《数列求通项的方法总结-高三复习优质材料.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列求通项的方法总结-高三复习优质材料.docx（21页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品名师归纳总结数列求通项明师训练项目组望习才求通项方法总结1.观看猜想,用数学归纳法证明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2由.S 求a .S1方法 : an1。类型： 1Snf n得an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnnSnSn 1 n22Snf an 得递推关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3.由递推关系求通项 .(1) 公式法：运用等差、等比数列定义与通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 累加（逐差）法：递推关系为an 1anf n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 累乘（逐商）法：递推
2、关系为an 1anf n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(4) 构造新数列：递推关系为:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型1： an 1panq 待定系数 an 1xpanx的形式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型2：apaf（n）两边同除以qn 1得 an 1p anc类型1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1nqn 1q qnq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型3：an 2pan 1qan待定系数 an 2xan 1y an 1xan 的形式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型4：an
3、1pan ra nq p, q, r , h为常数 ,且r h0分式型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结习题：一、观看法猜想通项公式依据数列的前几项 ,写出下面数列的一个通项公式:13,5,9,17,33310,11,10,11,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结47,0,7,0,754,5 , 2,714961, 2,3, 4 16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结24251017246810815241 15 132961 7,81,9,3 1535 63 995792 48 163264n 1个94.81,891,89918,9991, ,899
4、91;k 1个9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结提示 : akk899919109可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21,11,111,1111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结提示： ak1111k个1199999k个11 10k19可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、依据递推关系求通项1.逐差法留意右边n 项和必需可以求和,否就此法行不通可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1.已知数列 a满意a1 , aa1 n2,求数列 a 的通项公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n12nn 1n21n可编辑资
5、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解: 递推关系式可表示为 aa1记g n111 11,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1n n121 n121nn22 nn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当n2时, ann 1a1g k11 n 1 1111 111152n1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k 122 k 1 kk2222nn142nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1当n1时, a15211,数列 a5n的通项公式为 an2n1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10. an中, a121,an
6、4211n2S2n2, 求Sn.42n n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2Sn1备注：取倒数之后变成逐差法。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.在数列 a 中,已知an 12 an, an2, ,求该数列的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn 1a2n 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结备注：取倒数之后变成逐差法。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：两边取倒数递推式化为:1an 111na2n 1, ,即11an 1an12n 1, 所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -
7、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结11a 2a11 , 1122a3a21113 ,2a4a 31 , ,1n24a11nan 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将以上 n1 个式子相加,得：11ana1111122231 , 即2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结111123a n22212 12 n n21111 , 故 a n12 n112 n.2 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. an满意an 12 n 1anan2n 1,
8、a12, 求an.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结备注：倒数后变逐差法。2.逐商法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. an中, a11, an3 n 1 a1n2, 数列bn 的前n项和Snlog 3annn9N*,1求an; 2求bn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n备注：逐商法的经典案例。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. an是首项为1的正项数列, n1) a 2na 2an 1an0, 求an.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn1备注：经典题,通过简洁变换就变成逐商法。可编辑资料 - - - 欢迎
9、下载精品名师归纳总结n3.已知数列 an 满意a11, nan 12a1a2a3an , 求数列an的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解: nan 12a1a2a3an 2a1a2a3an 1 2ann1 an2an,即an 1n1 a , n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当n2时, ana2341123nna1n1n,当n1时也满意该式 ,ann.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注: 此题仍可这样做:由an 1n1 a 得an 1an ,ana11,an.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn备注：经过简洁变换之后是逐
10、商法。an14an1nn114可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结14.数列 an中, a12, an 1nan14nan1 4,求an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结备注：取完对数之后变成了逐商法,也可以看作是等比数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结17（. 2007陕西）各项不全为零的数列a的前k项和为S ,且S1 a a, kN *, a1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2(1) 求数列ak 的通项公式 .nkkkk 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 对任意给定的正整数nn2) , 数列 bn满
11、意 bk 1kn , k1,2,n1,b11,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求数列bn 的前n项和.bkak 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结备注：一问奇偶项分析的典型案例。二问理科题,逐商法的应用。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3.类型一：an 1panq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 1panq ,用待定系数法变成an 1xpanx的形式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精
12、品名师归纳总结2. an中, a13, 对于n1nN * 有an4 an 16, 求an.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结备注： 类型 1 经典题。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11. an 的前n项和Sn , 数列 bn, 它们满意 b1a1, 对于nN * 有anSnn,bn 1an 1an ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求证 bn 是等比数列 , 并求其通项 .备注：经典题,通过an 和 sn 的关系变换之后成为类型1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 数列 an 满意an0, a11且an261, 求数列 a的通
13、项公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a3 ,2nn 1n解:an2an 163 ,2 log 3 an 1log 3 an6, 令bnlog3an, 就bn 112n2n2 bn3,继而可得 bn 121 b2 n2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bn2b121 n 12 2,从而bn2 2,an2 2 n23.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结备注：取完对数之后变成了类型一。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13.a11, an 11 4an2an , nN.求an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结备注：取
14、完对数之后变成了类型一。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4.类型二：an 1pang n p为常数,且p0, p1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1an 1ang nang n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将等式两边同除以 p,就 n 1nn 1, 令bnn ,就bn 1bnn 1 , 这样此种数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ppppp求通项的问题可转化为逐差法的问题. 当然这种数列的通项公式也常可用待定系数法解决, 关键要依据 gn挑选适当的形式 .可编辑资料 - - -
15、 欢迎下载精品名师归纳总结8. an的首项 a11, 且an 14an2 n, 求a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n备注：类型 2 典型题。两种解法。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结15. an中, a12, an2an 12n 1n2, nN*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 求an ;(2) 令bnan ,T112nnb bb b1对任意nb bN * 都有Tnlog 1m,求m的范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1223nn 12可编辑资料 - - - 欢迎下载
