《2022年高三复习数列通项公式的求法.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高三复习数列通项公式的求法.docx（8页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本数列通项公式的求法1前 n 项和法 （知 S 求 a ）a n S 1 n 1 S n S n 1 n 2 例 1、已知数列 a n 的前 n 项和 Sn 12 n n 2,求数列 | a n | 的前 n 项和 T n变式：已知数列 a n 的前 n 项和 Sn n 212 n,求数列 | a n | 的前 n 项和 T n2 212 n n n 6 12 n n n 6 答案：Tnn 212 n 72 n 7 ；变式：Tnn 212 n 72 n 7 练习：1、如数列 a n 的前 n 项和 S n 2 ,求该
2、数列的通项公式；答案：na n 22 n 1 nn 12 2、如数列 a n 的前 n 项和 S n 3 a n 3,求该数列的通项公式；答案：a n 2 3 n23、设数列 a n 的前 n 项和为 S ,数列 S n 的前 n 项和为 T ,满意 T n 2 S n n 2,求数列 a n 的通项公式；答案：a n 3 2 n 122. 形如 a n 1 a n f n 型（累加法）（1）如 fn 为常数 , 即：a n 1 a n d , 此时数列为等差数列,就 a = a 1 n 1 d . （2）如 fn 为 n 的函数时,用累加法 . n例 1. （2003 天津文） 已知数列an
3、满意 a 1 ,1 a n 3 n 1a n 1 n 2 , 证明 a n 3 12n 1证明：由已知得：a n a n 1 3 , 故a n a n a n 1 a n 1 a n 2 a 2 a 1 a 1n n = 3 n 13 n 23 1 3 1 . a n 3 1. 2 2*例 2. 已知数列 a n 的首项为 1,且 a n 1 a n 2 n n N 写出数列 a n 的通项公式 . 答案：n 2n 1例 3. 已知数列 a n 满意 a 1 3,a n a n 1 1 n 2 ,求此数列的通项公式 . n n 1 答案：an 4 1n评注：已知 a1 a , a n 1 a
4、n f n ,其中 fn 可以是关于 n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通项 a . 如 fn 是关于 n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和 ;如 fn 是关于 n 的二次函数,累加后可分组求和 ;如 fn 是关于 n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和 ;如 fn 是关于 n 的分式函数,累加后可裂项求和；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本3. 形如ann1fn 型（累乘法）a（1）当 fn 为常数,即：a n 1q（其中 q 是不为 0 的常数）,此数列为等比
5、且a =a1qn1. an（2）当 fn 为 n 的函数时 , 用累乘法 . 名师归纳总结 例 1、在数列an中a 1,1annn1an1n2,求数列的通项公式； 答案：a nn21第 2 页,共 4 页练习：1、在数列an中a 1,1ann1an1n2 ,求a 与S n；答案：a nn 21n1n2、求数列a 1,1a n2 n2 n3 1an1n2的通项公式；解答：由已知当n2,an12n3,a 21,a33,a 45an12 n3,2n15a79a n2n11ana 1a 32N-1 个式子累乘,得到an4 n31当 n=1,也满意,所以an4 n31nN224. 形如anpa n1s型
6、（取倒数法）ran1例 1. 已知数列an中,a 12,anan11n2 ,求通项公式an2 an1解：取倒数：1a1121a112anannn11 n122 n3a na 12an23.4 n练习： 1、如数列an中,a 11,an13an1, 求通项公式a . 答案：a n3n12an2、如数列an中,a 11,an1an2anan1,求通项公式a . 答案：an12 n5形如an1cand,c0, 其中a1a 型（构造新的等比数列）（1）如 c=1 时,数列 a 为等差数列 ; （2）如 d=0 时,数列 a 为等比数列 ; （3）如c1且d0时,数列 a 为线性递推数列,其通项可通过待
