考研数二真题及解析.pdf

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1、考研数二真题及解析 1/14 1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.)(1)若2sin21,0,(),0axxexf xxax在(,)上连续,则a.(2)设函数()yy x由参数方程32ln(1),xttytt 所确定,则22d ydx.(3)cos30()xdf t dtdx.(4)23xx e dx.(5)微分方程2(4)0ydxxx dy的通解为.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(

2、1)设220ln(1)()lim2xxaxbxx,则 ()(A)51,2ab (B)0,2ab (C)50,2ab (D)1,2ab (2)设322,1()3 ,1xxf xxx,则()f x在点1x 处的 ()(A)左、右导数都存在 (B)左导数存在,但右导数不存在(C)左导数不存在,但右导数存在 (D)左、右导数都不存在(3)设()yf x是满足微分方程sin0 xyye的解,且0()0fx,则()f x在 ()(A)0 x的某个领域内单调增加 (B)0 x的某个领域内单调减少(C)0 x处取得极小值 (D)0 x处取得极大值(4)曲线2121arctan(1)(2)xxxyexx的渐近线

3、有 ()(A)1 条 (B)2 条 (C)3 条 (D)4 条 考研数二真题及解析 2/14(5)设43422222sincos,(sincos)1xMxdx Nxx dxx,23422(sincos)Pxxx dx,则有 ()(A)NPM (B)MPN(C)NMP (D)PMN 三、(本题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分.)(1)设()yf xy,其中f具有二阶导数,且其一阶导数不等于 1,求22d ydx.(2)计算31420(1)xxdx.(3)计算2limtan()4nnn.(4)计算sin 22sindxxx.(5)如图,设曲线方程为212yx,梯形OABC的面积为D,曲

4、边梯形OABC的面积为1D,点A的坐标为(,0)a,0a,证明：132DD.四、(本题满分 9 分)设当0 x 时,方程211kxx有且仅有一个解,求k的取值范围.五、(本题满分 9 分)设324xyx,(1)求函数的增减区间及极值；(2)求函数图像的凹凸区间及拐点；(3)求其渐近线；(4)作出其图形.x O A B C y 212yx 考研数二真题及解析 3/14 六、(本题满分 9 分)求微分方程2sinya yx的通解,其中常数0a.七、(本题满分 9 分)设()f x在0,1上连续且递减,证明：当01时,100()()f x dxf x dx.八、(本题满分 9 分)求曲线23|1|y

5、x 与x轴围成的封闭图形绕直线3y 旋转所得的旋转体体积.考研数二真题及解析 4/14 1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)(1)【答案】2【解析】2sin21axxex在0 x 时是初等函数,因而连续；要使()f x在(,)上连续,()f x在0 x 处也连续,这样必有0lim()(0)xf xf.由极限的四则混合运算法则和等价无穷小,0 x 时,sin xx；1xex.2200sin21sin21limlim()axaxxxxexexxx 0022limlim22xxxaxaaxx,从而有2a .(2)【答案

6、】(1)(65)ttt【解析】dydy dtdydxdtdtdxdtdx2232352111ttyttttxt,()65(1)(65)111xtxxtytttyxtt .【相关知识点】复合函数求导法则：如果()ug x在点x可导,而()yf x在点()ug x可导,则复合函数()yf g x在点x可导,且其导数为()()dyf ug xdx 或 dydy dudxdu dx.(3)【答案】3sin 3(cos3)xfx【解析】原式(cos3)(cos3)(cos3)(sin3)33sin3(cos3)fxxfxxxfx .【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若()()()()ttF tf

7、 x dx,()t,()t均一阶可导,则()()()()()F ttfttft.(4)【答案】221(1)2xxeC,其中C为任意常数 考研数二真题及解析 5/14【解析】本题利用不定积分的分部积分法求解.显然是2xe先进入积分号,原式22222211()()22xxxx d ex ee d x 221(1)2xxeC 其中C为任意常数.注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验.【相关知识点】分部积分公式：假定()uu x与()vv x均具有连续的导函数,则,uv dxuvu vdx 或者 .u

