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1、立身以立学为先，立学以读书为本数列通项公式的求法1前 n 项和法（知nS求na）11nnnSSSa)2()1(nn例 1、已知数列na的前 n 项和212nnSn，求数列|na的前 n 项和nT变式：已知数列na的前 n 项和nnSn122，求数列|na的前 n 项和nT答案：72121222nnnnTn)7()6(nn；变式：72121222nnnnTn)7()6(nn练习：1、若数列na的前 n 项和nnS2，求该数列的通项公式。答案：122nna)2()1(nn2、若数列na的前 n 项和323nnaS，求该数列的通项公式。答案：nna323、设数列na的前 n 项和为nS，数列nS的前
2、 n 项和为nT，满足22nSTnn，求数列na的通项公式。答案：2231nna2. 形如)(1nfaann型（累加法）（1）若 f(n) 为常数 , 即：daann 1, 此时数列为等差数列，则na=dna) 1(1. （2）若 f(n) 为 n 的函数时，用累加法. 例 1. （2003 天津文） 已知数列an 满足)2(3, 1111naaannn, 证明213nna证明：由已知得：故,311nnnaa112211)()()(aaaaaaaannnnn =.213133321nnn213nna. 例 2. 已知数列na的首项为1，且*12 ()nnaan nN写出数列na的通项公式 .
3、答案：12nn例 3. 已知数列na满足31a，)2()1(11nnnaann，求此数列的通项公式. 答案：nan14评注：已知aa1,)(1nfaann，其中 f(n) 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项na. 若 f(n) 是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;若 f(n) 是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和;若 f(n) 是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若 f(n) 是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页立
4、身以立学为先，立学以读书为本3. 形如)(1nfaann型（累乘法）（1） 当 f(n) 为常数，即：qaann 1（其中 q 是不为 0 的常数）， 此数列为等比且na=11nqa. （2）当 f(n) 为 n 的函数时 ,用累乘法 . 例 1、 在数列na中111, 1nnannaa)2(n， 求数列的通项公式。 答案：12nan练习：1、在数列na中1111, 1nnannaa)2(n，求nnSa 与。答案：) 1(2nnan2、求数列)2(1232, 111nannaann的通项公式。解答：由已知当123295,73,51,1232,213423121nnaaaaaaaannaannn
5、nn，N-1 个式子累乘，得到1432nan当 n=1，也满足，所以1432nan)(Nn4. 形如srapaannn11型（取倒数法）例 1. 已知数列na中，21a，)2(1211naaannn，求通项公式na解：取倒数：2111nnaa2111nnaa.3422322) 1(111nannaann练习： 1、若数列na中，11a,131nnnaaa, 求通项公式na. 答案：231nan2、若数列na中，11a，112nnnnaaaa，求通项公式na. 答案：121nan5形如0(,1cdcaann, 其中aa1) 型（构造新的等比数列）（1）若 c=1 时，数列 na 为等差数列 ;
6、（2）若 d=0 时，数列 na 为等比数列 ; （3）若01且dc时，数列 na为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求 . 方法如下：设)(1AacAann, 利用待定系数法求出A例 1已知数列na中，,2121,211nnaaa求通项na. 分析：待定系数法构造)(1AacAann构造新的等比数列。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页立身以立学为先，立学以读书为本解：由,21211nnaa设)(211AaAann,解出 A=-1, 则) 1(2111nnaa所以数列 1na构成以111a为首项，以2
7、1为公比的等比数列所以1)21(1nna, 即1)21(1nna. 练习： 1、若数列na中，21a,121nnaa, 求通项公式na。答案：121nna2、若数列na中，11a,1321nnaa, 求通项公式na。答案：1)32(23nna6. 形如)(1nfpaann型（构造新的等比数列）(1) 若bknnf)(一次函数 (k,b是常数，且0k) ，则后面待定系数法也用一次函数。例题 . 在数列 na中，231a，3621naann, 求通项na. 解：原递推式可化为bnkabknann)1()(21比较系数可得：k=-6,b=9,上式即为12nnbb所以nb是一个等比数列，首项29961
8、1nab, 公比为21.1)21(29nnb即：nnna)21(996，故96)21(9nann. 练习： 1、已知数列na中，31a，2431naann，求通项公式na答案：nann2351(2) 若nqnf)(其中 q 是常数，且n0,1) 若 p=1 时，即：nnnqaa1，累加即可若1p时，即：nnnqapa1，后面的待定系数法也用指数形式。两边同除以1nq . 即：qqaqpqannnn111, 令nnnqab, 则可化为qbqpbnn11. 然后转化为类型5 来解，例 1. 在数列 na中，521a，且)(3211Nnaannn求通项公式na解：由)(2311Nnaannn得313
9、32311nnnnaa. 设nnnab3，则 b31321nnb. 即：)51(32511nnbb, 所以51nb是首项为52)51(325101ab，公比为32的等比数列 . 则1)32(5251nnb=nn)32(53)1(1, 即：51)32(53)1(31nnnnnba, 故nnnna351253)1(1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页立身以立学为先，立学以读书为本评注：本题的关键是两边同除以3n，进而转化为类型5，构造出新的等比数列，从而将求一般数列的通项问题转化为求等比数列的通项问题. 练习：1、已知数
10、列na中，211a，nnnaa)21(21，求通项公式na。答案：121nnna2、 已知数列na中，11a，nnnaa2331， 求通项公式na。 答案：nnna233717. 形如11nnnqapaa( 其中 p,q 为常数) 型（1）当 p+q=1 时用转化法例 1. 数列 na中，若2, 821aa, 且满足03412nnnaaa, 求na. 解：把03412nnnaaa变形为)(3112nnnnaaaa. 则数列nnaa1是以612aa为首项， 3 为公比的等比数列，则1136nnnaa利用类型6 的方法可得nna311. （2）当042qp时用待定系数法 . 例 2. 已知数列 n
11、a满足06512nnnaaa，且5, 121aa, 且满足 , 求na. 解：令)(112nnnnxaayxaa, 即0)(12nnnxyaayxa, 与已知06512nnnaaa比较，则有65xyyx, 故32yx或23yx由32yx来运算，即有)2(32112nnnnaaaa, 则数列nnaa21是以3212aa为首项， 3 为公比的等比数列，故nnnnaa333211, 即nnnaa321由23yx来运算，即有)3(23112nnnnaaaa, 则数列nnaa31是以2312aa为首项， 2 为公比的等比数列，故nnnnaa222311, 即nnnaa231由可得nnna23. 评注：形
12、如nnnbaaaa12的递推数列 , 我们通常采用两次类型(5) 的方法来求解,但这种方 法 比 较 复 杂 , 我 们 采 用 特 征 根 的 方 法 : 设 方 程bxax)(的 二 根 为, 设nnnqpa, 再利用21,aa的值求得p,q的值即可 . 练习： 1、若数列na中，21a,32a，nnnaaa2312，求通项公式na答案：121nna2、若数列na中，51a,22a，2132nnnaaa)2(n，求通项公式na书本 P69 第 6 题，答案：13) 1(374111nnna精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页