7、定系数法构造帮助数列来求 . 方法如下：设an1AcanA, 利用待定系数法求出A例 1已知数列an中,a12 ,an11an1,求通项a . 22分析：待定系数法构造an1Ac a nA构造新的等比数列；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本解：由an11an1,设an1An1anA , 解出 A=-1, 1222就a n111a nan1构成以a 111为首项,以1 为公比的等比数列 21所以数列2所以an11n1, 即an111. 221 , 求通项公式a ；答案：an2n1练习： 1、如数列an中,a 12,an12
8、an名师归纳总结 2、如数列an中,1a1,an12an1, 求通项公式a ；答案：an322n1第 3 页,共 4 页336. 形如an1panfn型（构造新的等比数列）1 如fn knb一次函数 k,b是常数,且k0 ,就后面待定系数法也用一次函数；例题 . 在数列 a n中,a 13,2kn2 a na n1k6 n3 , 求通项a . 解：原递推式可化为2 anba n1 n1 b比较系数可得：k=-6,b=9,上式即为2bnb n1所以bn是一个等比数列,首项b 1a16 n99, 公比为1 . 22bn91n1即：an6 n991n,故an91n6n9. 2222练习： 1、已知数
9、列an中,a 13,an13a n4n2,求通项公式an答案：an53n12 n2 如fnqn其中 q 是常数,且n0,1 如 p=1 时,即：an1anqn,累加即可如p1时,即：an1panqn,后面的待定系数法也用指数形式；两边同除以qn1 . 即：an1pan1, qn1qqnq令b nan, 就可化为bn1pb n1. 然后转化为类型5 来解,qnqq例 1. 在数列 na中,a12,且an2a n1n 31nN求通项公式an5解：由an3n12an1nN得a n2 3an11 3. n 33n1设b nan,就 bn2bn11. 即：bn12b n11, 3n33535所以bn1是
10、首项为b 1121a02,公比为2 的等比数列 . 355355就b n122n1=1 n132n, 55353即：anb n1 n132n1, 故an1 n132n13n3n53555- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本评注：此题的关键是两边同除以3n ,进而转化为类型5,构造出新的等比数列,从而将求一般数列的通项问题转化为求等比数列的通项问题 . 练习：名师归纳总结 1、已知数列an中,a 111 2,2 ananan11n,求通项公式a ；答案：ann1nn1n第 4 页,共 4 页2212n2、已知数列an中,a 1
11、,an133,求通项公式a ；答案：an73327. 形如an1panqan1 其中 p,q 为常数 型（1）当 p+q=1 时用转化法例 1. 数列 an中,如a 1,8a22, 且满意an24an13an0, 求a . 解：把an24an13 an0变形为an2an13an1an. 就数列an1an是以a2a 16为首项, 3 为公比的等比数列,就an1an63n1利用类型 6 的方法可得an113n. （2）当p24q0时用待定系数法 . 例 2. 已知数列 na满意an25 an16 an0,且a 1,1a 25, 且满意 , 求a . 解：令an2xan1yan1xan, 即an2x
12、yan1xyan0, 与已知an25an16an0比较,就有xy5, 故x2或x3xy6y3y2由x2来运算,即有an22an13 an12 an, y3就数列an12 an是以a22 a 13为首项, 3 为公比的等比数列,故an12an33n13n, 即an12 an3n由x3来运算,即有an23an12an13 an, y2就数列an13 an是以a 23 12为首项, 2 为公比的等比数列,故an13 an22n12n, 即an13 an2n由可得an3n2n. 评注：形如an2aan1ban的递推数列 , 我们通常采纳两次类型5 的方法来求解 , 但这种方 法 比 较 复 杂 , 我 们 采 用 特 征 根 的 方 法 : 设 方 程xaxb的 二 根 为, 设anpnqn, 再利用a 1, a 2的值求得 p,q 的值即可 . 练习： 1、如数列an中,a 12,a23,an23an12an,求通项公式an答案：an2n112、如数列an中,1a5,a 22,an2an13 an2n2,求通项公式an书本 P69 第 6 题,答案：an173n11n1134- - - - - - -