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1、1990年全国硕士探讨生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1) 曲线上对应于点点处的法线方程是.(2) 设,则.(3) .(4) 下列两个积分的大小关系是： . (5) 设函数,则函数.二、选择题(每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 已知,其中是常数,则 ( )(A) (B) (C) (D) (2) 设函数在上连续,则等于 ( )(A) (B) (C) (D) (3) 已知函数具有随意阶导数,且,则当为大于2的正整数时,的阶导数是 ( )(A) (B)
2、(C) (D) (4) 设是连续函数,且,则等于 ( )(A) (B) (C) (D) (5) 设,其中在处可导,则是的 ( )(A) 连续点 (B) 第一类连续点(C) 第二类连续点 (D) 连续点或连续点不能由此确定三、(每小题5分,满分25分.)(1) 已知,求常数.(2) 求由方程所确定的函数的微分.(3) 求曲线的拐点.(4) 计算.(5) 求微分方程满意条件的特解.四、(本题满分9分)在椭圆的第一象限局部上求一点,使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形面积为最小(其中).五、(本题满分9分)证明：当,有不等式.六、(本题满分9分)设,其中,求.七、(本题满分9分)过点作抛物线的切线
3、,该切线与上述抛物线及轴围成一平面图形,求此平面图形绕轴旋转一周所围成旋转体的体积.八、(本题满分9分)求微分方程之通解,其中为实数.1990年全国硕士探讨生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】【解析】将代入参数方程得在处的函数值:,得切点为.过已知点的法线方程为,当函数在点处的导数时,.所以需求曲线在点处的导数.由复合函数求导法则,可得 法线斜率为所以过已知点的法线方程为【相关学问点】复合函数求导法则：假设在点可导,而在点可导,则复合函数在点可导,且其导数为或.(2)【答案】【解析】原函数对求导,有【相关学问点】1.两函数乘积的求导公式
4、：2.复合函数的求导法则:假设在点可导,而在点可导,则复合函数在点可导,且其导数为或.(3)【答案】【解析】 对于原定积分,有换元法或拆项法可选择,不管是何种方法,最终的目的都是去掉积分式子中的根式或使得根式积分可以单独积分出结果.方法1：换元法,令,原积分区间为,则,进而,新积分区间为；当时,当时,故新积分上限为0,下限为1.,则.原式 方法2：拆项法,原式 (4)【答案】【解析】由于,在连续且,依据比拟定理得到【相关学问点】对于一样区间上的定积分的比拟,有“比拟定理”如下：若与在区间(为常数,)上连续且可积,且,则有(5)【答案】【解析】对于分段函数的复合函数求解必需取遍内层函数的值域,不
5、能遗漏,求出复合后函数的全部可能的解析式.依据的定义知,当时,有代入,又于是当时,复合函数；当时,有代入,又即当时,也有.因此,对随意的,有.二、选择题(每小题3分,满分15分.)(1)【答案】C【解析】本题考察多项式之比当时的极限.由题设条件,有分析应有 否则.所以解以上方程组,可得所以此题应选C.(2)【答案】B【解析】由函数的不定积分公式:若是的一个原函数,有所以本题应中选(B).(3)【答案】A【解析】本题考察高阶导数的求法.为便利记.由,逐次求导得由第一归纳法,可归纳证明.假设成立,即,则所以亦成立,原假设成立.(4)【答案】A【解析】对两边求导数得故本题选A.【相关学问点】1.对积
6、分上限的函数的求导公式：若,均一阶可导,则2.复合函数求导法则：假设在点可导,而在点可导,则复合函数在点可导,且其导数为或.(5)【答案】B【解析】由于 ,由函数在一点处导数的定义,得所以函数不连续,且极限存在但不等于函数值,故为第一类(可去)连续点,故本题选B.【相关学问点】1. 函数在点连续：设函数在点的某一邻域内有定义,假设则称函数在点连续.2.函数的连续点或者不连续点的定义：设函数在点的某去心邻域内有定义,只要满意一下三种状况之一即是连续点.(1) 在没有定义；(2) 虽在有定义,但不存在；(3) 虽在有定义,且存在,但通常把连续点分成两类：假设是函数的连续点,但左极限及右极限都存在,