8、dvuvvdu(5)【答案】4(4)xyCx,C为任意常数【解析】这是可分离变量的方程.分离变量得0(4)dxdyx xy,两项分别对x和对y积分得到 114lnln,4xyCx 化简有 44xyCx,即 4(4)xyCx,C为任意常数.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)(1)【答案】(A)【解析】方法 1：将极限中的分子用泰勒皮亚诺公式展开得 2222ln(1)()()()2xxaxbxxo xaxbx 221(1)()()2a xb xo x,由假设,应该有101()22ab,故由此51,2ab,故应选(A).方法 2：用洛必达法则.220ln(1)()lim

9、xxaxbxx为“00”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以,考研数二真题及解析 6/14 0121lim2xabxxx原式左边 20(1)(2)2lim2(1)xaab xbxxx(若10a,则原式极限为,必有10a)122,2b 51,2ab.故应选(A).(2)【答案】(B)【解析】方法 1：因32(),(1)()3f xxxf x左可导,312(1)23xfx.又211lim()lim1(1)()xxf xxff x 不右连续()f x在1x 的右导数不存在,故选(B).方法 2：2(1)3f,而 211lim()lim1(1)xxf xxf,所以,()f x在1x 点不

10、连续,故不可导,但左,右导数可能存在,这只需要用左,右导数定义进行验证.2113112()(1)3(1)limlim,1122()(1)33(1)limlim2.11xxxxxf xffxxxf xffxx 故()f x在1x 点左导数存在,但右导数不存在,故应选(B).(3)【答案】(C)【解析】由于()f x满足微分方程sin0 xyye,当0 xx时,有 0sin00()()xfxfxe.又由0()0fx,有0sin0()0 xfxe,因而点0 x是()f x的极小值点,应选(C).(4)【答案】(B)【解析】用换元法求极限,令1tx,则当x 时,0t,且有 2201limlimarct

11、an,(1)(12)4txtttyett 0limxy,考研数二真题及解析 7/14 所以y轴和4y是曲线的两条渐近线.而1x 和2x 并非曲线的渐近线,因当1x 和2x 时,y分别趋向于2e和 142e.故应选(B).【相关知识点】渐近线的相关知识：水平渐近线：若有lim()xf xa,则ya为水平渐近线；铅直渐近线：若有lim()xaf x,则xa为铅直渐近线；斜渐近线：若有()lim,lim()xxf xabf xaxx存在且不为,则yaxb为斜渐 近线.(5)【答案】(D)【解析】对于关于原点对称的区间上的积分,应该关注被积函数的奇偶性.由对称区间上奇偶函数积分的性质,被积函数是奇函数

12、,积分区间关于原点对称,则积分为 0,故0M,且 由定积分的性质,如果在区间,a b上,被积函数()0f x,则()0 ()baf x dxab.所以 4202cos0Nxdx,4202cos0PxdxN .因而 PMN,应选(D).三、(本题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分.)(1)【解析】方程两边对x求导,得(1)yfy,两边再求导,得 2(1)yfyfy,由于一阶导数不等于 1,所以10f.以1fyf 代入并解出y,得 3(1)fyf.【相关知识点】复合函数求导法则：如果()ug x在点x可导,而()yf x在点()ug x可导,则复合函数()yf g x在点x可导,且其导数

13、为()()dyf ug xdx 或 dydy dudxdu dx.(2)【解析】用换元积分法.考研数二真题及解析 8/14 观察被积函数的特点,可考虑引入三角函数化简.令2sinxt,则2cosxdxtdt.当0 x 时,0t；当1x 时,2t,故 原式4201cos2tdt13 13()24 2 232.【相关知识点】定积分关于单三角函数的积分公式：2200(1)!,!2sincos(1)!,!nnnnnnIxdxxdxnnn为偶数为奇数，.注：对于双阶乘!n的定义如下:当n为奇数时,!1 3nn ；当n为偶数时,!24nn.(3)【解析】方法 1：用三角函数公式将2tan()4n展开,再化

