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1、第6章 第3节 随机分析 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望一、收敛性概念一、收敛性概念1概率概率1收敛（或几乎处处收敛）收敛（或几乎处处收敛）如果如果 随机变量序列随机变量序列 以概率以概率1收敛于收敛于X，或称，或称 几乎处处收敛于几乎处处收敛于X，记作，记作 则称则称首页首页如果如果2依概率收敛依概率收敛 对于任意给定的正数对于任意给定的正数 ，有，有 随机变量序列随机变量序列 依概率收敛于依概率收敛于X，记作，记作 则称则称首页首页如果如果3均
2、方收敛均方收敛 对于所有的对于所有的 有有 随机变量序列随机变量序列 以均方收敛于以均方收敛于X，记作，记作 且且 则称则称或简记为或称X是 的均方极限记作记作如果如果 4依分布收敛依分布收敛 设设 ，分别为随机变量分别为随机变量 及及X 的的分布函数分布函数 随机变量序列随机变量序列 依分布收敛于依分布收敛于X，记作，记作 则称则称 对于的每一个连续点对于的每一个连续点x，有，有（1）若）若 均方收敛，则均方收敛，则 必为依概率收敛；必为依概率收敛；收敛性之间的关系收敛性之间的关系（2）若）若 以概率以概率1收敛，则收敛，则 必为依概率收敛；必为依概率收敛；（3）若）若 依概率收敛，则依概率
3、收敛，则 必为依分布收敛。必为依分布收敛。1.均方收敛与依概率均方收敛与依概率1收敛不存在确定的关系。收敛不存在确定的关系。注注2.均方收敛是最简单的收敛形式，它只涉及单均方收敛是最简单的收敛形式，它只涉及单独一个序列。独一个序列。证证由定理3得到计算平稳过程均值和相关函数的近似公式证明依概率收敛与均方收敛的关系：证明依概率收敛与均方收敛的关系：均方收敛准则均方收敛准则定理定理6.2柯西准则则 均方收敛的充要条件为证证只证必要性因为 均方收敛于X，所以有首页首页又由所以故故性质性质1唯一性唯一性若则注注因=证证于是即（二）（二）均方收敛性质均方收敛性质性质性质2(期望与极限的交换性）期望与极限
4、的交换性）若则证由许瓦兹不等式得因故得证注当 均方收敛于X时，的期望收敛于X的期望性质性质3若则证证由许瓦兹不等式得因故得证性质性质4若若则对任意常数则对任意常数a、b都有都有证证因为因为故得证故得证首页首页均方收敛准则（定理均方收敛准则（定理6.4）其说明随机变量序列 均方收敛的充要条件是它的相关函数列按普通极限意义收敛。性质性质5 若数列等价等价存在证推广二二、均方连续性均方连续性均方收敛均方收敛定义定义1即则称 在点t均方连续。（一）均方连续（一）均方连续称称 在在 时均方收敛于时均方收敛于（二）均方连续准则（二）均方连续准则定理定理1则证证充分性充分性则所以首页首页再证必要性再证必要性
5、又由均方收敛性质2得定理定理2证由定理1知，再由均方收敛性质3，得即首页首页定理定理3则证由均方连续定义从而说明在均方连续的条件下，均值运算与极限运算的次序可以互换。但要注意，上式左边为普通函数的极限，而右边表示均方收敛意义下的极限。例例1 试讨论其均方连续性。解解泊松过程的均值、方差函数为则相关函数同样因此由于故注 此例说明均方连续的随机过程，其样本曲线不一定是连续的。三、三、均方导数均方导数（一）均方导数的定义（一）均方导数的定义定义定义1如果均方极限存在则称 在t处均方可微，并将此极限记作即有即有或或二次均方可微二次均方可微二阶均方导数二阶均方导数定义定义2广义二次可微广义二次可微存在（
