若,则有 .(2)【答案】(D)【解析】通过变量代换或按定义由关系式将在的可导性与在的可导性联系起来.令,则.由复合函数可导性及求导法则,知在可导,且,因此,应选(D).【相关知识点】复合函数
20、求导法则:如果在点可导,而在点可导,则复合函数在点可导,且其导数为 或 .(3)【答案】(C)【解析】本题考查线性无关的概念与理论,以及充分必要性条件的概念.(A)(B)(D)均是必要条件,并非充分条件.也就是说,向量组线性无关,可以推导出(A)(B)(D)选项,但是不能由(A)(B)(D)选项中的任意一个推导出向量组线性无关.例如:显然有,该向量组线性相关.但(A)(B)(D)均成立.根据“线性相关的充分必要条件是存在某可以由线性表出.”或由“线性无关的充分必要条件是任意一个均不能由线性表出.”故选(C).(4)【答案】A【解析】由于,所以,于是有.故本题选A. 对于B选项,因为,所以事件发
21、生,则事件必然发生,所以,而不是,故B错.对于C选项,因为,由条件概率公式,当是相互独立的事件时,才会有；所以C错.对于D选项,因为,所以事件发生事件不发生是个不可能事件,故,所以(D)错.(5)【答案】(C)【解析】由离散型随机变量概率的定义,有 .故本题选(C).而(B)、(D)选项是错误的.对于(A)选项,题目中只说了随机变量和相互独立,且他们的概率分布相同,但是二者是不同的事件,并不能说事件与事件是同一事件.故(A)错.三、计算题(本题满分20分,每小题5分.)(1)【解析】在上,故函数在上单调增加,最大值为.由,有.【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若,均一阶可导,则.2
22、.假定与均具有连续的导函数,则 或者 (2)【解析】区域是无界函数,设,不难发现,当时有,从而 (3)【解析】因系数,故,这样,幂级数的收敛半径.因此当,即时级数绝对收敛.当时,得交错级数；当时,得正项级数,二者都收敛,于是原级数的收敛域为.【相关知识点】1.求收敛半径的方法：如果,其中是幂级数的相邻两项的系数,则这幂级数的收敛半径2.交错级数的莱布尼茨判别法：设交错级数满足：(1) (2)则收敛,且其和满足余项3级数：当时收敛；当时发散.(4)【解析】方法1:所给方程为一阶线性微分方程,可直接利用通解公式求解.方法2: 用函数同乘方程两端,构造成全微分方程.方程两端同乘,得,再积分一次得.最
23、后,再用同乘上式两端即得通解.【相关知识点】一阶线性非齐次方程的通解为 , 其中为任意常数.四、(本题满分9分)【解析】(1)利润为销售收入减去成本,所以利润函数为 由多元函数极值点的必要条件,有因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故投入电台广告费用0.75万元,报纸广告费用1.25万元可获最大利润.(2)若广告费用为1.5万元,则应当求利润函数(与(1)中解析式相同)在时的条件最大值.拉格朗日函数为由 因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故应将广告费1.5万元全部用于报纸广告,可使利润最大.【相关知识点】拉格朗日乘数法:要找函数在附加条件下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数其中为参数.求其对与的
24、一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来：由这方程组解出及,这样得到的就是函数在附加条件下的可能极值点.五、(本题满分6分)【解析】方法1:当时,即不等式成立；若,因为 其中.又单调减少,故.从而有,即.方法2:构造辅助函数,将式子移到不等式右边,再将视为变量,得辅助函数令,由于,所以,又因为且,在单调减少,所以,于是在上单调递增,故,即,其中.【相关知识点】拉格朗日中值定理：如果函数满足在闭区间上连续；在开区间内可导,那么在内至少有一点,使等式成立.六、(本题满分8分)【解析】本题中,方程组有解.(相关定理见第一题(4)对增广矩阵作初等行变换,第一行乘以、分别加到第二、四行上,有,第二
25、行乘以、分别加到第三、四行上,第二行再自乘,有(1) 当且,即时方程组有解.(2) 当时,方程组的同解方程组是由,即解空间的维数为3.取自变量为,则导出组的基础解系为.(3) 令,得方程组的特解为.因此,方程组的所有解是,其中为任意常数.【相关知识点】若、是对应齐次线性方程组的基础解系,则的通解形式为其中是的基础解系,是的一个特解.七、(本题满分5分)【解析】若、是阶矩阵,且则必有于是按可逆的定义知.如果对特征值熟悉,由可知矩阵的特征值全是0,从而的特征值全是1,也就能证明可逆.由于,故.所以可逆,且.八、(本题满分6分)【解析】(反证法)若是的特征向量,它所对应的特征值为,则由定义有：.由已
26、知又有 .两式相减得 .由,知不全为0,于是线性相关,这与不同特征值的特征向量线性无关相矛盾.所以,不是的特征向量.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设是阶矩阵,若存在数及非零的维列向量使得成立,则称是矩阵的特征值,称非零向量是矩阵的特征向量.九、(本题满分4分)【解析】样本空间含样本点总数为；即十个数字任意选三个有多少种选择方案.有利于事件的样本点数为；十个数字除去0和5任意选三个有多少种选择方案.有利于事件的样本点数为；十个数字除去0任意选三个的选择方案和十个数字除去5任意选三个的选择方案再减去中间多算了一次的方法数,即是事件被加了两次,所以应该减去.由古典型概率公式, .【相关知识点】古典型概率公式：.十、(本题满分5分)【解析】(1) 由连续型随机变量边缘分布的定义,且(为常数)有 和的边缘分布函数分别为由于对任意实数都满足.因此和相互独立.(2) 因为和相互独立,所以有 .十一、(本题满分7分)【解析】若已知正态分布的期望和方差,在计算有关概率时可将其转化为标准正态分布的有关概率,通过表计算.但是正态分布的参数与未知时,则应先根据题设条件求出与的值,再去计算有关事件的概率.设为考生的外语成绩,依题意有,且,但未知.所以可标准化得.由标准正态分布函数概率的计算公式,有查表可得 ,即, .