14、为重要极限1lim(1)xxex的形式,利用等价无穷小因子替换,即0 x 时,tan xx,从而求出极限.221tan2tan2limtan()limlim 12241tan1tannnnnnnnnnnn 221 tan4tan124tan22212tan1 tanlim221 tan422tanlim 121tannnnnnnnnnnneen.方法 2：先取自然对数,求出极限后再用恒等式 lim ln()lim()xf xxef x.因为 221tan2tan2limln tan()lim lnlim ln 12241tan1tannnnnnnnnnnn 222tantan4limlim42

15、221 tan1 tannnnnnnnn,于是 2lntan()442limtan()lim4nnnnneen.(4)【解析】方法 1：利用三角函数的二倍角公式sin 22sincos,并利用换元积分,结合拆项法求积分,得 考研数二真题及解析 9/14 sin22sin2sin(cos1)dxdxxxxx 22sin11 cos 2sin(cos1)2(1)(1)xdxxuduxxuu (22sin1 cosxx)221(1)(1)1112()4(1)(1)811(1)uududuuuuuu 12ln|1|ln|1|8(1)uuCu 12ln 1 cosln 1 cos81 cosxxCx,其

16、中C为任意常数.方法 2：换元cos xu后,有 原式22sin12sin(cos1)2sin(cos1)2(1)(1)dxxdxduxxxxuu.用待定系数法将被积函数分解:221(1)(1)11(1)ABDuuuuu 22()(2)()(1)(1)AB uAD uABDuu,01120,421ABADABDABD.于是,2111212()ln 1ln 1811(1)81duuuCuuuu原式 12ln 1 cosln 1 cos81 cosxxCx.(5)【解析】对梯形OABC的面积为D,可用梯形面积公式()2hab,其中h为梯形的高,a、b分别为上底和下底长度.对于曲边梯形OABC的面积

17、则用积分式求解.考研数二真题及解析 10/14 222231011()(1)22,22111(32)().2326aaaaDaaaDx dxaa 由于 22312aa,所以 221132aa,由此,2222221(1)3(1)3 1323(32)322226aaDaaaaDaa.四、(本题满分 9 分)【解析】方程211kxx的解即为32()1xkxx的零点.要证明方程211kxx有且仅有一个解,只需要证明()x是单调函数,且它的函数图像仅穿过x轴一次就可以了.以下是证明过程.对()x求一阶导数,有2()32(32)xkxxxkx.当0k 时,()0 x,()x单调减少,(0)10,lim()

18、,xx ()x在0 x 有唯一的零点；当0k 时,()x在2(0,)3k单调减少,在2(,)3k单调增加,224()1327kk,而(0)10,lim(),xx 当且仅当最小值2()03k时,()x才在0 x 有唯一零点,这时应该有239k.总之,当0k 或239k 时,原方程有唯一实根.五、(本题满分 9 分)【解析】求函数的增减区间一般先求出函数的不连续点和驻点,根据这些点将函数的定义域分成不同区间,然后根据y在此区间上的正负来判断该区间上函数的增减性以及极值点；根据y的正负判定区间的凹凸性；求渐近线时除判定是否存在水平或垂直渐近线外,还要注意有没有斜渐近线.作函数图形时要能综合(1)、(

19、2)、(3)所给出的函数属性,尤其注意渐近线、拐点、极值点和零点.考研数二真题及解析 11/14 2344824,1,0yxyyxxx.无定义点：0 x,驻点：2x.(,0)0(0,2)2(2,)y+无定义 0+y+无定义+y 上升 无定义 下降 极小 上升 函数在(,0)(2,)单调增加,在(0,2)单调减少,在(,0)(0,)凹,在2x 取极小值23xy；由于 0lim,xy 所以0 x 为垂直渐近线.由于 24lim1,lim()lim0,xxxyyxxx所以yx是斜渐近线.粗略草图如下：【相关知识点】渐近线的相关知识：水平渐近线：若有lim()xf xa,则ya为水平渐近线；铅直渐近线