6、二）均方可微准则（二）均方可微准则定理定理1证证由均方收敛准则知的充要条件是存在而存在首页首页（三）均方导数的性质（三）均方导数的性质性质性质1性质性质2首页首页性质性质3性质性质4证1在t处均方可微，在t处均方连续。（四）（四）1证注均方导数 的均值等于均值函数的导数。而 为普通意义下的确定性函数，故可用分析的方法求导。2.证注注求偏导数得到。3证明证明首页首页即同理可得又因故随机过程 的相关函数求两次混合偏导数。四四 均方积分均方积分（一）均方黎曼可积（一）均方黎曼可积定义定义1 分割作和式如果则称并称记作即（二）均方可积准则（二）均方可积准则定理定理6.7即黎曼积分即黎曼积分存在存在证证
7、由均方收敛准则可知，即即存在存在如果上式极限存在，其极限值就是黎曼积分推论推论证明证明由定理1知，（三）均方积分的性质（三）均方积分的性质性质性质1性质性质2其中其中性质性质3首页首页性质性质4性质性质5（均方可积的唯一性）（四）均方积分的数字特征（四）均方积分的数字特征1随机过程 积分的期望证证注注1注注22均方积分的方差则证证首页首页例例1解在定义中可取则所以例例2解讨论维纳过程 的均方可积性。且有由于对一切有穷的u存在，首页首页例例3解设所以同样可得故得 第第4节节 各态历经性各态历经性（遍历性）平稳过程的数学期望和相关函数，怎样通过试验近似地确定？若能得到多个样本函数问题还可以，但实际
8、上很难得到多个样本函数，下面介绍从一次试验所获得的一个样本函数来决定随机过程的均值和自相关函数的估计问题，从而就可以得到该过程的全部信息，即遍历性问题。定义定义1一、基本概念一、基本概念称 为沿整个时间数轴上的时间均值；称 为沿整个时间数轴上的时间相关函数定义定义2若则称 的均值具有（各态历经性）遍历性均值具有（各态历经性）遍历性；则称 的自相关函数自相关函数具有具有（各态历经性）（各态历经性）遍历性遍历性如果 平稳过程 的均值、相关函数都具有遍历性若则称 具有遍历性遍历性，或者说 是遍历的遍历的例例1是否具有遍历性。解解首页首页说明是平稳过程说明是平稳过程故有故有即此过程是遍历的。首页首页例
9、例2研究随机过程的遍历性 。其中Y为随机变量，且解解因为Y为随机变量，且存在有限的二阶矩，所以由此知 是平稳过程，由于不是常数故即 不是遍历的 注注遍历性随机过程一定是平稳过程，但平稳过程不一定具备（各态厉经性）遍历性。2、各态厉经（遍历）性定理遍历）性定理定理定理1均值遍历性定理均值遍历性定理推论推论证证由均方可积条件得所以首页首页为应用方便，化简上式令则于是首页首页从而故首页首页注注1：当定理当定理1中的中的t满足满足则可表示为推论推论1注注2：当定理当定理1中的中的t满足满足则则推论推论2试讨论随机信号流的遍历性。例例3 设随机点出现的次数 服从速率为 的泊松过程，若在0,t内随机点出现偶数次 ；随机点出现奇数次 ；解三、均值函数与自相关函数的估计式三、均值函数与自相关函数的估计式1求均值函数和均值函数和相关函数常用的两种方法：2未知 的表达形式时，用统计试验的数据求相关函数的近似值。在实际应用中，的表达形式常常不能给出，因此下面介绍第二种方法。如果试验只在时间0，T上给出了 的一个样本函数，则均值和相关函数有以下近似估计式：首页首页用上式估计m与 的方法，通常称为数字方法，或称均值与相关函数的测量。其具体做法如下：1得样本函数的N个值将上面的积分表示为和式23首页首页根据这两个估计式，可以算出 各不同数值时相关函数的一系列近似值，从而可以作出相关函数的近似曲线。通常取