7、那么称为函数的第一类连续点；不是第一类连续点的任何连续点,称为第二类连续点.三、(每小题5分,满分25分.)(1)【解析】此题考察重要极限：得.或由 ,同理可得.(2)【解析】方程两边求微分,得整理得 .(3)【解析】对分式求导数,有公式,所以令得,在此变号,即是时,时,故拐点为.【相关学问点】1.拐点的定义：设函数在点的某一邻域连续,函数的图形在点处的左右侧凹凸性相反,则称为曲线的拐点.2.拐点判别定理：(1)设函数在连续,在去心邻域,就是区间内不包括点二阶可导,且在上不变号,则为拐点.(2)设函数在二阶可导,又则为拐点.本题利用第一个判别定理就足够断定所求点是否是拐点了.(4)【解析】由有
8、, 为随意常数.注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,假设选择不当可能引起更繁杂的计算,最终甚至算不出结果来.在做题的时候应当好好总结,积累阅历.【相关学问点】分部积分公式：假定与均具有连续的导函数,则或者(5)【解析】所给方程为一阶线性非齐次方程,其标准形式为由于 ,两边乘以得.积分得 ,通解为 .代入初始条件可得,所求特解为.四、(本题满分9分)【解析】对椭圆方程进展微分,有.过曲线上已知点的切线方程为,当存在时,.所以点处的切线方程为,化简得到.分别令与,得切线在上的截距分别为；又由椭圆的面积计算公式,其中为半长轴和半短轴,故所求面积为为常数,欲使得的最小,则应使得最大；从而
9、问题化为求(由椭圆方程所确定)当时的最大值点. 令,得,再对两边求导得,结合可得(唯一驻点),即在此点获得最大,获得最小值.由于,所以在上存在最小值,必为最小点,所求点为.五、(本题满分9分)【解析】证明不等式的一般方法是将表达式移到不等号的一边,令其为,另一边剩下0,再在给定区间内探讨的单调性即可证明原不等式. 令,则.因此,在上单调减；又有,所以故时,所以原不等式得证.六、(本题满分9分)【解析】方法1：,由换元积分,；所以 .由区间一样的积分式的可加性,有方法2：令,则 由牛顿-莱布尼兹公式,有而,故.【相关学问点】牛顿-莱布尼兹公式：设函数在上连续,为在上的随意一个原函数,则有1O12
10、3七、(本题满分9分)【解析】先求得切线方程：对抛物线方程求导数,得,过曲线上已知点的切线方程为,当存在时,.所以点处的切线方程为此切线过点,所以把点代入切线方程得,再代入抛物线方程得,由此,与抛物线相切于斜率为的切线方程为旋转体是由曲线直线与轴所围成的平面图形绕轴旋转一周所形成的,求旋转体体积：方法1：曲线表成是的函数,是两个旋转体的体积之差,套用已有公式得方法2：曲线表成是的函数,并作程度分割,相应于小横条的体积微元,如上图所示,于是,旋转体体积 .【相关学问点】1.由连续曲线、直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所得的旋转体体积为：.2.设在连续,非负,则曲线,直线及轴围成的平面图形绕轴
11、旋转所得旋转体体积为：(可用微元法导出).八、(本题满分9分)【解析】所给方程为常系数二阶线性非齐次方程,特征方程的根为,原方程右端中的.当时,可设非齐次方程的特解,代入方程可得,当时,可设非齐次方程的特解,代入方程可得,所以通解为 ,【相关学问点】1.二阶线性非齐次方程解的构造：设是二阶线性非齐次方程的一个特解.是与之对应的齐次方程的通解,则是非齐次方程的通解.2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解,可用特征方程法求解：即中的、均是常数,方程变为.其特征方程写为,在复数域内解出两个特征根；分三种状况：(1) 两个不相等的实数根,则通解为(2) 两个相等的实数根,则通解为(3) 一对共轭复根,则通解为其中为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程的一个特解,可用待定系数法,有结论如下：假设则二阶常系数线性非齐次方程具有形如的特解,其中是与一样次数的多项式,而按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.第 13 页