16、精品名师归纳总结备注：类型 2 常见题型。两种解法。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结16.20XX 年全国卷 在数列a中, S4 a12n 12 , nN * . 求首项a 与通项 a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnn1n333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由题意得 a1S14 a1221332,解得 a12 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 an 1Sn 1Sn4an 134 a1 2 n 1n332 n ,即an
17、 12n 14an,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn设 an 1x 2n 14 anx 2 n,利用待定系数法可得x1 ,又 a1240 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以数列an2 n是公比为 4 的等比数列 .所以 a2 n44 n 1,即 a4 n2 n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n9.设数列 a 的前项为S ,已知 ba2 nb1S 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnn(I) 证明：当 b2 时, ann2 n 1是等比数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载
18、精品名师归纳总结(II) 求 an 的通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结备注：二问三种方法,一是除以2n ,而是除以bn ,或者待定系数法用逐差法来做。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：由题意,在 ba2nb1S 中,令 n1 ,得 ba2b1a , a2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn由 ba2n b1S , 得 ban 1n12 b1 Sn2, nN * ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1n1两式相减得：baa2n 1b1a , 即 aba2nn2,
19、nN*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1nn 1nnn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）当 b2 时,由知,an2an 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是 an2n 12an1 2n 12 a n1 2n 2 n2, nN*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn 1n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 a11 21 110 ,所以 ann2n 1是首项为 1,公比为 2 的等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 注：假如是求通项,也可化为等差数列来解决,解法如下：可编辑资料 -
20、- - 欢迎下载精品名师归纳总结当 b2 时,由知, a2a2n 1 , 两边同时除以2n 得 anan 11 n2, nN * ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn 12n2 n 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 anan 11 n2, nN * , an 是等差数列,公差为1,首项为a11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2n2n 122n22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 an11, a n12n1 易看出 an2n 1是等比数列 , 首项为 1, 公比为 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1n1n
21、1nn222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）当 b2 时,由（）知,ann2n 12n 1 ,即 a n1 2n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n当 b2 时,由：a ba2n 1 , 两边同时除以2n 得 anb an 11 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn 12n22n 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可设 anb an 1,绽开得 anb an 1b2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2n22n 12n2 2 n 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结与 anb an 11 比
22、较,得 b21 , 1, an1b an 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn12n2 2n 1222b22b222b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 an2n1 是等比数列,公比为b2b ,首项为 11b1n2 b2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 an1b1 b n 1 ,即 anb1b n 11, a2 nb1b n 1 12 b1b2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1n2nb2b222b22b2b22b2b2可
23、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n注：本问也可由待定系数法得到an 112n 122bb an12n 进而求出通项 .2b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 数列 an的前n项和为Sn ,且满意 a11,an 12 Snnn1,求数列 an的通项公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解:an 12Snn 2n1, 就an2Sn 1 n1 2 n11,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两式相减得an 1an2an2n2,即an 13an2
24、 n2,两边同除以3 n 1 得 an 13n 1an2n2,n3n3n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令ban ,就bb2n2 ,运用叠加法可求得 b12n1 ,a3n1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n3nn 1n3n 1n22 3nn22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注 : 在用叠加法求bn的过程中,需求数列 2n13n2的前n项和,明显可用 错位相减法 求之.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9. an中, a12, an 14an3n1,求an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结备注：类型二典型题
25、,也可以使用待定系数法。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结17. 已知数列 an 满意an 12an3n 24n5, a11,求数列 an的通项公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设an 1x n12yn1z2 anxn2ynz ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即an得:12anxn 2 y2xn zxy, 与 an 12an3n 24n5, a11比较系数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 3y 2 xx4, 解得 y310, ,就x3y10 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结z xy5z18z18可编辑
26、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故an 13n1210 n1182an3n210n18,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 13n an123n210n10n1182 ,118可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 ann列,3n210n18 为以a3121011813132为首项, 以 2 为公比的等比数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此 an3n 210n18322 n 1 ,即 a2n 43n210n18 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5.类型三：an 1pan
27、qan 1r n p,q为非零的常数 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9. 数列 an满意a14 ,a2313, 且an1941aann 1 n332, 求数列 an的通项公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法一: 解方程x24 x1 得x1, x1 注: 假如是参与高考, 这一过程省略掉 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结331原递推关系式可化为 aa231 aa,也可化为 a1 aa1 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1nnn 13n 1n3nn 13可编辑资料 - -
28、 - 欢迎下载精品名师归纳总结由得an 1an1 1n 1931 n 1 ;3由得an 11 a1.3 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 并整理得: an31.22 3n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法二:由上知特点方程的两个解为1,1,故可设an3ab1 n ,a 34 , a12313 ,9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结394ab1 , 133ab12,解得a3 ,b1312223.,ann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结32建议,假如高考中遇到这类解 答题, 请采纳解法一 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳
29、总结16.设数列an 满意 a11, a25 , an2352aan 1n33, n1,2,3, 求数列na n的前n项和Sn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11. 数列 an 满意a13, a26,且an 25an 16an5n,求数列 an 的通项公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解: 解方程 x25x6得x12, x23注: 假如是参与高考, 这一过程省略掉 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结原递推关系式可化为an 22an 13a n 12 an 5n,设bnan 12an ,就bn
30、 13bn5n,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即bn 1bn5n ,bnn 1 5kb133305 3n 2n1,b5 3n2n1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13n 13n3n 1nk 1k 14 3nn4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 12an5 3n42n1,从而 an 1an2n 12 n5 1n14 2 3 n22n2 n1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ana1n 1 5 1 3 k2k1 35 3 kn 1 2k1 53n2 n37 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 n2k 1 4 222k 128 k 1 2k 12