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1、数列通项公式的求法数列通项公式的求法1 1前前 n n 项和法项和法（知（知Sn求求an）an(n 1)S1Sn Sn1(n 2)2例 1、已知数列an的前 n 项和Sn12n n，求数列|an|的前 n 项和Tn2变式：已知数列an的前 n 项和Sn n 12n，求数列|an|的前 n 项和Tn22(n 6)(n 6)12n n12n n答案：Tn；变式：Tn22(n 7)(n 7)n 12n 72n 12n 72练习：2(n 1)1、若数列an的前 n 项和Sn 2，求该数列的通项公式。答案：ann1(n 2)23n2、若数列an的前 n 项和Snan3，求该数列的通项公式。答案：an 2
2、3223、设数列an的前 n 项和为Sn，数列Sn的前 n 项和为Tn，满足Tn 2Sn n，nn1求数列an的通项公式。答案：an 32 22.2.形如形如an1 an f(n)型（累加法）型（累加法）（1 1）若）若 f(n)f(n)为常数为常数,即：即：an1 an d,此时数列为等差数列，则此时数列为等差数列，则an=a1(n 1)d.（2 2）若）若 f(n)f(n)为为 n n 的函数时，用累加法的函数时，用累加法.例 1.（2003 天津文）已知数列 an 满足a11,an 3n1证明：由已知得：an an1 3,故n13n1 an1(n 2),证明an2an(an an1)(a
3、n1 an2)(a2 a1)a13n13n131.an =33.22*例 2.已知数列an的首项为 1，且an1 an 2n(n N)写出数列an的通项公式.n1n2答案：n2 n 1例 3.已知数列an满足a1 3，an an1答案：an 41(n 2)，求此数列的通项公式.n(n 1)1n评注：已知评注：已知a1 a,an1 an f(n)，其中，其中f(n)f(n)可以是关于可以是关于 n n 的一次函数、二次函数、指的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项数函数、分式函数，求通项an.若若 f(n)f(n)是关于是关于 n n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和的一次函数，
4、累加后可转化为等差数列求和;若若 f(n)f(n)是关于是关于 n n 的二次函数，累加后可分组求和的二次函数，累加后可分组求和;若若 f(n)f(n)是关于是关于 n n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若若 f(n)f(n)是关于是关于 n n 的分式函数，累加后可裂项求和。的分式函数，累加后可裂项求和。an1 f(n)型（累乘法）型（累乘法）anan1（1 1）当当 f(n)f(n)为常数，为常数，即：即：n1 q（其中（其中 q q 是不为是不为 0 0 的常数）的常数），此数列为等比且此数列为等比且an=a1q.an3.3.形如形如（2
5、2）当）当 f(n)f(n)为为 n n 的函数时的函数时,用累乘法用累乘法.例 1、在数列an中a11,an练习：1、在数列an中a11,an2、求数列a1n2an1(n 2)，求数列的通项公式。答案：ann1n 1n12an1(n 2)，求an与Sn。答案：ann(n 1)n11,an2n3an1(n 2)的通项公式。2n1an12n1a15 a27 a39an12n1解答：由已知当n 2,an2n3,a21,a33,a45an2n3，N-1 个式子累乘，得到an34n 12当 n=1，也满足，所以an34n 12(n N)pan1型（取倒数法）型（取倒数法）ran1 san1例 1.已知
6、数列an中，a1 2，an(n 2)，求通项公式an2an111111 2 2解：取倒数：anan1anan1113(n1)2 2nana124.4.形如形如anan2.4n3练习：1、若数列an中，a11,an1an1,求通项公式an.答案：an3an13n 212、若数列an中，a11，an1 an 2anan1，求通项公式an.答案：an2n15 5形如形如an1 can d,(c 0,其中其中a1 a)型（构造新的等比数列）型（构造新的等比数列）（1 1）若）若 c=1c=1 时，数列时，数列 an 为等差数列为等差数列;（2 2）若）若 d=0d=0 时，数列时，数列 an 为等比数