20、：若有lim()xaf x,则xa为铅直渐近线；斜渐近线：若有()lim,lim()xxf xabf xaxx存在且不为,则yaxb为斜渐 近线.六、(本题满分 9 分)【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程,对应的齐次方程的特征方程220ra有两个根为12,r rai.当1a 时,非齐次方程的特解应设为 sincosYAxBx.3 x y O 2 yx 考研数二真题及解析 12/14 代入方程可以确定 221sin,0,11xABYaa.当1a 时,应设 sincosYxAxxBx,代入方程可以确定 10,cos22xABYx .由此,所求的通解为 当1a 时,122sincossin

21、1xycaxcaxa；当1a 时,12cossincos2xycxcxx.【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设*()y x是二阶线性非齐次方程()()()yP x yQ x yf x的一个特解.()Y x是与之对应的齐次方程()()0yP x yQ x y的通解,则*()()yY xy x是非齐次方程的通解.2.二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解()Y x,可用特征方程法求解：即()()0yP x yQ x y中的()P x、()Q x均是常数,方程变为0ypyqy.其特征方程写为20rprq,在复数域内解出两个特征根12,r r；分三种情况

22、：(1)两个不相等的实数根12,r r,则通解为1212;rxr xyC eC e(2)两个相等的实数根12rr,则通解为112;rxyCC x e(3)一对共轭复根1,2ri,则通解为12cossin.xyeCxCx其中12,C C为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程()()()yP x yQ x yf x的一个特解*()y x,可用待定系数法,有结论如下：如果()(),xmf xP x e则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*()()kxmy xx Qx e 的特解,其中()mQx是与()mP x相同次数的多项式,而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取 0、1 或

23、 2.如果()()cos()sinxlnf xeP xxP xx,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()yp x yq x yf x的特解可设为*(1)(2)()cos()sinkxmmyx eRxxRxx,其中(1)()mRx与(2)()mRx是m次多项式,max,ml n,而k按i(或i)不是特征考研数二真题及解析 13/14 方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.七、(本题满分 9 分)【解析】方法一：用积分比较定理.首先需要统一积分区间：换元,令xt,则 100()()f x dxft dt,由此 11000()()()()f x dxf x dxfxf xdx.因为()f

24、x递减而xx,所以()()fxf x,上式的右端大于零,问题得证.方法二：用积分中值定理.为分清两中值的大小,需要分别在(0,),(,1)两区间内用积分中值定理：1100()()()f x dxf x dxf x dx,由此,11000()()(1)()()f x dxf x dxf x dxf x dx 12(1)()(1)()ff 12(1)()()ff,其中,1201；又因()f x递减,12()()ff.上式的右端大于零,问题得证.方法三：作为函数不等式来证明.令 100()()()f x dxf x dx,0,1.则 10()()()ff x dx.由积分中值定理,有()()()ff

25、,其中(0,1)为常数.由()f递减,为唯一驻点,且()在由正变负,是()的极大值点也是最大值点；由此,最小点必为端点0或1.从而有()(0)(1)0,01.命题得证.【相关知识点】积分上限的函数的求导公式：若()()()()ttF tf x dx,()t,()t均一阶可导,则()()()()()F ttfttft.八、(本题满分 9 分)考研数二真题及解析 14/14【解析】如右图所示,曲线左右对称,与x轴的交点是(2,0),(2,0).只计算右半部分即可.作垂直分割,相应于,x xdx的小竖条的体积微元：222223(3)3(1)dVydxxdx 24(82),02xx dxx,于是 22404482(82)15Vxxdx.x y O 2 x xdx 2 3y 231yx