7、列为等比数列;（3 3）若若c 1且d 0时，时，数列数列 an 为线性递推数列，为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求列来求.方法如下：设an1 Ac(an A),利用待定系数法求出利用待定系数法求出 A A11an,求通项an.22例 1已知数列an中，a1 2,an1分析：待定系数法构造an1 Ac(an A)构造新的等比数列。解：由an1则an11111an,设an1 A(an A),解出 A=-1,22211(an1)所以数列an1构成以a111为首项，以为公比的等比数列2211所以an1()n1,即an()n11.22n1练习：1、若
8、数列an中，a1 2,an1 2an1,求通项公式an。答案：an 2122n12、若数列an中，a11,an1an1,求通项公式an。答案：an 32()336.6.形如形如an1 pan f(n)型（构造新的等比数列）型（构造新的等比数列）(1)(1)若若f(n)kn b一次函数一次函数(k,b(k,b 是常数，且是常数，且k 0)，则后面待定系数法也用一次函数。则后面待定系数法也用一次函数。例题.在数列 an中，a1解：原递推式可化为2(an3，2anan16n3,求通项an.2knb)an1k(n1)b比较系数可得：k=-6,b=9,上式即为2bn bn119,公比为.229 111b
9、n()n1即：an 6n 9 9()n，故an 9()n 6n 9.2 222练习：练习：1、已知数列an中，a1 3，an1 3an 4n 2，求通项公式an所以bn是一个等比数列，首项b1 a1 6n 9 n1答案：答案：an 53 2n(2)(2)若若f(n)q(其中其中 q q 是常数，且是常数，且 n n0,1)0,1)n若若 p=1p=1 时，即：时，即：an1 an q，累加即可，累加即可nn若若p 1时，即：时，即：an1 p an q，后面的待定系数法也用指数形式。，后面的待定系数法也用指数形式。pan1n,n1qqqqanp1令bnn,则可化为bn1bn.然后转化为类型 5
10、 来解，qqq2例 1.在数列 an中，a1，且an 2an13n1(nN)求通项公式an5两边同除以qn1.即：an1解：由an 3n1 2an1(nN)得设bnan2an11.33n133n21121.即：bb (b),n1nn1335353n1212 12所以bn是首项为b1(a0)，公比为的等比数列.553 55312232则bn()n1=(1)n1()n,55353an32131 bn(1)n1()n,故an(1)n12n3n即：n535553，则 bn an评注：本题的关键是两边同除以 3n，进而转化为类型 5，构造出新的等比数列，从而将求一般数列的通项问题转化为求等比数列的通项问
11、题.练习：11nn 1，2an an1()，求通项公式an。答案：ann1222nn1an1 3an 32，an 7332na11，2、已知数列an中，求通项公式an。答案：1、已知数列an中，a17.7.形如形如an1 pan qan1(其中其中 p,qp,q 为常数为常数)型型（1 1）当）当 p+q=1p+q=1 时时用转化法用转化法例 1.数列 an中，若a18,a2 2,且满足an2 4an1 3an 0,求an.解：把an2 4an1 3an 0变形为an2 an1 3(an1 an).则数列an1 an是以a2 a1 6为首项，3 为公比的等比数列，则an1 an 63n1利用类
12、型 6 的方法可得an11 3n.（2 2）当）当p 4q 0时时用待定系数法用待定系数法.例 2.已知数列 an满足an2 5an1 6an 0，且a11,a25,且满足,求an.解：令an2 xan1 y(an1 xan),即an2(x y)an1 xyan 0,与已知2x y 5x 2x 3an2 5an1 6an 0比较，则有,故或y 3y 2xy 6x 2由来运算，即有an22an1 3(an1 2an),y 3则数列an1 2an是以a2 2a1 3为首项，3 为公比的等比数列，故an1 2an 33n1 3n,即an1 2an 3nx 3来运算，即有an23an1 2(an13a
13、n),y 2则数列an13an是以a23a1 2为首项，2 为公比的等比数列，故由an13an 22n1 2n,即an1 3an 2nnn由可得an 3 2.评注：形如an2 aan1 ban的递推数列,我们通常采用两次类型(5)的方法来求解,但这种方 法 比 较 复 杂,我 们 采 用 特 征 根 的 方 法:设 方 程(x a)x b的 二 根 为,设an pn qn,再利用a1,a2的值求得p,q的值即可.练习：1、若数列an中，a1 2,a2 3，an2 3an1 2an，求通项公式ann1答案：an 212、若数列an中，a1 5,a2 2，an 2an13an2(n 2)，求通项公式an书本 P69 第 6 题，答案：an173n1(1)n1134